量測最小分辨率特性下自主相對導(dǎo)航設(shè)計(jì)方法

周朝霞，任家棟，曾慶雙，黃云鷹

(1.廈門大學(xué)嘉庚學(xué)院，363105福建廈門;2.哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，150001哈爾濱;3.上海航天控制技術(shù)研究所，200233上海)

衛(wèi)星編隊(duì)已不是一個(gè)新的概念［1］.自主相對導(dǎo)航是衛(wèi)星伴飛、空間交會(huì)對接、在軌衛(wèi)星捕獲與維修以及深空探測等任務(wù)的關(guān)鍵技術(shù)之一［2-3］.目前國內(nèi)外關(guān)于自主相對導(dǎo)航的研究成果較多，用于自主相對導(dǎo)航的測量設(shè)備主要包括類GPS敏感器、光學(xué)相機(jī)、微波雷達(dá)等，測量設(shè)備提供視線距或相對視線角度形式的輸出.相對導(dǎo)航方案大多采用兩星運(yùn)動(dòng)方程(CW方程)作為系統(tǒng)方程和EKF構(gòu)成相對導(dǎo)航系統(tǒng).

類GPS敏感器自主相對導(dǎo)航方法需要兩星均配置多幅特征天線［4］，差分GPS能夠?qū)崿F(xiàn)厘米級(jí)的導(dǎo)航精度［5］，可用于近距離交會(huì)對接段.光學(xué)相機(jī)的視線角度測量精度高，僅角度量測的相對導(dǎo)航研究較多［6-8］，該方法可觀性弱，收斂性較差，可用于遠(yuǎn)距離交會(huì)段.文獻(xiàn)［9］中所提到的應(yīng)用研究較多的自主相對導(dǎo)航方案采用視線距+兩個(gè)視線角度形式的微波雷達(dá)等測量體制.微波雷達(dá)是作為全天候工作的設(shè)備，是空間交會(huì)任務(wù)中普遍使用的相對測量敏感器，角度跟蹤多采用步進(jìn)電機(jī).研究表明雷達(dá)的測量誤差并不滿足高斯分布［10］，測角誤差特性復(fù)雜.通常微波雷達(dá)相對角度測量直接采用步進(jìn)電機(jī)指向，星間測距采用脈沖延遲計(jì)時(shí)，量測數(shù)據(jù)存在明顯的最小分辨率特性，致使導(dǎo)航濾波呈現(xiàn)出周期的振蕩誤差，針對此類特性的相對導(dǎo)航設(shè)計(jì)方法國內(nèi)外少有研究.導(dǎo)航濾波的振蕩特性表明系統(tǒng)引入了有色噪聲，本文分析上述現(xiàn)象產(chǎn)生的原因，提出相對導(dǎo)航的改進(jìn)設(shè)計(jì)方案，抑制有色噪聲干擾，以進(jìn)一步提高導(dǎo)航濾波精度.

1 相對導(dǎo)航系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型

相對運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系定義為參考星軌道系，O為參考星質(zhì)心，Ox，Oy，Oz分別沿參考星軌道跡向、軌道角動(dòng)量反方向、徑向.［xyz］T表示參考坐標(biāo)系下衛(wèi)星的相對位置坐標(biāo)，CW方程表示為(ω為參考星平均軌道角速度)

其中:A表示系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣;wk表示等效噪聲，滿足Qk=C(wk，wTk).雷達(dá)量測方程為

其中:ρ為兩星的視線距;ψ為雷達(dá)測量航向角;θ為雷達(dá)測量俯仰角;v為雷達(dá)量測噪聲，滿足R=E［v，vT］.

式(1)、(2)構(gòu)成了基于間接測量的相對導(dǎo)航系統(tǒng)［9］.

2 最小分辨率特性下導(dǎo)航特性及分析

通常雷達(dá)測距精度15 m(3σ)，測角精度0.15°(3σ)，將真實(shí)雷達(dá)測量數(shù)據(jù)接入相對導(dǎo)航系統(tǒng)得相對導(dǎo)航精度為如圖1、2，相對速度精度為 0.03 m/s(3σ).

圖1 相對導(dǎo)航x軸速率濾波誤差

圖2 相對導(dǎo)航z軸速率濾波誤差

事實(shí)上，如果雷達(dá)測量誤差滿足白噪聲分布，濾波精度(相對速度估計(jì)精度優(yōu)于0.01 m/s)遠(yuǎn)高于圖1和圖2的仿真數(shù)值，導(dǎo)航濾波的振蕩特性造成了濾波性能的嚴(yán)重衰減.

3 雷達(dá)測量模型

雷達(dá)采用脈沖發(fā)送接收時(shí)間差量測相對距離(存在由采樣周期決定的最小分辨率特性)，采用步進(jìn)電機(jī)進(jìn)行角度跟蹤(存在最小步距角決定的最小分辨率特性).定義:雷達(dá)的測距分辨率為ρmin;雷達(dá)的測角分辨率為θmin.雷達(dá)測距分辨率ρmin為15 m，忽略其平滑過程，其距離測量模型為其中:函數(shù)ceil()意指向上取整;與雷達(dá)熱噪聲、目標(biāo)閃爍等相關(guān)，數(shù)據(jù)分析得指距離真實(shí)值;ρ表示雷達(dá)距離測量輸出值.

角度測量模型為

其中:函數(shù)floor()意指向下取整，函數(shù)ceil()意指向上取整;N表示諧波齒輪傳動(dòng)比;θstep表示步進(jìn)電機(jī)步長;表示不考慮雷達(dá)步進(jìn)電機(jī)驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)步距角下的測量值.通常取θmin=θstep/N=0.05°.

針對衛(wèi)星伴飛橢圓的相對角度的最大值θmax，結(jié)合相對運(yùn)動(dòng)特性得表1.

分析可見，雷達(dá)量測噪聲特性包括常偏和振蕩部分，與理想的0.15°(3σ)的白噪聲分布特性差異較大.振蕩頻率與雷達(dá)的分辨率及伴飛構(gòu)型相關(guān).同時(shí)，微波雷達(dá)的有效數(shù)據(jù)更新率較低，但在更新時(shí)刻精度較高.

表1 雷達(dá)測量噪聲特性分析

4 低帶寬相對導(dǎo)航設(shè)計(jì)

分析可知，雷達(dá)測量誤差包括常偏和周期振蕩兩部分.周期振蕩產(chǎn)生的原因在于振蕩頻率在濾波器的帶寬范圍內(nèi).隔離雷達(dá)量測的振蕩周期是低帶寬設(shè)計(jì)工程中常用的手段.

4.1 相對導(dǎo)航帶寬分析及設(shè)計(jì)

卡爾曼濾波器一步預(yù)測狀態(tài)1為

則

對上式取期望得:

在穩(wěn)態(tài)情況下，上式形式與離散系統(tǒng)狀態(tài)觀測器一致，在理論上說明了卡爾曼濾波器與狀態(tài)觀測器間的內(nèi)在聯(lián)系.(A-AkH)的特性即反映了濾波器穩(wěn)態(tài)情況下的帶寬特性.調(diào)整增益k可改變?yōu)V波系統(tǒng)帶寬，對于卡爾曼濾波系統(tǒng)，同比例增大R陣的效果與同比例減小Q陣等效.本文采用增大R陣實(shí)現(xiàn)濾波系統(tǒng)低帶寬設(shè)計(jì).

4.2 帶寬對濾波性能影響分析

對于線性定常系統(tǒng)，系統(tǒng)模型有常值偏差，系統(tǒng)模型為

其中Δc是CW方程遞推常值偏差.則

對上式兩邊取期望，

其中‖(A-AkH)‖＜1，上式矩陣冪級(jí)數(shù)的和收斂，一段時(shí)間后將收斂到極限值.

當(dāng)Δc≠0時(shí)，對濾波算法的真實(shí)一步預(yù)測方差進(jìn)行分析得:

其中:上標(biāo)R(real)表示真實(shí)的，如PRk+1/k表示濾波結(jié)果的真實(shí)一步預(yù)測方差;Pk/k-1表示濾波算法產(chǎn)生的估計(jì)濾波方差.同理，對于觀測誤差

因此，對于穩(wěn)定的卡爾曼濾波過程‖(AAkH)‖＜1，初值誤差對期望的影響隨著時(shí)間慢慢減弱，動(dòng)力學(xué)建模的常值偏差值經(jīng)過一段時(shí)間后收斂在常值，導(dǎo)致濾波值期望有偏.

基于上述推導(dǎo)，圖3和圖4分析了低帶寬設(shè)計(jì)對系統(tǒng)常值誤差及白噪聲誤差的誤差傳遞特性.易見，系統(tǒng)的常值誤差及白噪聲誤差隨著系統(tǒng)帶寬的降低反比例增加.跟瞄量測的振蕩特性與在軌構(gòu)型相關(guān)，不宜設(shè)計(jì)統(tǒng)一的系統(tǒng)帶寬，即使針對特性構(gòu)型，低帶寬設(shè)計(jì)在抑制量測振蕩特性的同時(shí)，導(dǎo)致系統(tǒng)其他誤差特性的放大，難以保證系統(tǒng)的綜合性能.

圖3 帶寬與常偏誤差放大系數(shù)演變圖

圖4 帶寬與白噪聲誤差放大系數(shù)演變圖

5 自適應(yīng)導(dǎo)航濾波設(shè)計(jì)與分析

5.1 自適應(yīng)算法設(shè)計(jì)

引入自適應(yīng)因子，動(dòng)態(tài)調(diào)整濾波系統(tǒng)中觀測量的噪聲方差陣，實(shí)現(xiàn)觀測量中變增益修正，也是濾波系統(tǒng)克服觀測量存在最小分辨率問題的手段之一.

自適應(yīng)因子S的引入用于調(diào)節(jié)微波雷達(dá)量測信息對濾波遞推估計(jì)的修正.在量測更新情況下，測量信息精度最高，因此取自適應(yīng)規(guī)則為

其中i=1，2，3.

5.2 濾波性能分析

自適應(yīng)因子的引入等效于改變?yōu)V波系統(tǒng)的步長，與帶寬與濾波性能影響分析過程類似，改變?yōu)V波系統(tǒng)(式(3))的系統(tǒng)離散時(shí)間，由式(4)、(5)得濾波性能影響見圖5、6.易見，系統(tǒng)步長的改變對系統(tǒng)常值誤差及白噪聲誤差的影響曲線波度較緩，隨著系統(tǒng)步長的增加存在邊界約束，引入的綜合系統(tǒng)性能損失較小，可有效改善此類量測誤差的傳遞特性.

圖5 步長與常偏誤差放大系數(shù)演變圖

圖6 步長與白噪聲誤差放大系數(shù)演變圖

6 仿真分析

雷達(dá)模型的測距分辨率為15 m，測角分辨率為0.05°.兩星運(yùn)行在600 km的太陽同步軌道，距離為10 km，伴飛橢圓為40 m.低帶寬設(shè)計(jì)(降低15倍)仿真見圖7，自適應(yīng)變步長設(shè)計(jì)算法仿真見圖8.

統(tǒng)計(jì)仿真結(jié)果，三種濾波方法的濾波性能見表2.

表2 三種濾波方法濾波性能比較

低帶寬設(shè)計(jì)有效抑制了雷達(dá)量測振蕩特性，但在伴飛構(gòu)型邊界處性能無明顯改善，收斂時(shí)間達(dá)5 000 s.自適應(yīng)設(shè)計(jì)收斂性好，基本消除雷達(dá)振蕩特性對系統(tǒng)的影響，濾波精度提高一個(gè)數(shù)量級(jí)，達(dá)2E-3(3σ).

圖7 低帶寬設(shè)計(jì)速度濾波誤差

圖8 自適應(yīng)設(shè)計(jì)速度濾波誤差

7 結(jié)論

本文針對雷達(dá)測量存在最小分辨率特性下導(dǎo)航濾波表現(xiàn)出的振蕩特性，建立了準(zhǔn)確的雷達(dá)量測模型，分析得到了雷達(dá)量測的誤差特性，解釋了導(dǎo)航振蕩特性產(chǎn)生的原因.

為了抑制雷達(dá)量測的振蕩特性，進(jìn)一步提高濾波性能，本文提出了自適應(yīng)改進(jìn)設(shè)計(jì)方案，并采用濾波誤差分析方法，理論上分析對比了該方案與工程上常用的低帶寬設(shè)計(jì)方案的濾波性能.分析表明，低帶寬設(shè)計(jì)可抑制雷達(dá)量測的振蕩特性，但等比例放大標(biāo)稱系統(tǒng)的常偏及白噪聲誤差，收斂時(shí)間變長;自適應(yīng)設(shè)計(jì)能夠動(dòng)態(tài)適應(yīng)量測的不同更新率，較低帶寬設(shè)計(jì)大幅降低對標(biāo)稱系統(tǒng)性能損失，有效改善了系統(tǒng)濾波性能.仿真表明，同樣條件下，自適應(yīng)設(shè)計(jì)基本消除了雷達(dá)振蕩特性對濾波系統(tǒng)的影響，相對速度濾波精度為2E-3(3σ)，較設(shè)計(jì)前提高一個(gè)數(shù)量級(jí).

對于地球靜止軌道衛(wèi)星，軌道周期約增加15倍，雷達(dá)量測的振蕩周期同比例增加要求更低的導(dǎo)航帶寬設(shè)計(jì).相比而言，自適應(yīng)方案動(dòng)態(tài)適應(yīng)量測的不同更新率，具有更廣闊的應(yīng)用前景.

［1］ CARPENTER J， LEITNER J， FOLTA D， etal.Benchmark problems forspacecraftformation flying missions［C］//AIAA Guidance，Navigation and Control Conference and Exhibit 2003.Reston VA:AIAA 2003:5364-5369.

［2］HABLANI H B，TAPPER M L，DANA-BASHIAN D J.Guidance algorithms for autonomous rendezvous of spacecraft with a taget vehicle in circular orbit［J］.Journal of Guidance Control and Dynamics，2002，25(3):553-562.

［3］王常虹，曲耀濱，任家棟，等.非合作編隊(duì)衛(wèi)星姿軌一體化濾波新方法［J］，中國慣性技術(shù)學(xué)報(bào)，2012，20(6):111-117.

［4］吳云華，曹喜斌.編隊(duì)飛行衛(wèi)星自主相對導(dǎo)航算法研究［J］.哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2007，39(3):354-358.

［5］TANCREDI U，RANGA A，GRASSI M.Carrier-based differential GPS for autonomous relative navigation in LEO［C］//AIAA Guidance Navigation and Control Conference.Reston VA:AIAA，2012:4707-4717.

［6］ SCHMIDT J，LOVELL T A.Estimating geometric aspects of relative satellite motion using angles-only measurements［C］//In:AAS/AIAA Astrodynamics SpecialistConference and Exhibit.Reston VA:AIAA，2008，08:6604-6620.

［7］WODFFINDEN D C，GELLER D K.Relative anglesonly navigaiton and pose estimation for autonomous orbital rendezvous［J］.Journal of Guidance Control and Dynamics，2007，30(5):1455-1469.

［8］ PATEL H，LOVELL T A，ALLGERIER S，et al.Relavie navigation for satellites in close proximity using angles-only observations［J］.Advances in the Astronautical Sciences，2012(143):1485-1495.

［9］趙長山，秦永元，王獻(xiàn)忠，等.基于間接測量的衛(wèi)星相對導(dǎo)航［J］，宇航學(xué)報(bào)，2008，29(3):864-867.

［10］WU W R.Maximum likelihood identification of glint noise［J］，IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，1996，32(1):41-51.