附加多個(gè)集中質(zhì)量加筋板的自由振動(dòng)分析

李凱，何書(shū)韜，邱永康，吳國(guó)民，郭文杰，李天勻

附加多個(gè)集中質(zhì)量加筋板的自由振動(dòng)分析

李凱1，何書(shū)韜1，邱永康2，吳國(guó)民1，郭文杰2，李天勻2

1中國(guó)艦船研究設(shè)計(jì)中心，湖北武漢430064
2華中科技大學(xué)船舶與海洋工程學(xué)院，湖北武漢430074

基于能量泛函變分的方法，研究附加多個(gè)集中質(zhì)量縱橫加筋板的自由振動(dòng)特性。在處理板與筋條的變形協(xié)調(diào)約束條件時(shí)，通過(guò)引入拉格朗日乘子，把板、梁組合振動(dòng)分析問(wèn)題轉(zhuǎn)化為處理一類無(wú)約束泛函變分問(wèn)題，從而得到加筋板的廣義特征值矩陣方程。通過(guò)集中質(zhì)量點(diǎn)的形式引入板上裝載設(shè)備質(zhì)量。求解方程可以得到組合結(jié)構(gòu)的各階固有頻率。以四邊簡(jiǎn)支邊界條件縱橫離散加筋板為計(jì)算實(shí)例，通過(guò)特征值確定其振型并與仿真分析結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，表明其準(zhǔn)確有效，可為此類工程問(wèn)題的研究提供理論基礎(chǔ)。

加筋板；集中質(zhì)量；拉格朗日乘子；泛函變分

期刊網(wǎng)址：www.ship-research.com

引用格式：李凱，何書(shū)韜，邱永康，等.附加多個(gè)集中質(zhì)量加筋板的自由振動(dòng)分析［J］.中國(guó)艦船研究，2015，10（5）：66-70.

LIKai，HE Shutao，QIU Yongkang，et al.Free vibration analysisof rectangular stiffened plateswith several lumped mass［J］.Chinese Journalof Ship Research，2015，10（5）：66-70.

0　引言

裝載設(shè)備的加筋板結(jié)構(gòu)在現(xiàn)代船舶工程結(jié)構(gòu)中占據(jù)著重要地位，對(duì)附加多個(gè)集中質(zhì)量縱橫離散加筋板的自由振動(dòng)的研究不僅可以精確預(yù)報(bào)出其固有頻率、振型和感興趣部位的內(nèi)力矩，在實(shí)際工程中起到防止結(jié)構(gòu)發(fā)生共振出現(xiàn)有害振動(dòng)的作用，而且對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力分析具有重要的理論意義。

由于加筋板結(jié)構(gòu)的廣泛應(yīng)用，其動(dòng)態(tài)特性求解方法得到國(guó)內(nèi)外學(xué)者的大量研究。Chen等［1］通過(guò)使用有限差分法研究了具有單筋的矩形加筋板的自由振動(dòng)特性。在能量方程中出現(xiàn)的導(dǎo)數(shù)由有限差分方程組取代，能量方程根據(jù)相對(duì)離散的位移分量、自然頻率和加筋板的振型進(jìn)行最小化，其中振型可以通過(guò)特定的線性代數(shù)特征值問(wèn)題進(jìn)行解決。Dowell［2］提出采用拉格朗日乘子法對(duì)任意邊界條件的線性結(jié)構(gòu)進(jìn)行自由振動(dòng)分析，該方法基于運(yùn)用拉格朗日算子代換瑞利—李茲法分析結(jié)構(gòu)模態(tài)時(shí)的該結(jié)構(gòu)的邊界或約束條件。Azimi等［3］利用導(dǎo)納法對(duì)在兩對(duì)邊簡(jiǎn)支和/或固定，另外兩對(duì)邊剛性簡(jiǎn)支和簡(jiǎn)支的邊界條件下的矩形薄板進(jìn)行計(jì)算，求解了類似的問(wèn)題。Aksu等［4］基于變分原理與有限差分法相結(jié)合的方法求解了偏心加筋板的動(dòng)態(tài)特性，分析考慮了板的面內(nèi)變形的方向和面內(nèi)慣性。板和加強(qiáng)筋的應(yīng)變能與動(dòng)能運(yùn)用有限差分方法由離散的位移分量表示。Mead等［5］采用用于研究二維周期結(jié)構(gòu)的波傳播方法對(duì)常規(guī)的正交陣列均勻梁鋼筋進(jìn)行了研究。Bishop等［6］通過(guò)動(dòng)柔度法對(duì)組合結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)分析進(jìn)行了研究。Godfracht等［7］利用伽遼金法在充分考慮板和加強(qiáng)筋之間結(jié)合處的轉(zhuǎn)角協(xié)調(diào)等因素后，對(duì)此類問(wèn)題進(jìn)行了分析。曾子平等［8］應(yīng)用拉格朗日乘子法，通過(guò)引入拉格朗日乘子，將板、梁組合結(jié)構(gòu)的振動(dòng)分析問(wèn)題處理成了一類無(wú)約束泛函變分問(wèn)題，通過(guò)建立組合結(jié)構(gòu)的廣義特征值問(wèn)題來(lái)求解此類問(wèn)題。Mukherjee等［9］等通過(guò)引入一個(gè)等參加筋板單元解決了偏心加筋板的自由振動(dòng)問(wèn)題，該單元具有適應(yīng)不規(guī)則邊界的能力。此外，該方法因考慮了剪切變形，因而適用于厚板和薄板。Qing等［10］基于狀態(tài)向量方程理論的半解析法，即一種將復(fù)合材料加筋板的板和加強(qiáng)筋單獨(dú)考慮的新的自由振動(dòng)分析的數(shù)學(xué)模型，考慮對(duì)復(fù)合材料加筋板的板和加強(qiáng)筋單獨(dú)開(kāi)發(fā)。

本文將首先考慮板與加強(qiáng)筋在特定邊界條件下的振動(dòng)特性，通過(guò)引入拉格朗日乘子，將離散加筋板的結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析問(wèn)題轉(zhuǎn)化為能量泛函變分問(wèn)題進(jìn)行處理，以能量法為基礎(chǔ)構(gòu)建其廣義特征值問(wèn)題，通過(guò)集中質(zhì)量點(diǎn)的形式對(duì)附加設(shè)備進(jìn)行處理，以推導(dǎo)加筋板組合結(jié)構(gòu)的相關(guān)公式。與Dowell［2］的方法相比，本文并不涉及求解非線性特征值問(wèn)題，避免了搜根的奇異性難題。本文將求解四邊簡(jiǎn)支附加多個(gè)集中質(zhì)量的加筋矩形板的前五階固有頻率，并與有限元仿真結(jié)果進(jìn)行對(duì)比分析，以說(shuō)明本方法的有效性。

1　理論分析

本文的研究對(duì)象是一邊長(zhǎng)分別為a，b，厚度為h的加筋矩形薄板，將裝載設(shè)備質(zhì)量以集中質(zhì)量點(diǎn)的形式布置在板上。坐標(biāo)系選取和加強(qiáng)筋的分布如圖1所示。其中：橫向加筋數(shù)為imax，間距為b/（imax+1）；縱 向 加 筋 數(shù)為jmax，間距 為a/（jmax+1）；黑點(diǎn)表示集中質(zhì)量。

薄板彎曲自由振動(dòng)滿足

式中：?2為拉普拉斯算子，；，為彎曲剛度；Wp為薄板撓度函數(shù)；μ為板的泊松比。

等截面梁（筋）的自由彎曲振動(dòng)微分方程為

式中：E為彈性模量；I為截面慣量矩；ρ為梁?jiǎn)挝婚L(zhǎng)度的質(zhì)量；Wb為梁的撓度函數(shù)。

圖1　加筋薄板模型Fig.1　Modelof the stiffened platemodel

根據(jù)船舶結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，不失一般性，假設(shè)加筋板的邊界為簡(jiǎn)支，則加強(qiáng)筋可看作兩端簡(jiǎn)支梁，由此，板的撓度、第i根橫向筋條的撓度及第 j根縱向筋條的撓度可以分別表示為：

式中：Wp為板的撓度函數(shù)；W（）ib1為橫向加強(qiáng)筋的撓度函數(shù)，為縱向加強(qiáng)筋的撓度函數(shù)；Amn為板的幅值；為橫向加強(qiáng)筋的幅值，為縱向加強(qiáng)筋的幅值；m和n為板振型沿坐標(biāo)方向的半波數(shù)。

加強(qiáng)筋與板組合應(yīng)滿足位移連續(xù)條件，在板與加筋條結(jié)合處位移相同，故其滿足變形協(xié)調(diào)條件：

對(duì)本文研究對(duì)象而言，縱、橫加強(qiáng)筋的邊界條件與板在該邊上的邊界條件一致，即梁的兩端簡(jiǎn)支。所以梁和板結(jié)合部的振型可以用梁的振型表示：

式中，S為截?cái)囗?xiàng)數(shù)。

將上式進(jìn)行正交化處理，得

對(duì)于縱橫離散加筋板的彎曲振動(dòng)能量方程，引入的質(zhì)量點(diǎn)與板間滿足位移連續(xù)條件，因自由振動(dòng)質(zhì)量點(diǎn)相對(duì)位移很小，故勢(shì)能可忽略。加筋板在自由振動(dòng)時(shí)，板的能量泛函滿足：

其中：Vp和Tp分別為結(jié)構(gòu)的勢(shì)能和動(dòng)能；；h為板厚；ω為圓頻率。

梁的能量泛函滿足：

將位移函數(shù)式（3）代入上式，利用三角函數(shù)的積分正交性，可得

引入拉格朗日乘子λ，將加筋板組合結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)分析問(wèn)題處理成能量泛函變分問(wèn)題。加筋板的總能量泛函可以表示為

式中：λb1與λb2分別為橫向加強(qiáng)筋和縱向加強(qiáng)筋與矩形板組合的拉格朗日乘子，其可由相應(yīng)加強(qiáng)筋的振型表示：

將式（4）和式（5）以及式（11）代入式（10），根據(jù)簡(jiǎn)支梁振型的正交性，將上式化簡(jiǎn)后可得

根據(jù)最小勢(shì)能原理，加筋板架結(jié)構(gòu)能量泛函的極值條件為：

將式（7）、式（8）和式（12）代入上式求解可以得到方程組，寫(xiě)成矩陣的形式為

因?yàn)榉礎(chǔ)mn不全為零，所以滿足

2　實(shí)際算例

根據(jù)本文方法編制程序，對(duì)四邊簡(jiǎn)支附加集中質(zhì)量點(diǎn)的縱、橫加筋矩形板的固有頻率進(jìn)行計(jì)算，梁在板上的加筋方式如圖2所示。

圖2　梁在板上加筋方式示意圖Fig.2　The layoutofbeam on the plate

假設(shè)板和加強(qiáng)筋的材料力學(xué)性能相同，數(shù)值分析的參數(shù)值如表1所示。

表1　加筋板參數(shù)取值表Tab.1　The parametersof the stiffened plate

質(zhì)量點(diǎn)參數(shù)取值如表2所示。

在數(shù)值分析過(guò)程中選取截?cái)囗?xiàng)數(shù)M，N，S時(shí)，要對(duì)函數(shù)的收斂性進(jìn)行分析，故而在解析法計(jì)算中選取不同的M，N，S對(duì)加筋板振動(dòng)頻率（單位：Hz）進(jìn)行對(duì)比分析，結(jié)果如表3所示。

表2　質(zhì)量點(diǎn)參數(shù)取值表Tab.2　The parametersof the equipment

表3　不同M，N，S時(shí)加筋板振動(dòng)頻率對(duì)比表Tab.3　The vibration frequency of the stiffened p latew ith different M，N，S

根據(jù)表3中的數(shù)據(jù)對(duì)比可知，當(dāng)M=N=S=6時(shí)，函數(shù)就有較為良好的收斂性。故在運(yùn)用解析法進(jìn)行計(jì)算時(shí)，可以選取截?cái)囗?xiàng)數(shù)M=N=S=6。

建立算例有限元模型進(jìn)行仿真分析以驗(yàn)證結(jié)果的準(zhǔn)確性。附加多個(gè)集中質(zhì)量的加筋矩形板的有限元模型如圖3所示。

圖3　加筋矩形板的有限元模型Fig.3　The finite elementmodel of the plate

根據(jù)振型的關(guān)系，可以得出解析方法和有限元模型計(jì)算的固有頻率的對(duì)應(yīng)關(guān)系，加筋板的固有頻率（單位：Hz）對(duì)比結(jié)果如表4所示。表中，振型（i，j）表示加筋板x方向i個(gè)半波，y方向j個(gè)半波，表征其振型。

表4　能量法和仿真分析加筋板固有頻率對(duì)比表Tab.4　The com parison of natural frequency between the energy m ethod and the sim u lation analysis

由表4的數(shù)據(jù)可知，運(yùn)用該方法處理附加集中質(zhì)量的加筋板組合結(jié)構(gòu)問(wèn)題與有限元仿真分析結(jié)果之間的誤差很小，該方法的收斂性能好，具有較高的有效性和精度。

3　結(jié)論

本文所提出的方法也可用于求解其它邊界條件的附加多個(gè)集中質(zhì)量加筋板的固有頻率和振型。根據(jù)本文方法的理論推導(dǎo)和算例結(jié)果對(duì)比分析，可以得出以下結(jié)論：

1）通過(guò)引入拉格朗日乘子，將加筋板組合結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)問(wèn)題處理成能量泛函變分問(wèn)題，對(duì)于求解附加多個(gè)集中質(zhì)量加筋板架組合結(jié)構(gòu)的振動(dòng)問(wèn)題，具有很好的適用性。

2）本文方法的收斂性較好，因?yàn)榧俣ㄎ灰坪瘮?shù)均為板、梁的真實(shí)位移函數(shù)，則應(yīng)用較少的模態(tài)便可得出精確度較高的加筋板組合結(jié)構(gòu)的固有頻率和振型。

3）以集中質(zhì)量點(diǎn)的形式引入板上裝載設(shè)備，可處理任意位置加載設(shè)備加筋板的固有頻率問(wèn)題，在方案設(shè)計(jì)階段對(duì)于解決相關(guān)工程問(wèn)題具有較好的實(shí)用性，并且能量法與FEM法結(jié)果的對(duì)比分析說(shuō)明了本文方法對(duì)于解決附加多個(gè)集中質(zhì)量加筋板自由振動(dòng)問(wèn)題的有效性和精確性。

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［責(zé)任編輯：田甜］

Free vibration analysisof rectangu lar stiffened p latesw ith several lum ped mass

LIKai1，HE Shutao1，QIU Yongkang2，WUGuomin1，GUOWenjie2，LITianyun2
1 China Ship Developmentand Design Center，Wuhan 430064，China 2 School of Naval Architecture and Ocean Engineering，Huazhong University of Science and Technology，Wuhan 430074，China

Based on themethod of variational energy function，the free vibration characteristics of discrete stiffened plates are studied in this paper.When assessing the deformation coordination constraints of boards and ribs，the vibration analysis problem of stiffened plates is transformed into a classical unconstrained variational problem by introducing Lagrangemultipliers.Through thismethod，a generalized characteristic value ofmatrix equations of stiffened p lates are obtained，and solving the equation set yields the natural frequency of different order for the composite structure.By taking a discrete stiffened p late with four simple edge supported boundary conditions as an examp le，the characteristic values to determine its mode shape are obtained，and the simulation results are compared with those acquired from themulti-stiffened stiffness averagemethod in order to validate the proposed method.Finally，this paper provides a new idea for solving this kind ofengineering problems.

stiffened p late；lum ped mass；Lagrangemu ltip lier；functional variational

U661.44

ADO I：10.3969/j.issn.1673-3185.2015.05.011

2015-02-06網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間：2015-10-8 11∶10

國(guó)家部委基金資助項(xiàng)目

李凱（通信作者），男，1983年生，博士，工程師。研究方向：艦船結(jié)構(gòu)振動(dòng)。E-mail：kaili109@sina.com

網(wǎng)絡(luò)出版地址：http∶//www.cnki.net/kcms/detail/42.1755.TJ.20151008.1110.026.htm l