初中數(shù)學(xué)說(shuō)題案例之“巧用圖形推公式”

譚筠

題目：八年級(jí)上冊(cè)課本第147頁(yè)的問(wèn)題

問(wèn)題：如圖，為了擴(kuò)大街心花園的綠地面積，把一塊原長(zhǎng)a米，寬m米的長(zhǎng)方形綠地，增長(zhǎng)了b米，加寬了n米，你能用幾種方法求出擴(kuò)大后的綠地面積？

一、審題分析

（一）題目背景。此題出現(xiàn)在第十五章《整式的乘除與因式分解》的15.1.4整式的乘法中，它是學(xué)生學(xué)完了單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式之后提出的多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的問(wèn)題，既是前面各種運(yùn)算性質(zhì)、法則的推廣與綜合運(yùn)用，又為今后探究乘法公式和因式分解，了解公式的幾何背景等知識(shí)作準(zhǔn)備，而且在其得出的過(guò)程當(dāng)中涉及到數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化等重要的數(shù)學(xué)思想。因此，它在整個(gè)章節(jié)甚至“數(shù)與式”的學(xué)習(xí)中占有重要地位。

（二）分析題目。已知：長(zhǎng)方形長(zhǎng)為（a+b），寬為（m+n）問(wèn)題：求長(zhǎng)方形的面積

（三）題目的教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能：1.理解和掌握多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則及其推導(dǎo)過(guò)程;2.能靈活地進(jìn)行整式的乘法運(yùn)算。

過(guò)程與方法：1.經(jīng)歷探索多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則的過(guò)程，體會(huì)乘法分配律的作用以及“數(shù)形結(jié)合”、“整體”和“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想;2.通過(guò)對(duì)乘法法則的探索，歸納和描述，發(fā)展學(xué)生有條理思考的能力和語(yǔ)言表達(dá)能力。

情感與態(tài)度：培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考和勇于實(shí)踐的探索精神，樹(shù)立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣

（四）題目的重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：多項(xiàng)式乘法法則的導(dǎo)出及其應(yīng)用

難點(diǎn)：1.在計(jì)算中確定積中各項(xiàng)的符號(hào);2.防止重項(xiàng)漏項(xiàng)。

關(guān)鍵：多項(xiàng)式的乘法應(yīng)先轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算，再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為單項(xiàng)式的乘法，緊緊扣住這一線索

二、解題過(guò)程

（一）讀題。略。

（二）審題

[教師展示]

引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)問(wèn)題和幾何圖形聯(lián)系解決問(wèn)題

[學(xué)生]

畫(huà)圖分析題意并用數(shù)學(xué)語(yǔ)言敘述如下：已知：如圖，長(zhǎng)方形長(zhǎng)為（a+b），寬為（m+n）問(wèn)題：表示長(zhǎng)方形的面積

[教學(xué)設(shè)想1]

如果學(xué)生能較容易得出四種表示法，那么就可以進(jìn)而思考

1.不同的表示方法之間有什么關(guān)系？

2.如何從數(shù)學(xué)的角度認(rèn)識(shí)它們之間的關(guān)系？

[教學(xué)設(shè)想2]

啟發(fā)（1）如圖，街心花園有塊綠地，長(zhǎng)a米，寬m米，求面積

ma

啟發(fā)（2）如圖，擴(kuò)大綠地面積，把原長(zhǎng)增長(zhǎng)了b米，寬不變，求面積

m（a+b）=ma+mb

啟發(fā)（3）聯(lián)系圖形，說(shuō)一說(shuō)上式的意義是什么？

[學(xué)生]

分組討論，合作探究，展示成果

表達(dá)示① （a+b）（m+n）

表達(dá)示② m（a+b）+n（a+b）

表達(dá)示③ a（m+n）+b（m+n）

表達(dá)示④ am+bm+an+bn

[教師展示]

1.化簡(jiǎn)表達(dá)式②③，你會(huì)有什么發(fā)現(xiàn)？

2.這些表達(dá)式之間有什么關(guān)系及運(yùn)算規(guī)律？

關(guān)系式一：

（a+b）（m+n）= m（a+b）+n（a+b）= am+bm+an+bn

關(guān)系式二：

（a+b）（m+n）= a（m+n）+b（m+n）= am+bm+an+bn

3.你能表述出多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的運(yùn)算法則嗎？

引導(dǎo)描述式子：（a+b）（m+n）= am+bm+an+bn

[師生共同歸納]

歸納得出“多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加?！?/p>

（三）應(yīng)用新知

[常規(guī)應(yīng)用]例計(jì)算

（1） （3x+1）（x+2）;（2） （x-8y）（x-y）;（3） （x-y）（x2+xy+y2）。

[學(xué)生]

分享解題心得，總結(jié)易錯(cuò)點(diǎn)，點(diǎn)撥容易犯錯(cuò)的兩點(diǎn)：

① 防止重漏：合并前，積的項(xiàng)數(shù)=項(xiàng)數(shù)的積，如（a+b）（m+n），積的項(xiàng)數(shù)是2╳2=4，即4項(xiàng)

② 符號(hào)確定：兩項(xiàng)相乘，每一項(xiàng)都包括前面的符號(hào)，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)

[拓展探索]

改編自P148頁(yè)練習(xí)2 計(jì)算

你能根據(jù)圖形，大膽猜測(cè)：

（x+p）（x+q）= （ ?）2+（ ?）x+（ ? ）

根據(jù)上述的結(jié)論，請(qǐng)直接寫(xiě)出下列計(jì)算的結(jié)果：

①（a+2）（a+1）= ? ? ? ? ? ? ? ? ②（m-3）（m-1）=

③（b+5）（b-2）= ? ? ? ? ? ? ? ? ④（p-5）（p+3）=

三、總結(jié)提升

1.符號(hào)確定：多項(xiàng)式是單項(xiàng)式的和，每一項(xiàng)都包括前面的符號(hào)，在計(jì)算時(shí)一定要注意確定積中的各項(xiàng)的符號(hào)。

2.防止“重項(xiàng)漏項(xiàng)”，檢驗(yàn)項(xiàng)數(shù)：在沒(méi)有合并同類項(xiàng)之前，積的項(xiàng)數(shù)等于多項(xiàng)式項(xiàng)數(shù)的積。

3.結(jié)果最簡(jiǎn)：如果有同類項(xiàng)，則必須合并同類項(xiàng)，得出最簡(jiǎn)結(jié)果。

小錦囊：整式乘整式，符號(hào)是大事，為防重與漏，檢驗(yàn)項(xiàng)數(shù)積，同類必合并，降次更整齊。

四、評(píng)價(jià)分析

（一）教法設(shè)計(jì)。1.注重形成平等的師生關(guān)系，體現(xiàn)教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者、合作者。2.重視引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立探究，獨(dú)立分析，主動(dòng)合作，讓學(xué)生在自主探索、合作交流中理解掌握知識(shí)技能，培養(yǎng)提高素質(zhì)。3.能恰當(dāng)合理運(yùn)用現(xiàn)代教育技術(shù)。

（二）教學(xué)反思。1.本題由計(jì)算綠地面積出發(fā)，通過(guò)幾種不同的計(jì)算圖形面積方法，得出多項(xiàng)式相乘的法則，整個(gè)教學(xué)過(guò)程的主線和重點(diǎn)定在學(xué)生如何自主地探索多項(xiàng)式乘法法則的程以及如何熟練運(yùn)用法則解決問(wèn)題。2.教學(xué)處理時(shí)有兩個(gè)問(wèn)題值得我思考：①多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，用分配律轉(zhuǎn)化成單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，再用分配律轉(zhuǎn)化成單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式時(shí)，單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式的計(jì)算是基礎(chǔ)，必須牢牢掌握;②由于用分配律須經(jīng)兩次轉(zhuǎn)化才能成為單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，過(guò)程顯繁瑣，所以多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的計(jì)算，習(xí)慣上并不采取用分配律去轉(zhuǎn)化，而是直接用法則多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，還有一個(gè)“符號(hào)問(wèn)題”也不容忽視。