基于RSA的門限密碼體制研究

張久輝 左明鑫

（1.鄭州電力職業(yè)技術(shù)學(xué)院 電力工程系，河南 鄭州451450；2.鄭州科技學(xué)院 電氣工程學(xué)院，河南 鄭州450064）

1 概述

現(xiàn)代密碼學(xué)技術(shù)在私鑰沒有泄露的情況下基本上可以做到完善保密，也就是說偷窺者無法在可以接受的時(shí)間內(nèi)將密文翻譯成明文。有時(shí)候，我們?yōu)榱朔乐箼?quán)力的過分集中，常常采用密鑰分散管理。所謂密鑰分散管理，就是把一個(gè)系統(tǒng)密鑰S分成N個(gè)密鑰碎片S1，S2，…，Sn，并且分發(fā)給N個(gè)具有合法性的節(jié)點(diǎn)P1，P2，…，Pn［1］，給定一個(gè)正整數(shù)T，且T＜N，在任何成員數(shù)t＜T的情況下都不能由他們的部分秘密中得到整個(gè)系統(tǒng)的秘密，只有當(dāng)成員數(shù)t＞T的情況下合作才可以完成密碼運(yùn)算，從而很好地解決了權(quán)力過分集中的問題。在某些不便頻繁更換密鑰的場(chǎng)合，密鑰自身的安全性至關(guān)重要，如何提高密鑰的安全性成了很多人研究的課題，本文將介紹所采用的具體加密算法。

2 密鑰碎片的生成

首先需要存在一個(gè)可靠的認(rèn)證中心CA［2］，所謂可靠，就是假設(shè)這個(gè)CA是安全而不容易被攻破的，以及CA不會(huì)對(duì)系統(tǒng)信息構(gòu)成威脅，這里的CA就好比大會(huì)選舉中的唱票人員，左右不了大會(huì)的投票結(jié)果。CA采用如下的方式進(jìn)行密鑰碎片的生成，具體可以描述為：CA首先要建立一個(gè)矩陣A=［aij］NXn（其中i，j都是正整數(shù)，1≤i≤N，1≤j≤n）和一個(gè)列向量B=［bj］TX1，且n＞T，我們?nèi)稳【仃嘇中的任意T列組成的新矩陣A就可以和列向量B相乘得到一個(gè)列向量C=AB=［cj］Nx1，C就是N維向量空間里的一個(gè)元素，C就是由所有C組成的集合，所以C中應(yīng)該共有個(gè)元素。矩陣和向量乘積可以用如下公式表示：

認(rèn)證中心CA就把向量A中的每個(gè)列向量作為一個(gè)密鑰碎片S1，S2，…，Sn安全地發(fā)送給n個(gè)合法的節(jié)點(diǎn)P1，P2，…Pn。

3 密鑰碎片的分發(fā)

至于如何安全地將密鑰碎片發(fā)送到合法用戶手中，有很多種方法（包括硬件的或軟件的），由于橢圓曲線加密算法ECC［3］具有較高的安全性和難破譯性，本文采用橢圓曲線的方法將密鑰碎片發(fā)送給合法用戶。這里就需要每個(gè)合法節(jié)點(diǎn)用戶建立一個(gè)自己的公私鑰對(duì)［4］，認(rèn)證中心CA用戶節(jié)點(diǎn)的公鑰對(duì)要發(fā)給用戶節(jié)點(diǎn)的密鑰碎片進(jìn)行加密，用戶節(jié)點(diǎn)再用自己的私鑰對(duì)認(rèn)證中心發(fā)過來的密鑰碎片進(jìn)行解密。假設(shè)某個(gè)節(jié)點(diǎn)的橢圓曲線方程為y2=x3+x+6，私鑰為t=9，公鑰a=（2，7），b=9a=（10，9），具體用公式描述加密解密過程如下：

加密過程

解密過程

當(dāng)需要改變某些節(jié)點(diǎn)的權(quán)利時(shí)，我們只需要相應(yīng)地改變矩陣A的列向量數(shù)及其內(nèi)容。比如要去掉第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的權(quán)限，只需要認(rèn)證中心CA去掉矩陣中的第i個(gè)列向量，同時(shí)集合C中的列向量數(shù)也要做相應(yīng)地調(diào)整。在投票后，認(rèn)證中心CA將收到的密鑰碎片和矩陣A的列向量進(jìn)行對(duì)照，在矩陣A中不存在的列向量都被認(rèn)為是無效的。當(dāng)需要增加一個(gè)或幾個(gè)合法用戶節(jié)點(diǎn)的權(quán)限時(shí)，我們只需要簡單地在矩陣A中增加一個(gè)或幾個(gè)列向量，只要滿足增加的列向量aNj和列向量B的乘積數(shù)和C中的任一元素都不相等即可。然后用解密后的密鑰碎片組成一個(gè)新的矩陣A，再用矩陣A和列向量B相乘，把所得的列向量C與列向量C中的元素進(jìn)行對(duì)照，如果滿足集合C≤C，則投票完成。從而可得，任何小于T個(gè)密鑰碎片都不能完成上面的矩陣乘法，也就是說小于T個(gè)合法節(jié)點(diǎn)都無法進(jìn)行投票。

4 會(huì)話機(jī)制的建立

在合法節(jié)點(diǎn)與認(rèn)證中心通信時(shí)，通信內(nèi)容往往會(huì)被竊聽，為了保證通信內(nèi)容的安全性，需要對(duì)節(jié)點(diǎn)發(fā)送給認(rèn)證中心的密鑰碎片進(jìn)行加密，這就是多級(jí)加密中的二級(jí)加密思想。采用RSA密碼體制對(duì)各點(diǎn)的密鑰碎片進(jìn)行加密，各合法用戶節(jié)點(diǎn)用認(rèn)證中心CA的會(huì)話公鑰對(duì)自己擁有的私鑰碎片中每個(gè)元素逐個(gè)進(jìn)行加密。

設(shè)n=pq，其中p和q為大素?cái)?shù)。且定義K=｛（n，p，q，a，b）：a b≡1（mod?（n））｝，其中n和b組成了公鑰，且p，q和a組成了私鑰，當(dāng)需要投票時(shí)，節(jié)點(diǎn)Pi用公式（6）對(duì)密鑰碎片中的每個(gè)元素逐個(gè)進(jìn)行加密，然后把加密后的數(shù)據(jù)發(fā)送給認(rèn)證中心CA，認(rèn)證中心收到節(jié)點(diǎn)Pi發(fā)送過來的數(shù)據(jù)后用公式（7）逐個(gè)進(jìn)行解密［5］。

由

得

加密過程

解密過程

認(rèn)證中心把從各個(gè)節(jié)點(diǎn)Pi發(fā)送過來的正確密鑰碎片經(jīng)解密后，把這些密鑰碎片隨機(jī)組成一個(gè)矩陣A1，當(dāng)A1的列向量數(shù)大于等于T時(shí)，任取其中T列組成新的矩陣A2，然后看A2與列向量B乘積C1是否屬于C，如果屬于C則投票完成，如果不屬于C，我們就重新選取A1中的元素T列，再與列向量B乘積，只要有一次乘積結(jié)果是C中的一個(gè)元素，投票就算完成。只有所有次選取組成的向量與B乘積都不是C中的元素時(shí)，不能打開系統(tǒng)秘密。

5 結(jié)語

采用多方協(xié)商的方式，使用密鑰分散管理能很好地解決權(quán)力過分集中和密鑰不便經(jīng)常改變的問題，能夠抵抗中間人的攻擊，能改變合法用戶權(quán)限。但是對(duì)系統(tǒng)內(nèi)部的攻擊卻很薄弱，這幾乎是現(xiàn)在信息安全方面的一個(gè)通病，再一個(gè)是過分依賴認(rèn)證中心，如果認(rèn)證中心不可靠，整個(gè)系統(tǒng)就沒秘密可言。

［1］Zhou L and Haas Z J，Securing ad hoc networks［J］.IEEE network，special issue on network security，November/December，1999.

［2］Ratna Dutta，Sourav Mukhopadhyay，Martin collier Computationally secure self-healing key distribution with revocation in wireless ad hoc networks［J］.Contents lists available at Science DirectAd Hoc Networks2010：15-17.

［3］ELGamal，Principle and Practice of Cryptograhy［M］.Beijing：Electronic Industry Press，2009：184-186.

［4］Chen kefei，Threshold RSA Cryptosystem［J］.ACT ELECTRONICASINICA，1999，27（6）：1-2.

［5］N Koblitz.Elliptic curve cryptosystems［J］.Math.Comp，1987，177（48）：203-209.