建筑中的數(shù)學(xué)之美

陳泳全

希臘哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為“萬(wàn)物皆數(shù)”，并將自然納入人類的理性思考范疇。在建筑發(fā)展中，數(shù)學(xué)是建筑結(jié)構(gòu)、力學(xué)的基礎(chǔ)，以投影幾何為基礎(chǔ)的畫(huà)法幾何和陰影透視的運(yùn)用，是近代建筑學(xué)產(chǎn)生的催化劑;概率和統(tǒng)計(jì)則是建筑學(xué)進(jìn)行社會(huì)調(diào)查研究的重要工具……建筑中無(wú)時(shí)無(wú)刻不蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)的抽象、理性和精確。而數(shù)學(xué)的精確性與大膽的幻想結(jié)合起來(lái)就是美。數(shù)學(xué)在建筑中的應(yīng)用不僅蘊(yùn)含著理性，還呈現(xiàn)出人類對(duì)數(shù)學(xué)之美的感性體驗(yàn)。

?希臘埃皮達(dá)魯斯劇場(chǎng)平面圖

幾何之美

人類對(duì)幾何圖形的認(rèn)識(shí)主要源于對(duì)自然幾何形態(tài)的感知與模仿，例如太陽(yáng)、月亮、植物莖干、果實(shí)、山川等等，由此產(chǎn)生了圓、圓柱、三角等幾何圖形。對(duì)重力的體驗(yàn)，對(duì)水平和垂直的觀察體悟，使人類創(chuàng)造出自然界幾乎找不到的幾何形態(tài)——矩形、立方體。無(wú)論是模仿還是創(chuàng)造，幾何形態(tài)成為人類進(jìn)行建筑實(shí)踐的基礎(chǔ)，也是人類對(duì)美的感知與表現(xiàn)。

幾何學(xué)（Geometry）這個(gè)詞來(lái)自古埃及的“測(cè)地術(shù)”。那時(shí)，尼羅河每年會(huì)有一次洪水泛濫，促成了古埃及文明的產(chǎn)生。洪水到來(lái)時(shí)，會(huì)淹沒(méi)兩岸農(nóng)田;洪水退后，又會(huì)留下一層厚厚的河泥，形成肥沃的土壤。每當(dāng)洪水退去后，原有的土地界限不復(fù)存在，需要重新丈量界定。法老政府按土地征稅，也要丈量計(jì)算土地面積，這就促使了古埃及幾何學(xué)的發(fā)展。4500年前，古埃及人建造的建筑史上的奇跡——胡夫金字塔，既是工程學(xué)的巨大成就，也表現(xiàn)出古埃及幾何學(xué)的輝煌。該金字塔的塔高約146.6米（頂端剝落前），塔身傾角為51度52分，塔底部為邊長(zhǎng)230米的正方形（原長(zhǎng)），胡夫金字塔的4個(gè)斜面正對(duì)東、南、西、北四方，誤差不超過(guò)圓弧的3分，在當(dāng)時(shí)的條件下，能達(dá)到如此建造精度令人難以置信。

在希臘建筑中，我們也到處都能看到基本幾何形的運(yùn)用。在構(gòu)造建筑物時(shí)，希臘人喜歡把繩索系在釘子上，將其拉直旋轉(zhuǎn)，從而畫(huà)出他們?cè)O(shè)計(jì)的直線和圓弧。公元前4世紀(jì)，希臘埃皮達(dá)魯斯（Epidaurus）的一座劇場(chǎng)展現(xiàn)了希臘建筑與幾何學(xué)之間的聯(lián)系。埃皮達(dá)魯斯劇場(chǎng)以山坡上鑿除的石塊為座位，這些座位共同構(gòu)成一種不斷增大并升高的半圓形圖案，其中最大的一個(gè)半圓的半徑約為61米。埃皮達(dá)魯斯劇場(chǎng)具有優(yōu)秀的聲學(xué)效果，站在露天舞臺(tái)中間的表演者的聲音，即使在最后一排的觀眾也能聽(tīng)到。至今，該劇場(chǎng)仍為古希臘夏季戲劇表演項(xiàng)目的熱門(mén)之地。

羅馬人繼承了希臘人在幾何方面的成就，并進(jìn)一步發(fā)揚(yáng)創(chuàng)新。希臘人在半山坡上鑿出大劇院，用山體支撐傾斜排列的半圓形座位，而羅馬人則是在城市的平地上修建，如橢圓形的羅馬斗獸場(chǎng)。羅馬人通過(guò)對(duì)混凝土、石頭砌筑技術(shù)的掌握，結(jié)合希臘人的幾何成就，擴(kuò)展出拱券結(jié)構(gòu)、穹頂結(jié)構(gòu)等技術(shù)，進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)對(duì)幾何形態(tài)的塑造。如羅馬萬(wàn)神廟的穹頂直徑為43米，穹頂最高點(diǎn)距地面約為43米，內(nèi)部空間接近一個(gè)純粹的球體，它將羅馬工程師的力量與希臘的審美形式天衣無(wú)縫地結(jié)合在一起。

現(xiàn)代建筑的發(fā)展與古典建筑相比，更主張注重功能性，摒棄繁復(fù)的裝飾，追隨簡(jiǎn)潔純粹之美，因此，簡(jiǎn)潔純粹的幾何形體成為現(xiàn)代建筑師創(chuàng)作的基本手段。例如現(xiàn)代建筑大師勒·柯布西耶的成名之作薩伏伊別墅，這是一個(gè)完美的功能主義作品，簡(jiǎn)單到幾乎沒(méi)有任何多余裝飾的程度，純粹的幾何形體開(kāi)拓了又一個(gè)新的審美時(shí)代。美國(guó)建筑師富勒1967年為蒙特利爾博覽會(huì)美國(guó)館的設(shè)計(jì)，又一次展現(xiàn)了純粹幾何形體的魅力，這個(gè)球形的建筑不僅是形的純粹，更是其三角形金屬網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)的精妙應(yīng)用，體現(xiàn)了以最小的材料創(chuàng)造出最大的內(nèi)部空間的建筑理念。建筑大師貝聿銘在盧浮宮改擴(kuò)建的設(shè)計(jì)中借用古埃及的金字塔造型，并采用了玻璃與金屬材料，簡(jiǎn)潔純粹的幾何形體不僅折射出現(xiàn)代藝術(shù)的光輝，同時(shí)與古老的宮殿形成了功能與形式上的完美結(jié)合。

?萬(wàn)神廟剖面演示

數(shù)列之美

希臘建筑的美在很大程度上取決于尺度和比例，勒·柯布西耶曾這樣評(píng)說(shuō)：“帕提農(nóng)給我們帶來(lái)確實(shí)的真理和高度數(shù)學(xué)規(guī)律的感受?！惫畔ＥD人通過(guò)詳細(xì)觀察自然界中的種種事物，發(fā)現(xiàn)凡是美的物體在形式上都具有和諧的比例關(guān)系。比例，簡(jiǎn)單地說(shuō)就是部分與部分、部分與整體之間的數(shù)學(xué)（倍數(shù)）關(guān)系，這種認(rèn)識(shí)影響了整個(gè)西方建筑的發(fā)展。這種數(shù)學(xué)關(guān)系在數(shù)學(xué)中，被稱為數(shù)列，即是把數(shù)字按一定的規(guī)則加以排列，如著名的斐波那契數(shù)列（1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89…）：任意一項(xiàng)是其前兩項(xiàng)之和，且相鄰兩項(xiàng)之比逐漸接近黃金分割。

黃金分割（Golden Section）是數(shù)學(xué)上一種經(jīng)典的比例關(guān)系。長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為a，寬為b，如果 b：a =（a-b）： b，則為黃金比的長(zhǎng)方形。根據(jù)算式可以求得：b≈0.618a，a≈1.618b。

公元前3世紀(jì)，古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里德撰寫(xiě)的《幾何原本》，系統(tǒng)論述了黃金分割，成為最早的有關(guān)黃金分割的論著。中世紀(jì)后，黃金分割被披上“神秘的外衣”，德國(guó)天文學(xué)家開(kāi)普勒稱之為“神圣分割”，到了19世紀(jì)，黃金分割這一名稱逐漸通行。黃金分割具有嚴(yán)格的比例性、藝術(shù)性、和諧性，蘊(yùn)藏著豐富的美學(xué)價(jià)值。

對(duì)稱是自然界很重要的一種現(xiàn)象，同樣也是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)概念。它是一種特殊的比例關(guān)系，在空間和形式上能夠表現(xiàn)出一種莊重、穩(wěn)定、平衡的美。在各國(guó)建筑發(fā)展的歷程中，我們都能看到建筑師們對(duì)于比例關(guān)系的不懈追求，也因此，這些建筑常常呈現(xiàn)出平衡、和諧、秩序的美感。

?羅馬斗獸場(chǎng)

在希臘數(shù)學(xué)邏輯化、幾何化、理念化的特征影響下，希臘建筑強(qiáng)調(diào)形和比例，注重立面和單體造型。而古代中國(guó)的數(shù)學(xué)更傾向于以問(wèn)題為中心的算法體系，在建筑上體現(xiàn)的是對(duì)數(shù)的強(qiáng)調(diào)，注重構(gòu)件、剖面和群體組合。中國(guó)古建筑的所有構(gòu)件之間都有一種模數(shù)關(guān)系，“材”就是宋代建筑上的模數(shù)?？梢哉f(shuō)，模數(shù)是中國(guó)傳統(tǒng)建筑數(shù)學(xué)之美的內(nèi)在體現(xiàn)。

黃金分割的另類故事

人在周圍環(huán)境溫度為22～24℃時(shí)感覺(jué)最為舒適。因?yàn)槿说捏w溫37℃與0.618的乘積為22.8℃，這一溫度中，人體的新陳代謝、生理節(jié)奏和生理功能均處于最佳狀態(tài)。

?使用黃金分割比率的帕提農(nóng)神廟

復(fù)雜之美

機(jī)器時(shí)代的傳統(tǒng)科學(xué)傾向于強(qiáng)調(diào)穩(wěn)定、有序、均勻和平衡，最關(guān)心封閉系統(tǒng)和線性關(guān)系;而新的科學(xué)更關(guān)心現(xiàn)實(shí)世界無(wú)序、不穩(wěn)定、多樣性、不平衡、非線性以及瞬時(shí)性的復(fù)雜關(guān)系?？茖W(xué)對(duì)復(fù)雜性的探索，導(dǎo)致了數(shù)學(xué)越出了傳統(tǒng)的概念和對(duì)象：從單個(gè)或少數(shù)變量到多變量，從低維空間到高維空間;從線性問(wèn)題到非線性問(wèn)題;從連續(xù)、穩(wěn)定到間斷、突變和不穩(wěn)定;從平衡的、守恒的、可逆的到非平衡的、耗散的、不可逆的;從決定性的、有序的、周期性的、對(duì)稱的到隨機(jī)的、無(wú)序的、非周期性的、對(duì)稱破缺的;從確定到模糊。數(shù)學(xué)的發(fā)展不僅提供了新的發(fā)現(xiàn)和新的論斷，更重要的是表達(dá)了新的思維方法、新的認(rèn)識(shí)論和新的世界觀，在建筑領(lǐng)域中影響了一批建筑師，產(chǎn)生了新的、更多元的審美趨向。

美國(guó)建筑大師弗蘭克·蓋里經(jīng)常采取拼貼、混雜、并置、錯(cuò)位、模糊邊界、去中心化、非等級(jí)化、無(wú)向度性等各種手段，挑戰(zhàn)人們既定的建筑價(jià)值觀，他的設(shè)計(jì)風(fēng)格顛覆了幾乎全部經(jīng)典建筑美學(xué)原則。其設(shè)計(jì)的西班牙畢爾巴鄂古根海姆博物館，整個(gè)建筑由一群外覆鈦合金板的不規(guī)則雙曲面體量組合而成，其形式超出了傳統(tǒng)幾何形態(tài)及手段所能描述的范疇，必須在計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)軟件、計(jì)算機(jī)輔助制造系統(tǒng)、3D打印等手段的幫助下才能得以實(shí)現(xiàn)。其建成后，出乎意料地受到人們的追捧，也證明著數(shù)學(xué)的復(fù)雜性形成了一種新的審美觀。

?勒·柯布西耶著名的人體模數(shù)圖，也運(yùn)用了斐波那契數(shù)列與黃金分割

著名女建筑師扎哈·哈迪德曾在黎巴嫩就讀過(guò)數(shù)學(xué)系，良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，使她能夠大膽利用空間，追求自由、精確、流暢的幾何形態(tài)。她將一種自由、非線性、動(dòng)態(tài)的形體控制轉(zhuǎn)化為一種獨(dú)特的審美風(fēng)格。如她設(shè)計(jì)的蓋達(dá)爾·阿利耶夫文化中心，在形式上精心設(shè)計(jì)的起伏、分叉、折疊還有自由的形態(tài)，使廣場(chǎng)的表面變成一個(gè)多功能的景觀建筑。建筑四周的廣場(chǎng)與建筑的室內(nèi)空間之間，建立了一種連續(xù)而流動(dòng)的關(guān)系。建筑形態(tài)模糊了建筑的邊界，將復(fù)雜的非線性數(shù)學(xué)關(guān)系消隱在建筑之中，卻留下了非凡的美感體驗(yàn)。

拓?fù)鋵W(xué)是新數(shù)學(xué)的一個(gè)方向，它研究幾何圖形和空間在一對(duì)一的雙向連續(xù)變換下不變的性質(zhì)，即拓?fù)湫再|(zhì)。一個(gè)幾何圖形任意“拉扯”，只要不發(fā)生割裂和粘接，可做任意變形，稱為“拓?fù)渥冃巍?。兩個(gè)圖形通過(guò)“拓?fù)渥冃巍笨梢宰兊孟嗤?，則稱這兩個(gè)圖形是“拓?fù)渫瑯?gòu)”。由此可見(jiàn)，球和立方體同構(gòu)，與輪胎不同構(gòu)。歐美小住宅和中國(guó)四合院的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不同，前者與球同構(gòu)，后者與輪胎同構(gòu)。

?哈薩克斯坦新國(guó)家圖書(shū)館方案

拓?fù)渫黄屏藗鹘y(tǒng)幾何形態(tài)中對(duì)尺寸、角度和比例的確定性。德國(guó)數(shù)學(xué)家莫比烏斯將一個(gè)長(zhǎng)方形紙條的一端固定，另一端扭轉(zhuǎn)半周后，把兩端黏合在一起 ，得到的曲面就是無(wú)限連續(xù)的莫比烏斯圈（M?bius Strip）。

在哈薩克斯坦新國(guó)家圖書(shū)館的方案競(jìng)賽中，丹麥BIG事務(wù)所的設(shè)計(jì)作品取得了第一名。他們的設(shè)計(jì)是將穿越空間與時(shí)間的四個(gè)世界性經(jīng)典造型—圓形、環(huán)形、拱形和圓頂形—以莫比烏斯圈的形式融合在了一起。BIG事務(wù)所設(shè)計(jì)的2010年世博會(huì)丹麥館，同樣采用的是莫比烏斯圈的理念，這座建筑連續(xù)的表面即是人們參觀的連續(xù)界面，功能與空間完美結(jié)合。

恩格斯說(shuō)過(guò)：“數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系的科學(xué)”，而建筑恰恰是反映空間形式、數(shù)量關(guān)系的載體，數(shù)學(xué)的發(fā)展對(duì)建筑的發(fā)展毫無(wú)疑問(wèn)影響巨大。藝術(shù)和數(shù)學(xué)的本質(zhì)都是領(lǐng)會(huì)事物間的關(guān)系，而創(chuàng)造則是從新觀點(diǎn)出發(fā)作出的一種領(lǐng)會(huì)，美，亦是一種領(lǐng)會(huì)，讓我們?cè)诮ㄖ袆?chuàng)造、發(fā)現(xiàn)、體驗(yàn)數(shù)學(xué)之美。

博物館的出爐

?2010年世博會(huì)丹麥館

建筑師蓋里在畢爾巴鄂古根海姆博物館的設(shè)計(jì)中采用的設(shè)計(jì)策略，與汽車設(shè)計(jì)非常相似。他先在紙面上通過(guò)曲線素描和手工塑形曲面模型自由表達(dá)他的初始想法，然后用三維掃描儀捕捉實(shí)體模型上重要的頂點(diǎn)、邊或表面的數(shù)據(jù)，通過(guò)諸如NURBS這樣的軟件，將其進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成數(shù)字三維模型，能夠更好地表達(dá)流線形狀的微妙之處以及彼此之間的細(xì)微差別，并達(dá)到極高的精度。而后再由計(jì)算機(jī)控制的三維打印機(jī)和多軸銑床制造新的物理模型，將它們與原來(lái)的設(shè)計(jì)相比較，對(duì)其形狀進(jìn)行修正和調(diào)整，直到設(shè)計(jì)團(tuán)隊(duì)對(duì)它們之間的匹配程度感到滿意。

?阿塞拜疆共和國(guó)蓋達(dá)爾·阿利耶夫文化中心