用概率判生死：法庭上的數(shù)學(xué)證據(jù)

如果你哪天不留神做錯(cuò)了一道概率題會(huì)有什么不堪設(shè)想的嚴(yán)重后果？自然是沒(méi)有的。我想最多也就是考試掛科，補(bǔ)考重修而已?？墒菍?duì)于法庭上那幫戴著假發(fā)的人來(lái)說(shuō)，概率沒(méi)算好可以讓無(wú)辜的人進(jìn)監(jiān)獄，讓真正的罪犯逍遙法外。聽(tīng)起來(lái)似乎不可思議，但這樣的事情真的發(fā)生過(guò)。

洛杉磯搶劫案

歷史上最著名的案例要數(shù) 1964 年夏天發(fā)生在美國(guó)洛杉磯的一起劫案。一天中午，一位老婦人從雜貨店買(mǎi)了東西推著小車(chē)回家，途經(jīng)一條小巷時(shí)，突然被一位沖過(guò)來(lái)的年輕女子推倒，等老婦人醒過(guò)神來(lái)，發(fā)現(xiàn)自己身上的錢(qián)包已被偷走。雖然老婦人沒(méi)有看清罪犯是什么樣子，可小巷周?chē)牟簧僮?hù)都曾與這位女子擦肩而過(guò)，并且看到她在街頭跳上一輛車(chē)逃離現(xiàn)場(chǎng)。

后來(lái)警方根據(jù)目擊者描述的犯罪者特征，幾天后在附近逮捕了一對(duì)夫妻。可是在法庭上，目擊者中并沒(méi)有人能夠清晰地指認(rèn)出罪犯。于是檢察官們想出了一個(gè)“新穎的辦法”，他們把目擊證人說(shuō)出的幾條主要特征列了出來(lái)，并且根據(jù)洛杉磯地區(qū)的數(shù)據(jù)估算了這些特征會(huì)出現(xiàn)的概率：黃色的汽車(chē)：1/10；嘴上面有短胡子的男性：1/4；絡(luò)腮胡子的黑人：1/10；馬尾辮女孩：1/10；金發(fā)女孩：1/3；汽車(chē)中有膚色不同的夫妻倆：1/1000

檢察官找來(lái)一位“數(shù)學(xué)專(zhuān)業(yè)人士”，計(jì)算了在整個(gè)洛杉磯地區(qū)符合上述各條特征的夫婦存在的概率，認(rèn)為最后的概率應(yīng)該是 6 個(gè)概率值乘到一起，結(jié)果就是 1/1200萬(wàn)。檢察官據(jù)此告知評(píng)審團(tuán)，如此小的概率很難發(fā)生，附近地區(qū)很難再找到另外一對(duì) 6 項(xiàng)特征全部符合的夫婦，所以這對(duì)嫌疑人一定是罪犯。陪審團(tuán)最終采納了檢方的意見(jiàn)，判定這對(duì)夫婦搶劫罪成立。

可是后來(lái)加州高等法院駁回了這個(gè)判決，他們認(rèn)為檢方使用的概率作為證據(jù)的方式是錯(cuò)誤的。首先，概率乘法公式 P（ABC） = P（A）P（B）P（C） 一定要在 A、B、C 都是獨(dú)立事件的時(shí)候才成立，可是目擊者提供的那些特征并不相互獨(dú)立，比如留八字胡的男性和留絡(luò)腮胡的男性這兩項(xiàng)，“男性”這個(gè)信息是重疊的，而喜歡留胡子的人往往兩個(gè)位置都會(huì)留胡子，兩個(gè)特征高度關(guān)聯(lián)，同時(shí)發(fā)生的概率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于兩個(gè)數(shù)字相乘。這樣的話，正確的概率可能會(huì)是 1/1200萬(wàn)的很多倍，并沒(méi)有那么低。

母親殺子案

類(lèi)似的用數(shù)學(xué)計(jì)算來(lái)判案還不止一次。 1999 年，英國(guó)也有一次“概率定罪”的案件。一個(gè)Sally Clark的婦女第一個(gè)孩子出生之后幾個(gè)星期離奇死亡，醫(yī)生查不出其他病因，只診斷為一種叫 SIDS （嬰兒猝死綜合癥）的罕見(jiàn)疾病。隨后Clark再次懷孕，第 2 個(gè)孩子也在出生后幾個(gè)星期死亡，原因再次被診斷為SIDS。這件事引起了警方的懷疑，警方認(rèn)為 2 個(gè)孩子有可能是“被猝死”的，將 Clark 逮捕。

在法庭上，檢方引用醫(yī)生的證明，聲稱(chēng) SIDS 這種病發(fā)病率很低，而且不是遺傳病，所以可以把兩個(gè)孩子的 SIDS 死亡看作獨(dú)立事件，相乘之后的概率只有 1/7300萬(wàn)。檢方以此說(shuō)服了陪審團(tuán)，法庭最后認(rèn)為兩個(gè)孩子連續(xù)得這種突發(fā)罕見(jiàn)疾病的概率很低，很難發(fā)生，Clark 殺死孩子罪行應(yīng)該成立，被送入監(jiān)獄。

和上一個(gè)故事的結(jié)局一樣，這個(gè)判決后來(lái)也被推翻了，Clark 被無(wú)罪釋放。不妨讓我們來(lái)看看檢方的觀點(diǎn)。他們認(rèn)為 P（兩個(gè)孩子都死于SIDS） = 1/73000000，那么 P（Clark殺了兩個(gè)孩子） = 1 - 1/73000000 = 72999999/73000000，幾乎是鐵定的事實(shí)。但是，檢方疏忽了一個(gè)非常關(guān)鍵的事實(shí)，那就是上面這個(gè)推理只有在 P（兩個(gè)孩子都死于SIDS） + P（Clark殺了孩子） = 1 時(shí)才成立。事實(shí)上，除了這兩種情況外還有其他可能，檢方并不能完全排除。

英國(guó)皇家統(tǒng)計(jì)學(xué)會(huì)后來(lái)指出，真要計(jì)算的話，一位母親連續(xù)殺死自己兩個(gè)親骨肉這樣行為發(fā)生的可能性是極低的，甚至低于兩個(gè)孩子都死于 SIDS 病的可能性。在判斷概率的時(shí)候，不能只看P（兩個(gè)孩子都死于SIDS）有多小，還要看和P（母親連續(xù)殺死兩個(gè)孩子）做相對(duì)比較。最后上訴的一方憑借更加全面的解釋和一些新證據(jù)成功地為 Clark 洗脫罪名。（文/Albert_JIAO 來(lái)源/果殼網(wǎng)）