數(shù)形結(jié)合思想巧解熱點問題

朱季生

摘 要：數(shù)與形是數(shù)學中兩個最基本的問題，它們在一定的條件下可以互相轉(zhuǎn)化.數(shù)形結(jié)合是數(shù)學中非常重要的思想方法，華羅庚先生曾指出：“數(shù)缺形時少直覺，形少數(shù)時難入微.”數(shù)形結(jié)合就是對題目中的條件和結(jié)論既分析其代數(shù)意義，又分析其幾何含義，對于選擇題、填空題，數(shù)形結(jié)合可起到直接解題的作用，在解答題中，則可以起到輔助解題的作用，從而達到事半功倍的效果.縱觀多年的高考試題，利用函數(shù)圖象處理問題的關鍵在于轉(zhuǎn)化與構(gòu)造.一般的，可以把問題轉(zhuǎn)化為一次函數(shù)、二次函數(shù)、圓錐曲線或三角函數(shù)的圖象性質(zhì)問題加以解決.方程的解可以轉(zhuǎn)化為曲線的交點問題，從而把代數(shù)與幾何有機地結(jié)合起來，使問題得到簡化.

關鍵詞：數(shù)形結(jié)合；函數(shù)圖象；代數(shù)；幾何

一、巧解集合問題

在數(shù)學問題中，進行集合運算中常常借助對應的數(shù)軸、文氏圖來處理集合的交、并、補等運算。從而使復雜的問題得以更加簡單化，使運算更加快捷、明了，更快速有效.

例1.（2008北京卷，理1）已知全集U=R，集合A={x|-2≤x≤3}，B={x|x<-1或x>4}，那么集合A∩（CUB）等于（ ）

A.{x|-2≤x<4} B.{x|x≤3或x≥4}

C.{x|-2≤x<-1} D.{x|-1≤x≤3}

分析：不等式表示的集合通過數(shù)軸解答.

解：在數(shù)軸上先畫出CUB{x|-1≤x≤4}，再畫出集合A={x|-2≤x≤3}，取其公共部分，如圖所示陰影部分就是集合A∩（CUB），故選D.

二、在基本初等函數(shù)中的應用

在解決一類不等式或方程問題時，直接解決十分困難，因此可以通過構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的圖象及不等式或方程表達的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合法解.

數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)與形的完美結(jié)合，是代數(shù)問題與圖形之間的相互轉(zhuǎn)化，它可以使代數(shù)問題幾何化，幾何問題代數(shù)化。在解決問題時我們既要考慮代數(shù)問題在形上的直觀體現(xiàn)，又要考慮幾何問題在數(shù)上的精確表示，達到“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬事非”的境界。

編輯 魯翠紅