直線與圓錐曲線教學(xué)之我見

張華偉

直線與圓錐曲線問題一直是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)、高考命題的熱點(diǎn)，一方面是題目本身復(fù)雜，信息量大、字母符號(hào)多、運(yùn)算過程復(fù)雜、轉(zhuǎn)化思路不明顯；另一方面是學(xué)生缺少明確的解題意識(shí)，面對(duì)這么多的字母符號(hào)不知如何下手，找不到方向，出現(xiàn)“想不到”“消不去”和“算不對(duì)”現(xiàn)象。因此，筆者在分析學(xué)情的基礎(chǔ)上，總結(jié)了多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，其中最重要的一條就是：著力提高學(xué)生解題意識(shí)，樹立學(xué)生的自信心。明確的解題意識(shí)就像大海中的燈塔，能夠引導(dǎo)學(xué)生的解題思路。

解析幾何的核心方法是“用代數(shù)方法研究幾何問題”，解析幾何的核心思想是“數(shù)形結(jié)合”。數(shù)形結(jié)合的思想，其實(shí)質(zhì)是將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖象結(jié)合起來，關(guān)鍵是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。筆者總結(jié)以往教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上概括出求解直線與圓錐曲線問題的六種意識(shí)：（1）幾何條件代數(shù)化。（2）代數(shù)運(yùn)算幾何化。（3）一般問題特殊化。（4）最值問題多樣化。（5）去除思維模式化。（6）向量形式坐標(biāo)化。在教學(xué)中，這六種意識(shí)如何讓學(xué)生真正掌握是個(gè)難點(diǎn)，只靠教師的講是無效的，一定要讓學(xué)生在解題過程中體驗(yàn)和反思解題的過程，培養(yǎng)解題意識(shí)，因此，我認(rèn)為在課堂教學(xué)中可以嘗試以下四種方式進(jìn)行教學(xué)：

一、在課堂教學(xué)中，創(chuàng)設(shè)不同的問題情境，樹立學(xué)生的解題意識(shí)

直線與圓錐曲線問題的求解，最難的就是第一種意識(shí)：幾何條件代數(shù)化，學(xué)生往往不會(huì)把題目中的幾何條件轉(zhuǎn)化成代數(shù)關(guān)系（一般是坐標(biāo)表示），為此，筆者在課堂教學(xué)中創(chuàng)設(shè)不同的問題情境，概括總結(jié)出“幾何條件轉(zhuǎn)化成代數(shù)關(guān)系”的核心方法，樹立學(xué)生的解題轉(zhuǎn)化意識(shí)，幾何條件代數(shù)化。

例1.橢圓C： + =1（a>b>0）的離心率為 ，長軸端點(diǎn)與短軸端點(diǎn)間的距離為 。

（I）求橢圓C的方程；

（II）過點(diǎn)D（0，5）的直線l與橢圓C交于兩點(diǎn)E、F；

（i）設(shè)B（0，- ），若BE=BF，求直線l的斜率；

（ii）A是橢圓的右頂點(diǎn)，且∠EAF的角平分線是x軸，求直線l的斜率；

（iii）以線段OE、OF為鄰邊作平行四邊形OEFP，其中頂點(diǎn)P在橢圓C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求O到直線l距離的最小值；

（iv）若以EF為直徑的圓過原點(diǎn)，求直線l的斜率；

（v）點(diǎn)M為直線y= x與該橢圓在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，平行于OM的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求證：直線MA、MB與x軸始終圍成一個(gè)等腰三角形。

引導(dǎo)學(xué)生概括以上問題的求解過程，填寫下表：

（vi）你還能提出哪些類似問題？

如：①A是橢圓的右頂點(diǎn)，且∠EAF為鈍角，求直線l的斜率的范圍；

②A是橢圓的右頂點(diǎn)，且∠EAF為銳角，求直線l的斜率的范圍；

③A是橢圓的右頂點(diǎn)，且點(diǎn)A在以EF為直徑的圓內(nèi)，求直線l的斜率的范圍；

④A是橢圓的右頂點(diǎn)，且點(diǎn)A在以EF為直徑的圓外，求直線l的斜率的范圍等。

教學(xué)中，要讓學(xué)生學(xué)會(huì)通過分析幾何條件的本質(zhì)特征，并且選擇適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)形式來表示，通常和斜率、中點(diǎn)、距離有關(guān)。我們一定要讓學(xué)生自己慢慢學(xué)會(huì)解決問題，提高解題能力。

二、在課堂教學(xué)中，突出典型例題的講解過程，培養(yǎng)學(xué)生的解題意識(shí)

在課堂教學(xué)中，滲透數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、特殊與一般思想，剖析典型例題，提煉出蘊(yùn)涵的解題意識(shí)，從意識(shí)的層面去剖析原來的解題，比如，分析以下問題求解，找出蘊(yùn)涵的解題意識(shí)。

例2.已知橢圓C： + =1（a>b>0）經(jīng)過點(diǎn)M（1， ），其離心率為 。

（I）求橢圓C的過程；

（II）設(shè)直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，以線段OA、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB，其中頂點(diǎn)P在橢圓C上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求O到直線l的距離的最小值。

解：（I） + =1（——待定系數(shù)法）

（II）（1）當(dāng)直線l斜率存在時(shí)，設(shè)y=kx+m，由y=kx+m + =1（用代數(shù)方法研究幾何問題）

消去y，得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0

Δ=64k2m2-4（3+4k2）（4m2-12）=48（3+4k2-m2）>0①

（——幾何條件“直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)”的代數(shù)化）

設(shè)A、B、P三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1，y1）、（x2，y2）、（x0，y0），則以線段OA、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB， + = ，（——幾何條件代數(shù)化）

x0=x1+x2=- ，y0=y1+y2=k（x1+x2）+2m=

由于點(diǎn)P在橢圓C上，所以 + =1

（——代數(shù)運(yùn)算幾何化，找到k、m的關(guān)系）

從而 + =1，化簡得4m2=3+4k2，經(jīng)檢驗(yàn)滿足①式。

又點(diǎn)O到直線l的距離為

d= = = ≥ =

當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)等號(hào)成立。（——代入消元，最值問題多樣化）

（2）當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，由對(duì)稱性知，點(diǎn)P一定在x軸上，從而點(diǎn)P為（-2，0）或（2，0），直線l為x=±1，所以點(diǎn)O至直線l的距離為1。

綜上，點(diǎn)O到直線l的距離最小值為 。（——一般情況與特殊情況）

在課堂教學(xué)中特別注意強(qiáng)調(diào)：

①在課堂教學(xué)中，教師一定要讓學(xué)生思考，相互交流，要引導(dǎo)學(xué)生理解好題意：求什么？知什么？能推什么？在學(xué)生給出解題思路的基礎(chǔ)上，做進(jìn)一步引導(dǎo)和點(diǎn)評(píng)，教師點(diǎn)評(píng)力求高位，注意學(xué)生情緒的調(diào)整，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)情感。

②在課堂教學(xué)中，著力培養(yǎng)學(xué)生的解題意識(shí)，樹立學(xué)生的自信心。要求學(xué)生不僅要有很強(qiáng)的綜合知識(shí)以及運(yùn)算能力、分析問題與解決問題的能力，還要有堅(jiān)強(qiáng)的意志力，只要目標(biāo)明確，堅(jiān)持比方法更重要，這將對(duì)學(xué)生今后成長起到重要作用，這是一個(gè)育人的好機(jī)會(huì)，作為一個(gè)好教師，不應(yīng)失去這樣的機(jī)會(huì)。

三、在課堂教學(xué)中，滲透數(shù)學(xué)思想和方法，提高學(xué)生的解題意識(shí)

在課堂教學(xué)中，不斷滲透數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、特殊與一般思想，體會(huì)解題中包含的運(yùn)動(dòng)變化、辯證統(tǒng)一、相互轉(zhuǎn)化的哲學(xué)觀。在解決問題的過程中，體會(huì)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的判定方法，領(lǐng)悟函數(shù)與方程的思想方法；經(jīng)歷運(yùn)用圓錐曲線定義與性質(zhì)解決問題的探索活動(dòng)，積累如何選擇合適的數(shù)學(xué)方法解決問題的經(jīng)驗(yàn)，逐步培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力。

在課堂教學(xué)中，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)活動(dòng)是充滿探索性和創(chuàng)造性的，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)運(yùn)算的信心和耐心，增強(qiáng)學(xué)生利用思維推理獲得成功的信念和面對(duì)失敗的承受力，提高學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、深刻性、探索性，幫助學(xué)生形成反省的品格，從而提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

四、在課堂教學(xué)中，加強(qiáng)解題訓(xùn)練，鞏固學(xué)生的解題意識(shí)

學(xué)生解題意識(shí)形成后仍舊會(huì)忘記，要在不斷應(yīng)用中鞏固，教師要提供恰當(dāng)評(píng)估和適當(dāng)?shù)姆答伋C正練習(xí)，不斷強(qiáng)化學(xué)生的解題意識(shí)。

注意發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位，注重解題后的反思，提高元認(rèn)知能力。解完題并不意味著解題活動(dòng)的結(jié)束，教師應(yīng)充分利用這個(gè)機(jī)會(huì)，對(duì)求解過程進(jìn)行再分析，進(jìn)行思維過程的再暴露，解完不思考，無異于入寶山而空返。

總之，在課堂教學(xué)中，交叉運(yùn)用以上四種方式，著力培養(yǎng)學(xué)生的解題意識(shí)，樹立學(xué)生的自信心，學(xué)生的解題意識(shí)一定會(huì)得到提高。

參考文獻(xiàn)：

張琥.直線與圓錐曲線[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考：上旬，2012（1-2）.

編輯 張珍珍