具有廣義凸性的一類半無限向量分式規(guī)劃的鞍點(diǎn)準(zhǔn)則＊

李 鈺 ，嚴(yán)建軍，李江榮

(1.延安大學(xué) 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，陜西 延安716000;2.延安職業(yè)技術(shù)學(xué)院，陜西 延安716000)

近些年，最優(yōu)化在理論上的相關(guān)研究已取得了很大進(jìn)展，同時(shí)，凸性理論也被廣泛應(yīng)用到最優(yōu)化的各個(gè)領(lǐng)域中，而數(shù)學(xué)規(guī)劃作為最優(yōu)化的一個(gè)重要分支，影響則更為深遠(yuǎn)。Preda［1］引入了(F，ρ)-凸函數(shù)。Xu［2］對(duì)之進(jìn)行了推廣，建立了廣義的(F，ρ)- 凸函數(shù)。Z. A. Liang，H. X. Huang 和P. M.Pardalos［3］建立了更為廣義的凸性條件，提出(F，α，ρ，d)- 凸函數(shù)。

本文利用局部漸近錐K，在已有定義(F，α，ρ，d)K- V - 凸函數(shù)、(F，α，ρ，d)K- V - 偽凸函數(shù)等廣義凸函數(shù)的基礎(chǔ)上，研究涉及這些廣義凸性的一類半無限向量分式規(guī)劃的鞍點(diǎn)準(zhǔn)則。

1 基本概念

定義1.1［4］映射K:2X× X →2X稱為局部漸近錐，若對(duì)每一個(gè)集M ?X 和每一點(diǎn)x ∈X，錐K(M，x)具有以下性質(zhì):

(i)K(M，x)= K(M - x，0);

(iv)K(M，x)= M，對(duì)?x ∈int M;

(v)K(φ(M)，φ(x))= φ(K(M，x))，這里φ:X →X 為任一線性同胚;

(vi)O+M ?O+K(M，x)。

定義1.2［4］設(shè)K(·，·)為一局部漸近錐，則稱fK(x;·):X × X →R ∪{+ ∞}，為f 在x 處的K - 方向?qū)?shù)。

定義1.3［5］若存在緊凸集?Kf(x)，滿足fK(x;y)則稱f:X →R 在x 處是K -次可微的，其中，對(duì)?y ∈Rn}為f 在x 處的K - 次微分。

定義1.4 稱泛函F:Rn× Rn× Rm→R 是次線性的，如果對(duì)?x1，x2∈Rn，有

定義1.5［6］設(shè)f 是定義在非空開集X ?Rn上的實(shí)向量函數(shù)，f:X →Rp，其每個(gè)分量fi是局部Lipschitz 連續(xù)的，如果?F:X×X×Rn→R 是次線性函數(shù)，函數(shù)α = (α1，…，αp)Τ，αi:X × X →R+{0}，d:X × X →R，ρ = (ρ1，…，ρp)Τ，ρi∈R 和局部漸近錐K，如果對(duì)于?x ∈X，有

則稱f = (f1，…，fp)在x0∈X 處是(F，α，ρ，d)K-V - 凸的。

定義1.6［7］設(shè)f 是定義在非空開集X ?Rn上的實(shí)向量函數(shù)，f:X →Rp，其每個(gè)分量fi是局部Lipschitz 連續(xù)的，如果?F:X×X×Rn→R 是次線性函數(shù)，函數(shù)α = (α1，…，αp)Τ，αi:X × X →R+{0}，d:X × X →R，ρ = (ρ1，…，ρp)Τ，ρi∈R 和局部漸近錐K，如果對(duì)于?x ∈X，有

則稱f = (f1，…，fp)在x0∈X 處是(F，α，ρ，d)K-V - 偽凸的。

定義1.7 設(shè)f 是定義在非空開集X ?Rn上的實(shí)向量函數(shù)，f:X →Rp，其每個(gè)分量fi是局部Lipschitz 連續(xù)的，如果?F:X×X×Rn→R 是次線性函數(shù)，函數(shù)α = (α1，…，αp)Τ，αi:X × X →R+{0}，d:X × X →R，ρ = (ρ1，…，ρp)Τ，ρi∈R 和局部漸近錐K，如果對(duì)于?x ∈X，有

則稱f = (f1，…，fp)在x0∈X 處是(F，α，ρ，d)K-V - 擬凸的。

2 主要結(jié)果

考慮半無限向量分式規(guī)劃:

其中fi，gi:X0→R，i = 1，…，p，hj:X0→R，j ∈J，J 為無限緊集，X0?Rn是一非空開集。記X ={x ∈X0| hj(x)≤0，j ∈J}，J(x*)= {j ∈J |hj(x*)= 0}是主動(dòng)約束集，R(J)+= {μ:J →R+|對(duì)?j ∈J，僅有有限個(gè)μj≠0}。總是假定對(duì)所有x∈X0，有fi(x)≥0，gi(x)＞0，i=1，…，p。

定義2.1 (FP)的一個(gè)可行解x*∈X 稱為是(FP)的一個(gè)有效解，如果不存在x ∈X，使得

定義2.2 (FP)的一個(gè)可行解x*∈X 稱為是(FP)的一個(gè)弱有效解，如果不存在x ∈X，使得

首先考慮單目標(biāo)規(guī)劃問題

其中l(wèi)，hj:X0→R 是局部Lipschitz 連續(xù)函數(shù)。

在點(diǎn)x*∈X0處，記J*={j∈J|hj(x*)=0}。

定義2.3 對(duì)于問題(P)，若在點(diǎn)x*∈X0處，有Ω0-≠?，則稱問題(P)的約束滿足約束品性C0。引理2.1［8］若x*是(P)的局部最小點(diǎn)且在x*處(P)的約束滿足約束品性C0，則存在數(shù)(λj)j∈J，使得

引理2.2［1］x*是(FP)的有效解的充要條件是x*是P 個(gè)規(guī)劃問題(FPk)(k = 1，…，p)的最優(yōu)解，其中(FPk)為

現(xiàn)引入與 (FPk) 有密切關(guān)系的規(guī)劃(EFPk):

注:易知(FPk)與(EFPk)的可行集相同，均記為D。

引理2.3 x*是(FPk)的最優(yōu)解的充要條件是x*是(EFPk)的最優(yōu)解。

引理2.4 若x*是(FPk)的最優(yōu)解且(EFPk)在x*處滿足約束品性C0，則存在非負(fù)數(shù)τi(i = 1，…，p，i ≠k)，(λj)j∈J，使下面各式成立

記f(x)= (f1(x)，…，fp(x))Τ，

進(jìn)而考慮與規(guī)劃(FP)密切相關(guān)的參數(shù)規(guī)劃問題

定義2. 4 對(duì)應(yīng)于問題(FP)的Lagrange 函數(shù)定義為L(x，y，λ)=，稱)是L(x，y，λ)的鞍點(diǎn)，如果對(duì)于= 1}及，有

即

由(i)得

則

又由(ii)得

證明 與文獻(xiàn)［10］中證明類似。

［1］Preda V. On efficiency and duality for multiobjective programs［J］. Journal of Mathematical Analysis and Applications，1992，166:365 -377.

［2］Xu Z. Mixed type duality in multiobjective programming［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，1996，198:621 -635.

［3］Liang Z A，Huang H X，Pardalos P M. Optimality conditions and duality for a class of nonlinear fractional programming problems［J］. Journal of Optimization Theory and Application，2001，110(3):611 -619.

［4］Elster K H，Thierfelder J. On cone approximations and generalized directional derivatives［M］//Clarke F H，Demyanov V F，Giannessi F. Nonsmooth optimization and related topics. New York:Springer US，1989:133 -159.

［5］Marco castellani. Nonsmooth invex functions and sufficient optimality conditions［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2001，255(1):319 -332.

［6］李鈺，張慶祥，嚴(yán)建軍，等. (F，α，ρ，d)K-V -凸半無限分式規(guī)劃的最優(yōu)性條件［J］.江西科學(xué)，2009，27(1):31 -35.

［7］李鈺，張慶祥，嚴(yán)建軍，等.一類廣義半無限向量分式規(guī)劃的最優(yōu)性條件［J］.河南科學(xué)，2009，27(2):132 -136.

［8］Shimizu K，Ishizuka Y，Bard J E. Nondifferentiable and two-level mathematical programming［M］.Boston:Kluwer Academic，1997.

［9］Liu J C. Optimality and duality for generalized fractional programming involving nonsmooth pseudoinvex function［J］. Journal of Mathematical Analysis and Application，1996(220):667 -685.

［10］Bector C R. Duality in nonlinear fractional programming［J］.Zeitschrift für Operations Research，1973，17:183 -193.