航天器姿態(tài)跟蹤的非線(xiàn)性離散滑模仿真模型設(shè)計(jì)

溫衛(wèi)斌，付 強(qiáng)，王 芳，肖 媛，王 濤

(1.中國(guó)科學(xué)院國(guó)家天文臺(tái)中國(guó)科學(xué)院月球與深空探測(cè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，100012北京;2.北京華云星地科技有限公司，100081北京)

三軸穩(wěn)定剛體航天器姿態(tài)跟蹤控制系統(tǒng)的任務(wù)是實(shí)時(shí)地對(duì)姿態(tài)指令進(jìn)行準(zhǔn)確跟蹤，實(shí)現(xiàn)其飛行姿態(tài)的穩(wěn)定控制.期間所需克服的干擾因素有:敏感元件及傳感器漂移等所引起的參數(shù)攝動(dòng)、發(fā)動(dòng)機(jī)及噴管偏斜力矩、重力梯度力矩、太陽(yáng)輻射力矩以及空間微粒碰撞產(chǎn)生的力矩等.以上因素使得航天器姿態(tài)的精確控制成為人們研究的熱點(diǎn).實(shí)際上，航天器姿態(tài)控制是一個(gè)典型的非線(xiàn)性耦合問(wèn)題，傳統(tǒng)的三通道PID獨(dú)立設(shè)計(jì)方法已很難獲得較好的控制性能和動(dòng)態(tài)品質(zhì).為提高控制性能及設(shè)計(jì)效率，近年來(lái)國(guó)內(nèi)外相關(guān)學(xué)者先后將魯棒H∞控制［1］、動(dòng)態(tài)逆［2］、自抗擾控制［3］、最優(yōu)控制方法［4-5］以及非線(xiàn)性滑?？刂品椒ǎ?］應(yīng)用于航天器姿態(tài)跟蹤控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)，并取得了較好的控制效果.其中，由于滑?？刂?sliding mode control，SMC)具有對(duì)外部擾動(dòng)和內(nèi)部參數(shù)攝動(dòng)較好的魯棒性能，從而在該研究領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用.文獻(xiàn)［7］將滑?？刂茟?yīng)用到姿態(tài)穩(wěn)定控制問(wèn)題中，并通過(guò)求解最優(yōu)控制問(wèn)題來(lái)整定滑模函數(shù)參數(shù).文獻(xiàn)［8］分別以四元數(shù)和修正羅德里格參數(shù)為姿態(tài)參數(shù)設(shè)計(jì)了滑模姿態(tài)跟蹤控制器.文獻(xiàn)

［9］則利用分層滑模控制方法，為帶兩個(gè)控制執(zhí)行機(jī)構(gòu)的欠驅(qū)動(dòng)剛體航天器的姿態(tài)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種三軸穩(wěn)定控制器，并驗(yàn)證了該方法的有效性.針對(duì)控制受限和角速率受限的剛體航天器姿態(tài)跟蹤控制問(wèn)題，文獻(xiàn)［10］則設(shè)計(jì)了在控制量受約束情況下的時(shí)變滑模姿態(tài)控制器，較好地消除了系統(tǒng)抖振，且具有良好的魯棒性.

然而，上述研究成果多是針對(duì)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)進(jìn)行的相關(guān)仿真，在現(xiàn)代航天控制的實(shí)際工程研制與應(yīng)用過(guò)程中，相關(guān)的控制算法均由星載計(jì)算機(jī)來(lái)實(shí)現(xiàn)，各狀態(tài)量、解算量及控制量在各采樣周期內(nèi)均保持不變，而且由于采樣周期的限制，滑動(dòng)模態(tài)的各性質(zhì)都將改變，基于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)理論及模型所設(shè)計(jì)的滑?？刂破魍鶗?huì)導(dǎo)致實(shí)際控制系統(tǒng)不穩(wěn)定，控制性能與理論仿真結(jié)果相比較差.因此，研究航天器的離散姿態(tài)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法具有實(shí)際工程意義.為此，本文首先建立了航天器姿控仿射模型，通過(guò)反饋線(xiàn)性化方法對(duì)原非線(xiàn)性耦合系統(tǒng)解耦并作離散化處理，并由離散化指數(shù)趨近律推導(dǎo)了離散滑模姿態(tài)控制律.通過(guò)仿真驗(yàn)證了該離散控制器的有效性，對(duì)系統(tǒng)外干擾和內(nèi)部參數(shù)攝動(dòng)都具有良好的魯棒性能.

1 剛體航天器姿態(tài)控制仿射模型

設(shè)航天器的姿態(tài)參考基準(zhǔn)為軌道坐標(biāo)系O，其定義如下，原點(diǎn)位于航天器質(zhì)心，OXO為橫向，OZO指向地心，OYO則指向軌道法向，并與軌道角速度反向.假定航天器姿態(tài)不受軌道影響，則剛體航天器運(yùn)動(dòng)學(xué)方程可表示為

式中:［γ，θ，ψ］T為航天器相對(duì)于軌道坐標(biāo)系O的姿態(tài)角;ωi=［ωix，ωiy，ωiz］T為體系B相對(duì)于慣性坐標(biāo)系Ⅰ且表示在B上的姿態(tài)角速度矢量;ωo為軌道角速度;Cbo為軌道系O到體系B的轉(zhuǎn)換矩陣.

剛體航天器的動(dòng)力學(xué)方程為

其中:J∈R3×3為航天器的對(duì)陣正定轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣;表示矢量ωi的斜對(duì)稱(chēng)矩陣;Tc=Te+Tp為三軸控制力矩矢量，由航天器噴管控制力對(duì)質(zhì)心的分力矩及發(fā)動(dòng)機(jī)擺角控制力矩組成，其具體形式為

d=［dx，dy，dz］T為不可建模隨機(jī)干擾力矩;Tg為空間環(huán)境引力梯度干擾力矩:

以上各式中，P為主發(fā)動(dòng)機(jī)推力;Pγ13、Pγ24、Pθ及Pψ為輔助姿控噴管推力;xc、yc及zc為航天器質(zhì)心位置;li為推力偏心距;Ki為標(biāo)定系數(shù);δ1、δ2為發(fā)動(dòng)機(jī)擺角.

為方便仿射模型推導(dǎo)，設(shè)姿態(tài)角均為小量，如sinγ≈γ、cosγ≈ 1，同時(shí)忽略二階小量;設(shè)體系B為航天器主軸系，則忽略慣性積.認(rèn)為系統(tǒng)的不確定性可用參數(shù)不確定性和外部干擾表示，則可建立如下姿態(tài)控制仿射模型:

式中:狀態(tài)量x=［γ，θ，ψ，ωix，ωiz，ωiy］T，控制輸入u=［Pγ13，Pγ24，Pθ，Pψ，δ1，δ2］T，參考輸出y=［γr，θr，ψr］T為采用簡(jiǎn)化模型時(shí)的外部合干擾項(xiàng).Δf(x)與 ΔG(x)=［Δg1，Δg2，…，Δgm］，Δg(x)=g(x)(x)分別表示建模不確定項(xiàng)和參數(shù)攝動(dòng)項(xiàng)，估計(jì)函數(shù)向量(x)、估計(jì)增益矩陣(x)、Δf(x)及ΔG(x)具體形式為

2 航天器離散滑模姿態(tài)跟蹤控制器設(shè)計(jì)

2.1 基于精確反饋線(xiàn)性化的解耦控制

為推導(dǎo)航天器姿態(tài)跟蹤滑?？刂坡?，需對(duì)仿射模型進(jìn)行反饋線(xiàn)性化處理，利用微分幾何方法對(duì)非線(xiàn)性系統(tǒng)的狀態(tài)空間進(jìn)行描述.

針對(duì)式(1)所示的m維輸入、m維輸出仿射非線(xiàn)性系統(tǒng)模型，若對(duì)于每個(gè)輸出yi，該系統(tǒng)具有相對(duì)階向量ρ=［ρ1，ρ2，…，ρm］T以及 lie 導(dǎo)數(shù)向量，使其滿(mǎn)足:

2)系統(tǒng)狀態(tài)有界:‖Δf‖ ≤fM，‖Δgi‖ ≤giM(i=1，2，…，m).

則可采用微分幾何方法使系統(tǒng)(1)等價(jià)于

同時(shí)假設(shè)等效干擾［1，2，…，］T滿(mǎn)足有界條件‖‖≤D，則可通過(guò)非線(xiàn)性輸入變換得到系統(tǒng)的反饋解耦控制律

進(jìn)而可將式(1)轉(zhuǎn)化為m個(gè)簡(jiǎn)單的線(xiàn)性動(dòng)態(tài)方程

式(3)表明，虛擬輸入控制向量v=［v1，…，vm］T是僅作用在輸出上的.

采用上述反饋線(xiàn)性化方法，可得系統(tǒng)(1)的如下Lyapunov微分系數(shù)向量:

非線(xiàn)性解耦矩陣:

其中:

易知，在暫不考慮模型不確定擾動(dòng)項(xiàng)的情況下，通過(guò)反饋線(xiàn)性化方法可將系統(tǒng)解耦為3個(gè)獨(dú)立子系統(tǒng)進(jìn)行控制.

2.2 基于飽和型趨近律的離散滑模姿態(tài)控制器設(shè)計(jì)

直接對(duì)非線(xiàn)性仿射模型形式的姿態(tài)控制系統(tǒng)進(jìn)行精確離散化比較困難，為便于設(shè)計(jì)離散滑模姿態(tài)控制器，本文考慮對(duì)已得到的線(xiàn)性動(dòng)態(tài)方程式(3)進(jìn)行精確離散化處理.則離散處理后的系統(tǒng)的輸出跟蹤指令可表示為

則原姿態(tài)控制系統(tǒng)(1)的各解耦子系統(tǒng)的離散化線(xiàn)性表示即為

式中Ad、Bd為任意相鄰采樣周期［kT，(k+1)T］間的離散化狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣及增益矩陣，其具體形式:

式(4)中的模型不確定擾動(dòng)項(xiàng)(k)可歸納表示為(k)=LΔfLhi+LΔgiLfhiui+di(k)，(i=1，2，3).

具體而言，LΔfLhi+LΔgiLfhiui為采用反饋線(xiàn)性化方法時(shí)模型參數(shù)不準(zhǔn)確導(dǎo)致的參數(shù)化不確定項(xiàng)，其形式為

為使公式表示清晰，以上各狀態(tài)量及控制量離散采樣值均省略了*(k)的書(shū)寫(xiě)格式.

滑?？刂仆耆揽靠刂坡芍械牟贿B續(xù)切換項(xiàng)來(lái)保證系統(tǒng)的魯棒性能，切換項(xiàng)的大小取決于模型不確定的界.設(shè)λ＞0，C=［λ，1］，結(jié)合非線(xiàn)性離散狀態(tài)方程(4)，定義如下線(xiàn)性切換函數(shù):

式中zic(k)為kT時(shí)刻的輸出指令.

選取離散化指數(shù)趨近律為

式中ε為切換增益，q為趨近律系數(shù)，均為正實(shí)數(shù)，并滿(mǎn)足1-qT＞0.

綜合式(4)～(6)，可得離散滑模虛擬控制律為

式中子系統(tǒng)切換增益應(yīng)設(shè)置為εi≥Di+ηi，(ηi＞ 0).

在式(7)的作用下，(k+1)T時(shí)刻僅考慮外部擾動(dòng)的切換函數(shù)

為對(duì)抖振加以抑制，采用邊界約束正則化方法［11］，以飽和函數(shù)sat(*)替代式(7)中的符號(hào)函數(shù)sgn(*)，則式(5)可進(jìn)一步改寫(xiě)為

結(jié)合式(2)與(9)，可得各通道的離散滑模舵偏控制律為

為使離散滑模姿態(tài)控制器所跟蹤的輸出參考指令更接近實(shí)際情況，在系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)入滑動(dòng)模態(tài)后，應(yīng)利用相鄰采樣時(shí)刻間的輸出指令均值代替kT時(shí)刻的輸出參考指令zr(k).

3 離散滑模姿態(tài)控制器性能仿真與分析

為驗(yàn)證該離散滑模姿控系統(tǒng)的控制性能，選取如下航天器結(jié)構(gòu)及狀態(tài)參數(shù):

軌道速度ω0=0.001 055 rad/s;主發(fā)動(dòng)機(jī)推力P=3 500 N;輔助姿控噴管推力均為P=30 N，為實(shí)現(xiàn)姿態(tài)微調(diào)，其最短持續(xù)時(shí)間0.2 s，作用時(shí)間不確定;航天器轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及質(zhì)心位置標(biāo)稱(chēng)值列于表1;標(biāo)定系數(shù)為滿(mǎn)足|Ki|≤0.1的隨機(jī)數(shù).

表1 航天器轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及質(zhì)心位置標(biāo)稱(chēng)值

參考輸出量初始值γ=3°、θ=5°、ψ=-3°;期望姿態(tài)角γr=0°、θr=1.5°、ψr=0°;初始角速度發(fā)動(dòng)機(jī)初始擺角δ1=δ2=0°.在仿真中考慮發(fā)動(dòng)機(jī)噴管擺動(dòng)的動(dòng)力學(xué)延遲，并假設(shè)其一階等效模型的阻尼系數(shù)ξ=0.7.

隨機(jī)干擾力矩假設(shè)為

轉(zhuǎn)動(dòng)慣量不確定部分上限ΔJ≤0.15J.

仿真中各控制參數(shù)設(shè)置為滑模面增益λ1=5.5、λ2=7.2、λ3=6.5;切換增益ε1=0.2、ε2=ε3=0.35，ηi=0.1;趨近律系數(shù)qi=5;邊界層厚度μ=0.05;外界不確定干擾上界D1=0.05、D2=0.065、D3=0.08.由式(7)～ (10)可知，在以上控制參數(shù)確定的情況下，采樣周期T將影響控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)跟蹤性能.仿真結(jié)果見(jiàn)圖1～13.圖1～3所示為不同采樣周期情況下分別對(duì)姿態(tài)角指令的跟蹤響應(yīng)對(duì)比曲線(xiàn).從指令跟蹤效果上看，采樣周期越大，采樣時(shí)間間隔內(nèi)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)受到參數(shù)攝動(dòng)的影響越明顯，因而姿態(tài)角跟蹤精度就越差.而且，采樣周期較大時(shí)控制量的不連貫性也會(huì)影響對(duì)指令響應(yīng)的快速性，甚至產(chǎn)生一定的超調(diào)量.三通道角速率狀態(tài)響應(yīng)對(duì)比曲線(xiàn)如圖4～5所示，因離散滑模控制只能產(chǎn)生準(zhǔn)滑動(dòng)模態(tài)，故隨著采樣周期T的增大，切換帶寬度也會(huì)相應(yīng)增大，進(jìn)而會(huì)引起系統(tǒng)參數(shù)的抖振，即姿態(tài)角速度在T較大的情況下變化較劇烈，不利于控制精度的保證.

圖6～8為不同采樣周期下，輔助推力及推力擺角的對(duì)比曲線(xiàn)，圖中正數(shù)表示脈沖力為順時(shí)針作用方向(從航天器尾部或上部方向看).可看出，在切換增益相同的情況下，離散控制器輸出的控制指令受采樣周期影響，較大的采樣周期使得系統(tǒng)控制性能的快速性變差，存在一定的控制滯后現(xiàn)象.

圖1 滾轉(zhuǎn)角指令跟蹤響應(yīng)

圖2 俯仰角指令跟蹤響應(yīng)

圖3 偏航角指令響應(yīng)對(duì)比曲線(xiàn)

圖4 角速率狀態(tài)響應(yīng)曲線(xiàn)(10 ms)

圖5 角速率狀態(tài)響應(yīng)曲線(xiàn)(100 ms)

圖6 輔助姿控推力曲線(xiàn)1

圖7 輔助姿控推力曲線(xiàn)2

圖8 發(fā)動(dòng)機(jī)擺角曲線(xiàn)

圖9～13分別為不同采樣周期下各通道滑模面切換函數(shù)與相軌跡對(duì)比曲線(xiàn)，較小的采樣周期T會(huì)使切換函數(shù)曲線(xiàn)具有較好的收斂性，進(jìn)而可保證指令跟蹤的精確性要求.反之，T越大，離散時(shí)間狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)從初始狀態(tài)出發(fā)到達(dá)切換面的時(shí)間越長(zhǎng)，模態(tài)收斂速度就越慢，在帶中運(yùn)動(dòng)時(shí)反復(fù)超越理想滑模面的次數(shù)就越多，這便對(duì)離散系統(tǒng)的指令跟蹤造成了一定程度的精度損失.可見(jiàn)，采樣周期是影響離散滑模控制跟蹤性能的主要因素，在實(shí)際硬件系統(tǒng)性能允許的范圍內(nèi)，為提高控制器的跟蹤精度，應(yīng)盡可能地減小系統(tǒng)采樣周期.

圖9 滾轉(zhuǎn)通道切換函數(shù)對(duì)比曲線(xiàn)

圖10 偏航、俯仰通道切換函數(shù)對(duì)比曲線(xiàn)

圖11 滾轉(zhuǎn)通道滑模面相軌跡對(duì)比曲線(xiàn)

圖12 俯仰通道滑模面相軌跡對(duì)比曲線(xiàn)

圖13 偏航通道滑模面相軌跡對(duì)比曲線(xiàn)

4 結(jié)語(yǔ)

本文研究了三軸穩(wěn)定剛體航天器姿態(tài)控制器的離散滑模設(shè)計(jì)方法，建立了姿控仿射模型，通過(guò)引入反饋線(xiàn)性化理論將原非線(xiàn)性耦合系統(tǒng)進(jìn)行解耦，并對(duì)新的解耦系統(tǒng)模型進(jìn)行離散化處理.將轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及分力矩偏差引起的攝動(dòng)項(xiàng)作為模型不確定擾動(dòng)，結(jié)合離散滑?？刂圃碓O(shè)計(jì)了離散滑模姿態(tài)控制律.通過(guò)對(duì)比仿真分析，驗(yàn)證了該系統(tǒng)對(duì)指令跟蹤的魯棒性能，實(shí)現(xiàn)了各通道的解耦控制.

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