用模擬退火算法擬合鉑電阻的熱特性曲線

張佳仁　張婧瑜　王 鵬　張建忠 / 上海市質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)技術(shù)研究院

用模擬退火算法擬合鉑電阻的熱特性曲線

張佳仁張婧瑜王 鵬張建忠 / 上海市質(zhì)量監(jiān)督檢驗(yàn)技術(shù)研究院

介紹了模擬退火算法的基本原理，闡述了該算法擬合曲線的一般步驟。針對(duì)JJG 229-2010 《工業(yè)鉑、銅熱電阻檢定規(guī)程》，在最小二乘法的基礎(chǔ)上，利用模擬退火算法擬合鉑電阻的熱特性曲線，分析了這一算法在擬合過程中的穩(wěn)定性。結(jié)果表明：模擬退火優(yōu)化算法同樣適用于曲線擬合過程，擬合過程的穩(wěn)定性有待進(jìn)一步研究。

模擬退火算法；鉑電阻；曲線擬合

0　引言

鉑電阻是工業(yè)過程中普遍使用的溫度傳感器。鉑電阻的熱特性曲線可以被描述為電阻與溫度之間的函數(shù)關(guān)系，也是反映其非線性特征的重要依據(jù)［1］。在工業(yè)鉑、銅熱電阻的計(jì)量校準(zhǔn)工作中，擬合電阻-溫度關(guān)系的回歸方程是一項(xiàng)重要的工作，也是研究的熱點(diǎn)。在以往的研究中，諸多學(xué)者都基于不同的進(jìn)化算法，對(duì)鉑電阻的非線性特征進(jìn)行了回歸化擬合的研究，并取得了令人滿意的結(jié)果［2，3］。

擬合回歸方程的傳統(tǒng)方法是最小二乘法。作為最為傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)，最小二乘法通過最小化誤差的平方和獲得目標(biāo)函數(shù)的回歸方程。利用最小二乘法可以簡(jiǎn)便地求得未知的數(shù)據(jù)，并使這些數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為最小。不過，該方法作為一種被動(dòng)性優(yōu)化技術(shù)，也有其限制條件：樣本中測(cè)量值的個(gè)數(shù)要多于擬合曲線參數(shù)的個(gè)數(shù)；自由度越小，最小二乘法的擬合可靠度也越低。

近年來，在最小二乘法的基礎(chǔ)上，眾多學(xué)者建立了許多啟發(fā)式的優(yōu)化技術(shù)，包括：遺傳算法、蟻群算法、退火模擬算法等［4］。本文利用模擬退火算法擬合熱電阻的特性曲線回歸方程。

1　模擬退火算法

模擬退火算法最早由N. Metropolis 等人于1953年提出。1983年，S. Kirkpatrick 等成功地將退火算法引入到組合優(yōu)化領(lǐng)域［5］。它是基于Monte-Carlo迭代求解策略的一種隨機(jī)尋優(yōu)算法，其出發(fā)點(diǎn)是物理中固體物質(zhì)的退火過程與一般組合優(yōu)化問題之間的相似性。

模擬退火算法是通過賦予搜索過程一種時(shí)變且最終趨于零的概率突跳性，從而可有效避免陷入局部極小并最終趨于全局最優(yōu)的串行結(jié)構(gòu)的優(yōu)化算法。模擬退火算法從某一較高初溫出發(fā)，伴隨溫度參數(shù)的不斷下降，結(jié)合概率突跳特性在解空間中隨機(jī)尋找目標(biāo)函數(shù)的全局最優(yōu)解，即在局部最優(yōu)解能概率性地跳出并最終趨于全局最優(yōu)。求解優(yōu)化問題的模擬退火算法與固體退火過程的模擬比較如表1所示。

表1　模擬退火算法與固體退火過程的模擬比較

模擬退火算法的一般步驟是：

1）產(chǎn)生一個(gè)位于解空間的新解。通常選擇由當(dāng)前新解經(jīng)過簡(jiǎn)單變換即可產(chǎn)生新解的方法，如對(duì)構(gòu)成新解的全部或部分元素進(jìn)行置換、互換等。

2）計(jì)算與新解所對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)差。因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)差僅由變換部分產(chǎn)生，所以目標(biāo)函數(shù)差的計(jì)算最好按增量計(jì)算。對(duì)大多數(shù)應(yīng)用而言，這是計(jì)算目標(biāo)函數(shù)差的最快方法。

3）判斷新解是否被接受。判斷的依據(jù)是一個(gè)接受準(zhǔn)則，最常用的接受準(zhǔn)則是Metropolis準(zhǔn)則。

4）當(dāng)新解被確定接受時(shí)，用新解代替當(dāng)前解，這只需將當(dāng)前解中對(duì)應(yīng)于產(chǎn)生新解時(shí)的變換部分予以實(shí)現(xiàn)，同時(shí)修正目標(biāo)函數(shù)值即可。此時(shí)，當(dāng)前解實(shí)現(xiàn)了一次迭代，可在此基礎(chǔ)上開始下一輪試驗(yàn)。而當(dāng)新解被判定為舍棄時(shí)，則在原當(dāng)前解的基礎(chǔ)上繼續(xù)下一輪試驗(yàn)。

模擬退火算法與初始值無關(guān)，算法求得的解與初始解狀態(tài)無關(guān)，具有漸近收斂性。該算法已在理論上被證明是一種收斂于全局最優(yōu)解的全局優(yōu)化算法，具有并行性［6］。

2　最優(yōu)步長(zhǎng)的計(jì)算

在選擇模擬退火算法作為優(yōu)化策略的前提下，最優(yōu)步長(zhǎng)的選取是決定優(yōu)化過程有效與否、收斂速度快慢的關(guān)鍵。本文利用牛頓法作為最優(yōu)步長(zhǎng)的計(jì)算方法。

牛頓法是一種函數(shù)逼近法，其基本思想是：在極小點(diǎn)附近用二階泰勒多項(xiàng)式近似代替目標(biāo)函數(shù)，從而求出函數(shù)極小點(diǎn)的估計(jì)值，公式證明：

又記：

記：

將式（3）代入式（2）有：

對(duì)式（4）求導(dǎo)，得：

將式（3）代入式（6）有：由式（7）可知：牛頓法的最優(yōu)步長(zhǎng)為矩陣，搜索方向?yàn)榫仃?。

3　鉑電阻熱特性曲線的擬合

根據(jù)JJG 229-2010 《工業(yè)鉑、銅熱電阻檢定規(guī)程》，鉑電阻的電阻-溫度關(guān)系可以表示為

本文結(jié)合最小二乘法，利用退火模擬算法擬合鉑電阻熱特性曲線，即電阻-溫度的函數(shù)關(guān)系。作為啟發(fā)式的優(yōu)化技術(shù)，退火模擬算法主動(dòng)搜索優(yōu)化方向，使目標(biāo)函數(shù)的值無限小，迫使誤差不斷趨近于零，非線性特征不斷逼近測(cè)量數(shù)據(jù)。

3.1建立曲線擬合優(yōu)化過程的目標(biāo)函數(shù)

目標(biāo)函數(shù)即為各溫度點(diǎn)上鉑電阻阻值的實(shí)測(cè)值與擬合值的差：

式中：X — 各待定常數(shù)的矩陣表達(dá)式

3.2優(yōu)化策略

優(yōu)化策略的核心：1）給定優(yōu)化變量的初始解；2）沿著合適優(yōu)化路徑不斷迭代優(yōu)化變量，迫使目標(biāo)函數(shù)沿著最優(yōu)的方向行走；3）當(dāng)目標(biāo)函數(shù)無限趨近于零時(shí)，設(shè)置優(yōu)化終止條件，得到最優(yōu)解。具體步驟如下：

（4）如果迭代終止條件滿足，則算法結(jié)束，當(dāng)前解為最終解，否則重新進(jìn)入（3）步驟。

4　擬合示例

以pt100型鉑熱電阻分度表為例，在0 ～ 200 ℃范圍內(nèi)，均勻取20個(gè)數(shù)據(jù)作為擬合曲線的采樣數(shù)據(jù)，利用退火模擬算法對(duì)采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合，對(duì)比擬合曲線與實(shí)際數(shù)據(jù)的偏差。

在0 ～ 200 ℃溫度范圍內(nèi)，鉑熱電阻的阻值-溫度關(guān)系可以描述為為鉑電阻在溫度t時(shí)刻的阻值，（a，b，c）為待定常數(shù)，即優(yōu)化變量。初始解設(shè)定（1，1，100），收斂條件設(shè)定為

最終的擬合公式為

圖1　標(biāo)準(zhǔn)電阻值與擬合結(jié)果的偏差圖

從圖中可以看出：全溫度范圍內(nèi)的擬合結(jié)果是比較理想的。但是，標(biāo)準(zhǔn)值與擬合值的差值在整個(gè)范圍內(nèi)不斷地正波動(dòng)，波動(dòng)的范圍隨溫度的上升而擴(kuò)大，在180 ℃領(lǐng)域內(nèi)出現(xiàn)了較大的波峰。出現(xiàn)該現(xiàn)象的原因：模擬退火算法是一種啟發(fā)式隨機(jī)性算法，計(jì)算機(jī)生成的隨機(jī)數(shù)也是均勻分布的，這就導(dǎo)致優(yōu)化方向和路徑在某概率區(qū)間內(nèi)隨機(jī)分布，也隨之不斷波動(dòng)。此外，優(yōu)化過程僅對(duì)目標(biāo)函數(shù)的整體誤差建立了收斂條件，并未單獨(dú)處理各溫度點(diǎn)上的收斂性，這也導(dǎo)致波動(dòng)范圍的不可控。

5　結(jié)語(yǔ)

作為一種嘗試，本文在擬合鉑電阻熱特性曲線中引入了模擬退火算法，得到了比較理想的結(jié)果。同時(shí)，該結(jié)果也揭示了優(yōu)化過程中的一些問題：標(biāo)準(zhǔn)值與擬合值在整個(gè)范圍內(nèi)不斷波動(dòng)；波動(dòng)的范圍隨溫度的上升而擴(kuò)大，波動(dòng)范圍不可控。這些問題有待進(jìn)一步研究。

［1］ 姚麗芳， 陳宇， 鄭偉， 等.精密鉑電阻溫度計(jì)的校準(zhǔn)方法［J］.上海計(jì)量測(cè)試， 2014，04:21-25.

［2］ 劉天鍵， 王劭伯， 朱善安.基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的鉑電阻溫度傳感器非線性校正方法［J］.儀器儀表學(xué)報(bào)，2002， 05:518-521.

［3］ 李儉川， 張文娜， 果明明.基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的熱電偶特性數(shù)學(xué)模型［J］.傳感器技術(shù)，2000，01:18-20.

［4］ 梁旭，黃明. 現(xiàn)代智能優(yōu)化混合算法及其應(yīng)用［M］. 北京：電子工業(yè)出版社，2011.

［5］ Diego Lanzi. Frames as choice superstructures［J］.The Journal of Socio-Economics， 2011， 40:115-123.

［6］ Xinpeng Du， Lizhi Cheng， Daiqiang Chen. A simulated annealing algorithm for sparse recovery by minimization［J］.Neurocomputing，2014， 131:98-104.

The explore to fit RTD characteristic curve by Simulated annealing algorithm

Zhang jiaren， Zhang jinyu， Wang pen，Zhang jianzhong
（Shanghai Institute of Quality Inspection and Technical Research）

The basic principle of the simulated annealing algorithm，described the general steps of the algorithm curve fitting. On the basis of JJG 229-2010“Verification Regulation of Industry Platinum Copper Resistance Thermometers” and the least squares method， using simulated annealing algorithm to fit platinum resistance characteristic curve analysis of the stability of this algorithm in the fitting process. The results showed that: simulated annealing optimization algorithm is equally applicable to the curve fitting process， the stability of the fitting process for further study.

simulated annealing algorithm； RTD； curve fitting