數(shù)學(xué)思想與認(rèn)知世界

高兆東

數(shù)學(xué)歷來被認(rèn)為是自然科學(xué)之王，其根本點在于它的精確性和嚴(yán)密性及它所賦予我們的自然美。因此也被稱為是思維的體操，是人類智慧的源泉。要想學(xué)好數(shù)學(xué)，掌握數(shù)學(xué)，就一定要有嚴(yán)密的思維習(xí)慣和良好的思維方式。下面我結(jié)合初中一元二次方程的內(nèi)容談?wù)劵镜慕虒W(xué)思想。

一、一切事物的源泉——存在性

1.已知關(guān)于x的方程x2+2（k+1）x+k2=0的兩根之和不小于-4，求k的取值范圍？

解：設(shè)關(guān)于x的方程x2+2（k+1）x+k2=0兩根為x1，x2

由根與系數(shù)關(guān)系可知x1+x2=-2（k+1）x1x2=k2

由題意知：x1+x2=-2（k+1）≥-4

=> k≤1

∴k的取值范圍是：k≤1

似乎解題過程無可挑剔，但卻是錯誤的，它忽略了一個根本的要求——根的存在性！我們應(yīng)該把“兩根之和不小于-4”理解為“首先方程有兩根，且兩根之和不小于-4”，這樣就可以知道還要滿足

二、認(rèn)識世界的鑰匙——探索性

人類認(rèn)識事物的過程漫長而復(fù)雜，但如果沒有刻意追求的探索精神，那將會一事無成。數(shù)學(xué)是自然學(xué)科中最具有想象力的，許多數(shù)學(xué)概念的延伸對社會的進(jìn)步，科技的發(fā)展起到了不可估量的推動作用，數(shù)學(xué)中的探索性是什么呢？

例：已知x1，x2是關(guān)于x的一元二次方程（m-1）2x2-（2m-5）x+1=0的兩個實數(shù)根。

（2）問x1，x2能否同時為正數(shù)，若能同時為正數(shù)，求出相應(yīng)的取值范圍，若不能同時為正數(shù)，請說明理由。

解：（1）∵x1，x是方程（m-1）2x2-（2m-5）x+1=0的兩個實根

似乎P的取值為一切實數(shù)！其實不然，我們首先要考慮m≠0，且Δ≥0

即（2m-5）2-4（m-1）2≥0且m≠1

從而由P=2m-5，知P的取值范圍是P≤-22且P≠-3

（2）在m≤74且m≠1的前提下，假設(shè)存在x1，x2同為正數(shù)（假設(shè)結(jié)論正確，探索結(jié)論與條件的關(guān)系，力求取得規(guī)律）

∴2m-5>0 即m>52

但這與前提不符，因此不存在x1，x2同為正數(shù)。從問題的提出到結(jié)論的解決，需要我們從概念出發(fā)牢牢把握問題方向，研究前后因果，探索其內(nèi)在聯(lián)系，不斷去偽存真，直至得出正確結(jié)論，是摸索探索性問題的典型例子。

三、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度——完備性

不管在哪個領(lǐng)域，科學(xué)的態(tài)度就是追求完美，人們也就在追求完美中不斷進(jìn)步和提高，科學(xué)也在不斷追求完美中進(jìn)步，數(shù)學(xué)就更是如此，下面讓我們看一個嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦印?/p>

1.已知三角形的兩邊AB，AC的長是關(guān)于x的一元二次方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的兩個實數(shù)根，第三邊BC的長為5。

（1）k為何值時，△ABC是以BC為斜邊的直角三角形？

（2）k為何值時，△ABC為等腰三角形？求出這時△ABC的周長？

解：（1）∵AB，AC是x2 -（2k+3）x+k2+3k+2=0的兩個實數(shù)根

∴AB+AC=2k+3AB·AC=k2+3k+2

又若△ABC是以BC為斜邊的直角三角形

那么 BC2=AB2+AC2

即25=（AB+AC）2-2AB·AC

∴（2k+3）2-2（k2+3k+2）=25

即k2+3k-10=0

解得：k1=-5，k2=2

k1和k2究竟誰適合要求呢？

首先：方程要有根Δ=（2k+3）2-4（k2+3k+2）≥0

得出1≥0恒成立

其次AB，AC為三角形的邊長，必須要為正數(shù)！

故AB+AC=2k+3>0AB·AC=k2+3k+2>0

∴只有k=2適合

∴k值應(yīng)該為2。

（2）△ABC為等腰三角形，應(yīng)該有幾種情況呢？

Ⅰ.若BC=5為底邊，則方程有等根

但Δ=（2k+3）2-4（k2+3k+2）=1≠0

這是不可能的。

Ⅱ.若BC為腰，則AB，AC中必須有一者為腰，不妨設(shè)AB=5

AB+AC=2k+3AB·AC=k2+3k+2知5+AC=2k+35AC=k2+3k+2

解之得AC=6k=4或AC=4k=3

由于k=3和4，均滿足方程有兩個正根的要求，故都符合題意。

當(dāng)AC=4時，三邊長為5、5、4，△ABC周長為5+5+4=14

當(dāng)AC=8時，三邊長為5、5、6，△ABC周長為5+5+6=16

本題從方程的種類、有根情況，有怎樣的實根及直角三角形要求、等腰三角形要求，層層相環(huán)，絲絲入扣，有機(jī)地結(jié)合在一起，而且從等腰三角形腰與底邊的分類，充分體現(xiàn)了考慮問題的周密性和完善性，是數(shù)學(xué)思想完備性的良好寫照。

當(dāng)然，教學(xué)的思想還遠(yuǎn)不止以上幾種，但在初中數(shù)學(xué)中，我們就能充分體會到如此精彩的思想確實是一種享受，真心地希望學(xué)生在學(xué)習(xí)的同時，能愉快地接受數(shù)學(xué)思想所給予我們的快樂，從而提高我們學(xué)習(xí)的興趣和認(rèn)識事物的動力，從必然王國走向自由王國。

編輯 謝尾合