約翰·納什：美麗心靈和美麗數學

Kevin Knudson

數學家及諾貝爾經濟學獎獲得者約翰·納什在5月23日的一次車禍中去世，享年86歲。他的妻子艾莉西亞當時與他在一起，同樣沒能從這車禍中幸存。納什一家當時正從挪威返回在普林斯頓的家。在挪威，納什（與Louis Nirenberg一起）被授予今年的阿貝爾獎（數學界的諾貝爾獎）。

感謝《美麗心靈》，由Sylvia Nasar撰寫的納什傳記，以及由Russell Crowe主演的電影版，使得納什成為少數在學術圈以外被熟知的數學家。大眾會記得納什的精神疾病以及最后他從精神分裂癥中康復過來的故事。但納什的影響遠遠超過傳記的好萊塢版本。他的同行將他的數學創(chuàng)造，尤其是非合作博弈（這工作使得他獲得諾貝爾獎）列為20世紀最偉大的經濟學想法之一。

納什在博弈論方面的工作最廣為人知。一個游戲或者說博弈包含兩個或以上的“玩家”。玩家會受到獎勵或處罰取決于所有參與者的表現。有些游戲被稱為零和博弈，指的是一個玩家得到的是另一個玩家的所失去的。納什的工作可以應用到非合作博弈中。在這種情況下，玩家可以在不影響其他玩家的前提下單方面地改變策略來增加（或減少）自己的收益。

這樣游戲的典型例子是基本的囚徒困境。兩個囚犯被拘捕并拘留在分開的牢房中，他們無法互相交流。執(zhí)行者們沒有足夠的證據來證明他們在主要的控訴上有罪，但他們可以認一個更輕的罪，從而只蹲一年牢房。囚徒們被提供了這樣一個交易：做對另一個囚徒不利的聲明（即背叛）并無罪釋放，而因此另一人需服刑3年。然而，如果兩人都背叛對方，他們將服刑2年。如果他們都沒背叛對方（即他們合作了），則兩人都會獲得更輕的定罪并只服刑1年。結果可以被歸納到一個結局矩陣中。

納什發(fā)現任何這樣的游戲都有一個策略，這一策略被稱為納什均衡。任何一個玩家脫離平衡點的單方面策略改變都將會導致對于該玩家更壞的結局。在囚徒困境的情形中，有兩個這樣的均衡點，結局矩陣的左上角與右下角。確實，對于右下角的情況，如果任何玩家單方面地改變他的策略并決定不背叛，他將增加自己的服刑時間。這個例子特別使人煩惱，因為左上角的策略顯然是適用于囚犯最好的方式（他們應保持沉默），但純理性的玩家會在右下角的位置結束。

博弈論在諸多領域有所應用，包括經濟學和政治科學。國際關系中的許多方案可以作為非合作博弈的模型。比如，二戰(zhàn)中核計劃的發(fā)展可以作為類似囚徒困境的模型。其中兩方都決定獲得原子彈以免對方也會這樣做。當然，這會導致核武器數量的大規(guī)模擴張這樣一個不那么令人滿意的結果，相當于兩個囚徒都背叛了的情景。

盡管納什是以他在博弈論上的工作為全球所熟知，大多數學家認為他在黎曼流形嵌入理論上的成果是最具革新意義的。在這個幾何分支里， n-流形是局部可以看成n維歐式空間（我們熟悉的典型3維空間就構成一個3維歐式空間）的空間。例如，一個曲面，比如球面或空心的甜甜圈，是個2-流形，因為曲面上的任意一點周圍都能畫出這樣的一塊區(qū)域：對于站在該點的小蟲，這塊區(qū)域就像一個2維平面（因此古人認為地球是平的）。

如果一個流形存在一種全局一致的方法來定義某個點上與流形相切的矢量之間的夾角，這個流形就被稱為黎曼流形。特別的，這使得我們可以定義流形上兩點之間的距離并找到嵌在流形內曲線的長度。定義了通常的角度和距離的歐式空間就是最簡單的例子。

現在試著想象把一個抽象的黎曼流形放到一個歐式空間中。你可能需要把它扭曲或者做各種奇怪的操作從而導致流形上切向量之間的夾角發(fā)生改變。納什-柯伊伯嵌入定理斷言我們可以解決這個問題，即我們可以找到n維黎曼流形浸入n+1維歐式空間的保角的實現方法。接下來你可以利用由歐式空間繼承而來的黎曼結構更容易地計算出流形上點之間的距離。

這可能聽起來沒那么驚天動地，但這個問題已經煩惱了數學家們超過了一個世紀。研究過“地圖”的人都知道，所需要的歐式空間的維數不能比n+1更小，比如球面就不能在不改變角度的情況下展開成一個平面。

納什定理有許多反直覺的推論。比如，它指出任何2維閉曲面可以在任意小的3維球體中實現。

納什還發(fā)明了一個真正的游戲。這個游戲最終被帕克兄弟公司（Parker Brothers）以桌面游戲六角棋為名（Hex）推向了市場。這是個在以六邊形為棋格的平行四邊形棋盤上玩的游戲，大約同時，丹麥也有人獨立地發(fā)明了這種游戲。在普林斯頓大學，這種游戲被稱作“納什”，另外，因為人們在數學系男洗手間的地磚上玩這種游戲，它還獲得了一個雙關語名字“John”。這個游戲有兩個玩家，各執(zhí)一種單色棋子（比如紅和藍）。目標是趕在對手之前在棋盤的一頭到另一頭連成一個完整的路徑。

這游戲有網絡版。先行的玩家總有一個獲勝的策略；即走第一步的玩家可以總贏，只要他執(zhí)行恰當的下棋的順序。

江山代有才人出。正如記者Erica Klarrich指出的，沒人再引用納什的文章了，因為納什均衡已經成為了標準詞匯；每個數學家都知道它意味著什么。盡管他只發(fā)表了少量文章，約翰·納什將以20世紀最具獨創(chuàng)性和影響力的數學家之一被記住，他的工作仍在啟發(fā)新的結果和新的研究方向。