推廣Klein－Gordon方程新的精確行波解

馬云峰，高發(fā)玲

(青島理工大學(xué)琴島學(xué)院)

0 引言

Klein－Gordon方程出現(xiàn)在相對(duì)論、量子力學(xué)、旋轉(zhuǎn)波及非線性光學(xué)等理論中.它描寫自旋為零的標(biāo)量粒子的相對(duì)性，由于粒子沒(méi)有自旋、只有一個(gè)分量，描述spinless顆粒.若u代表相對(duì)論的自由粒子能量，則Klein－Gordon方程可以從相對(duì)論性質(zhì)能關(guān)系和薛定諤方程中得到［1］.

研究非線性偏微分方程中精確解問(wèn)題的方法甚多，如齊次平衡法、擴(kuò)展的(G'/G)展開(kāi)法、雙曲函數(shù)法、擴(kuò)展的F－展開(kāi)法、擴(kuò)展的輔助方程法等［2－6］，通常采用的輔助方程法為三角函數(shù)型，橢圓型，Bernoulli輔助方程法等［7－10］.非線性方程具有特殊性，不可能用一種方法求出所有方程的精確解，所以對(duì)特定方程選擇合適的方法求精確解顯得尤為重要.

考慮推廣的Klein－Gordon方程為

其中α為實(shí)常數(shù);β，γ＞0為實(shí)常數(shù);n1，n2為正整數(shù)且u=u(x，t):R×R→R是未知函數(shù).方程(1)中，當(dāng)n1=1，n2=3時(shí)整體解的存在性、精確解的求法及解的性質(zhì)已有較完善的結(jié)論［11－13］.但對(duì)推廣的 Klein－Gordon方程(1)的精確解求法的研究，還未得到展開(kāi).該文嘗試用擴(kuò)展的橢圓型輔助方程法求精確行波解，因n1=2，n2=1時(shí)的精確解已解決，在此不予討論.

1 擴(kuò)展的橢圓型輔助方程法［14］

該文利用輔助常微分方程來(lái)構(gòu)造推廣的Klein－Gordon方程精確行波解，主要步驟如下:

非線性發(fā)展方程的一般形式可以寫為其中，N是關(guān)于變?cè)猽，ut，ux，utt，uxt，uxx，… 的多項(xiàng)式.

引入行波變換

其中ω是非零的待定常數(shù)，可將(2)式方程轉(zhuǎn)換為僅關(guān)于變量ξ的標(biāo)準(zhǔn)的常微分方程

為了得到方程的精確解析解引入z(ξ)，z(ξ)滿足

該常微分方程有以下解:

引入兩個(gè)基本函數(shù)f和g，其中r為待定常數(shù)，

顯然，函數(shù)f和g滿足以下關(guān)系

假設(shè)常微分方程的解u(ξ)是一個(gè)關(guān)于f和g的n階多項(xiàng)式，即

其中，系數(shù)ak和bk為待定常數(shù)，且ak+bk≠0，n由齊次平衡法來(lái)確定.

將(3)式中構(gòu)造的n階多項(xiàng)式代入(1)式的常微分方程，結(jié)合(6)式使得所得方程的各項(xiàng)中只有f和g的冪次項(xiàng)，合并f和g的同次冪項(xiàng)并取系數(shù)為零，就可以得到一個(gè)包含所有待定系數(shù)的非線性代數(shù)方程組.并對(duì)該方程組，用吳文俊消元法確定所有的待定系數(shù)，最終可得到非線性波動(dòng)方程的精確行波解.

2 求精確行波解

根據(jù)以上介紹的擴(kuò)展橢圓型輔助方程法，對(duì)推廣的Klein－Gordon方程進(jìn)行求解.(1)式對(duì)應(yīng)的常微分方程為:

平衡方程(8)的最高階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和具有支配地位的非線性項(xiàng)中，不妨設(shè)n1≥n2，則根據(jù)平衡原理知又n1和n1均為正整數(shù)，其中一種情形為:

此時(shí)方程形式為:

其對(duì)應(yīng)的常微分方程為

因?yàn)閚=1，所以上式解的形式可以寫為

將(5)、(11)式代入方程(10)，令多項(xiàng)式

fj(ξ)gk(ξ)的系數(shù)為零，可得一個(gè)包含所有待定系數(shù)的非線性代數(shù)方程組，求解得:

3 具體精確解

對(duì)解(17)進(jìn)行數(shù)值模擬得圖1.

圖1 數(shù)值模擬圖

4 結(jié)束語(yǔ)

該文通過(guò)推廣的橢圓型輔助方程法，求推廣的Klein－Gordon方程:utt－α2utt+βun1－γun2=0(1)的精確行波解，通過(guò)應(yīng)用齊次平衡原理確定n1，n2的取值，進(jìn)而對(duì)不同取值進(jìn)行求解，對(duì)所求解代入特定值畫(huà)圖，進(jìn)一步明確解的性質(zhì).橢圓型輔助方程法可以對(duì)推廣的Klein－Gordon的各種形式進(jìn)行求解，并且能夠?qū)(ξ)和g(ξ)取一般形式的解進(jìn)行討論，具有一般性，該文的方法也適用于其他方程求精確行波解.

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