一種基于矢量加速的變步長(zhǎng)頻域最小均方算法

易清明，曾杰麟，石 敏

（暨南大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，廣州510632）

·開(kāi)發(fā)研究與工程應(yīng)用·

一種基于矢量加速的變步長(zhǎng)頻域最小均方算法

易清明，曾杰麟，石 敏

（暨南大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，廣州510632）

針對(duì)現(xiàn)有變步長(zhǎng)頻域批處理最小均方（VSFBLMS）算法收斂速度慢的問(wèn)題，提出一種基于矢量加速的VSFBLMS算法。利用VSFBLMS計(jì)算得到的基本步長(zhǎng)參數(shù)對(duì)當(dāng)前收斂階段進(jìn)行判斷，并根據(jù)收斂階段分別在前期和后期選擇較大和較小迭代次數(shù)的權(quán)值更新公式進(jìn)行系數(shù)更新，從而加快算法前期的收斂速度并保證后期失調(diào)量較小。采用基于自適應(yīng)濾波器噪聲抵消模型進(jìn)行算法性能測(cè)試，結(jié)果表明，相比VSFBLMS算法，該算法的收斂速度有較大提高，且在后期具有與VSFBLMS算法趨于一致的失調(diào)量。

自適應(yīng)濾波；矢量加速；變步長(zhǎng)；頻域批處理最小均方算法；重疊保留法

中文引用格式：易清明，曾杰麟，石 敏.一種基于矢量加速的變步長(zhǎng)頻域最小均方算法［J］.計(jì)算機(jī)工程，2015，41（7）：285?288，293.

英文引用格式：Yi Qingm ing，Zeng Jielin，Shi M in.A Variable Step?size Frequency?domain Least Mean Square A lgorithm Based on Vector Acceleration［J］.Computer Engineering，2015，41（7）：285?288，293.

1 概述

自適應(yīng)濾波最早在20世紀(jì)60年代出現(xiàn)，自提出經(jīng)典最小均方（Least Mean Square，LMS）算法［1］以來(lái)，基于該準(zhǔn)則的自適應(yīng)算法一直都是該領(lǐng)域的研究熱點(diǎn)。其中最經(jīng)典的一種改進(jìn)算法是1981年提出的批處理最小均方（Block Least Mean Square，BLMS）算法［2］，與LMS算法相比，BLMS算法收斂到最佳的迭代次數(shù)明顯減少，且收斂的穩(wěn)定性好，但計(jì)算量會(huì)隨濾波器階數(shù)增長(zhǎng)而快速變大。

以上2種算法均是基于時(shí)域的處理算法。隨著頻域處理方法的快速發(fā)展，頻域批處理最小均方（Frequency?domain Block Least Mean Square，F(xiàn)BLMS）算法因其容易與FFT算法結(jié)合，在信號(hào)處理中得到廣泛應(yīng)用［3?4］。傳統(tǒng)的FBLMS算法其步長(zhǎng)值是固定的，為了協(xié)調(diào)收斂速度與穩(wěn)態(tài)誤差的矛盾，當(dāng)前FBLMS改進(jìn)算法一般集中在對(duì)步長(zhǎng)自動(dòng)更新的改動(dòng)上［5?7］。

本文通過(guò)研究傳統(tǒng)的FSFBLMS以及已有的變步長(zhǎng)頻域批處理最小均方［8?10］（Variable Step?size Frequency?domain Block Least Mean Square，VS?FBLMS）算法，提出一種新的基于矢量加速的變步長(zhǎng)頻域批處理最小均方（Accelerating Vector based VSFBLMS，AV?VSFBLMS）算法。

2 傳統(tǒng)FBLMS算法

FBLMS算法的基本原理是先利用串并轉(zhuǎn)換把輸入數(shù)據(jù)進(jìn)行分塊，在采集到數(shù)據(jù)后利用經(jīng)過(guò)N點(diǎn)快速傅立葉變換（Fast Fourier Transform，F(xiàn)FT）的輸入數(shù)據(jù)及同樣經(jīng)過(guò)N點(diǎn)FFT變換的期望信號(hào)用重疊保留法計(jì)算其卷積，并與當(dāng)前的濾波器系數(shù)作點(diǎn)乘，最終得出輸出信號(hào)數(shù)據(jù)。因?yàn)镕BLMS算法中應(yīng)用了FFT技術(shù)，可以把原來(lái)在時(shí)域算法中的卷積計(jì)算量大大減少，當(dāng)前在工程上有著大量的應(yīng)用［11?12］。

FBLMS算法主要性能指標(biāo)為收斂時(shí)間和失調(diào)量。對(duì)于確定步長(zhǎng)的FSBLMS算法，其步長(zhǎng)μB的值在整個(gè)算法過(guò)程不會(huì)改變，只能在收斂時(shí)間與失調(diào)量之間進(jìn)行折中選擇，不能同時(shí)兼顧2個(gè)指標(biāo)［13］。

為了協(xié)調(diào)這個(gè)矛盾，變步長(zhǎng)頻域批處理最小均方（VS?FBLMS）算法被提出，其步長(zhǎng)μB會(huì)隨著濾波過(guò)程的進(jìn)行而變化。以文獻(xiàn)［14］中采用的步長(zhǎng)表達(dá)式為例：

其中，α為衰減因子；μopt為使相應(yīng)的VS?FBLMS算法收斂最快的步長(zhǎng)；f（k） ＝ μopt（1-exp（-α ×?？梢钥闯觯S著濾波過(guò)程進(jìn)行，誤差信號(hào)的均方差減少，步長(zhǎng)μB將逐漸減小。

文獻(xiàn)［15］為了進(jìn)行資源優(yōu)化，提出一種快速算法（FS?FBLMS），對(duì)步長(zhǎng)采用兩段式的處理方式，其步長(zhǎng)表達(dá)式如下：

其中，μ為初始步長(zhǎng)；μ′為穩(wěn)定步長(zhǎng)；并定義 Δ＝‖W（k+1）-W（k）‖1為前后2次迭代抽頭系數(shù)向量差的1?范數(shù)；T為閾值；N為抽頭數(shù)；當(dāng)其滿足Δ＜Δ′＝1／NT時(shí)說(shuō)明算法開(kāi)始收斂；μB的值從較大的初始步長(zhǎng)切換為較小的穩(wěn)定步長(zhǎng)。

通常在變步長(zhǎng)FS?FBLMS算法中，步長(zhǎng)值μB在算法初始階段會(huì)比較大，保證較快的收斂速度，在后期階段會(huì)變小，保證較小的失調(diào)量，以此達(dá)到兼顧收斂時(shí)間及失調(diào)量的目的。

3 基于矢量加速的變步長(zhǎng)FBLMS算法

為了進(jìn)一步改善變步長(zhǎng)FBLMS算法的性能，提出一種基于矢量加速的變步長(zhǎng) FBLMS（Accelerating Vector based Variable Step?size FBLMS，AV?VSFBLMS）算法。該算法的步長(zhǎng)系數(shù)可由傳統(tǒng)BLMS算法推導(dǎo)得出，先寫出時(shí)域BLMS的算法過(guò)程如下：

其中，μ＝μB（1／L）；μB為步長(zhǎng)系數(shù)。

把式（5）中的 w（k+L）看成 w（0）（k），重寫式（5）得到：

再用w（0）（k）替換式（3）、式（4）中的w（k）得到y(tǒng)（1）（k+m）及e（1）（k+m）：

聯(lián)立式（7）、式（8）、式（5），得到經(jīng)1次矢量迭代的權(quán)值更新公式：

其中，K1＝2μ（1-μ×tr［X］）定義為一次迭代的步長(zhǎng)系數(shù)。

同理可以推導(dǎo)出多次迭代的權(quán)值更新公式并有第n次迭代步長(zhǎng)系數(shù)的通項(xiàng)公式如下：

由以上討論可得，對(duì)于某一特定的輸入塊，選取n次矢量迭代更新，其權(quán)系數(shù)更新表達(dá)式如下：

上文提出的權(quán)系數(shù)更新表達(dá)式雖然是在時(shí)域BLMS算法基礎(chǔ)上進(jìn)行推導(dǎo)，但因該表達(dá)式只涉及了權(quán)值系數(shù)的變化，F(xiàn)BLMS算法中的數(shù)據(jù)流向并沒(méi)有發(fā)生改變，因此可直接把該結(jié)論應(yīng)用在FBLMS算法中。綜上所述，該算法實(shí)質(zhì)上是利用了權(quán)系數(shù)更新的n次迭代，提高算法的搜索速度。

為了研究迭代次數(shù)n及基本步長(zhǎng)μ對(duì)步長(zhǎng)系數(shù)Kn的影響，對(duì)輸入信號(hào)自相關(guān)矩陣的跡tr［R］確定時(shí)（tr［R］＝4），基本步長(zhǎng)μ與第n次迭代步長(zhǎng)系數(shù)Kn的關(guān)系進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果如圖1所示。

圖1 tr［R］確定時(shí)Kn與μ的關(guān)系

圖1中不同的線型代表在權(quán)系數(shù)更新采用不同迭代次數(shù)時(shí)Kn與μ的關(guān)系。由圖可得，Kn近似隨著μ線性變化，且迭代次數(shù)越多，其斜率越大。則對(duì)于確定的tr［R］及μ，隨著矢量迭代次數(shù)的增加，算法的收斂速度越快，但失調(diào)量將越大。

把該結(jié)論應(yīng)用于AV?VSFBLMS算法中，并把VSFBLMS的步長(zhǎng)系數(shù)看作式（10）中的μ作為基本步長(zhǎng)系數(shù)由此計(jì)算出Kn?？梢灶A(yù)見(jiàn)：如果在算法前期適當(dāng)?shù)剡x擇較高的迭代次數(shù)，可以更快地讓算法得到收斂；在算法后期適當(dāng)?shù)剡x擇較小的迭代次數(shù)直至選取0次迭代，可以使AV?VSFBLMS算法與VSFBLMS算法的失調(diào)量最終趨于一致。通過(guò)對(duì)AV?VSFBLMS的關(guān)鍵特性進(jìn)行分析，確定算法的總體流程如下：

（1）定義時(shí)域信號(hào)矢量及頻域信號(hào)矢量。定義如下矢量，在第k塊的數(shù)據(jù)處理中，x（k）為輸入信號(hào)矢量，d（k）為期望輸出信號(hào)矢量，y（k）為實(shí)際輸出信號(hào)矢量，e（k）為誤差信號(hào)矢量，w（k）為濾波器權(quán)值矢量。則頻域信號(hào)矢量表示如下：

（2）根據(jù)式（3）得到基本步長(zhǎng)參數(shù)μbase。

（3）對(duì)于某一次特定的權(quán)值更新，若 μbase＞ μup_range，說(shuō)明當(dāng)前濾波器正處于前期快速跟蹤階段，需要較大的步長(zhǎng)值，此時(shí)將 μbase代入式（10），計(jì)算2次矢量迭代的步長(zhǎng)系數(shù)，濾波器采用步長(zhǎng)系數(shù)μB（k） ＝ K2（μbase）；若 μdown_range＜ μbase＜ μup_range，說(shuō)明當(dāng)前濾波器正處于中期穩(wěn)定跟蹤階段，此時(shí)將μbase代入式（10），得到1次矢量迭代的步長(zhǎng)系數(shù)，濾波器采用步長(zhǎng)系數(shù) μB（k）＝K1（μbase）；若 μbase＜μdown_range，說(shuō)明當(dāng)前濾波器正處于后期緩慢調(diào)整階段，濾波器采用步長(zhǎng)系數(shù)μB（k）＝μbase。

（4）求出當(dāng)前的輸出信號(hào)矢量并更新濾波器權(quán)值系數(shù)。經(jīng)過(guò)以上步驟，當(dāng)前塊時(shí)域輸出信號(hào)矢量與頻域?yàn)V波器系數(shù)矢量可以表示如下：

其中，μB為步長(zhǎng)系數(shù)；分別為L(zhǎng)階的單位矩陣與零矩陣。

歸納得對(duì)于某一特定的輸入信號(hào)數(shù)據(jù)塊，AV?VSFBLMS的總體流程如圖2所示。

圖2 某特定輸入塊的AV?VSFBLMS算法流程

4 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

為了比較各種算法的性能，利用自適應(yīng)濾波器噪聲抵消模型進(jìn)行應(yīng)用仿真，原理如圖3所示。

圖3 自適應(yīng)濾波噪聲抵消模型

在信號(hào)源中輸入幅值為2，頻率為300 Hz的余弦信號(hào)作為有用信號(hào)，噪聲源中輸入幅值為0.5，頻率為50 Hz的余弦信號(hào)作為噪聲信號(hào)。則在輸出端中可得到經(jīng)過(guò)自適應(yīng)去除噪聲后的有用信號(hào)。

采用以上模型，本文比較了傳統(tǒng)BLMS算法、文獻(xiàn)［14］提出的變步長(zhǎng)FBLMS算法（VS?FBLMS）、文獻(xiàn)［15］提出的快速變步長(zhǎng)算法（FS?FBLMS）及本文提出的基于矢量加速的變步長(zhǎng)FBLMS算法（AV?VSBLMS）在此濾波模型中的性能，各算法參數(shù)設(shè)置如表1所示。

表1 仿真數(shù)據(jù)參數(shù)設(shè)置

由此得到的仿真結(jié)果如圖4所示。

圖4 不同濾波算法的輸出信號(hào)

圖4為原始信號(hào)及經(jīng)不同濾波方法后的輸出信號(hào)，圖5為采用不同濾波方法后的輸出信號(hào)與輸入信號(hào)之間的塊平均絕對(duì)誤差比較。由仿真結(jié)果可以得出，AV?VSFBLMS算法在自適應(yīng)濾波器噪聲抵消模型中所表現(xiàn)出的算法性能與傳統(tǒng)BLMS算法、FS?FBLMS算法以及VS?FBLMS算法相比，有較快的收斂速度及較小的穩(wěn)態(tài)失調(diào)量。

圖5 不同濾波算法的塊平均絕對(duì)誤差比較

5 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)現(xiàn)有VSFBLMS的收斂速度控制問(wèn)題，提出一種基于矢量加速的變步長(zhǎng)頻域批處理最小均方（AV?VSFBLMS）算法。利用基本步長(zhǎng)參數(shù)對(duì)當(dāng)前收斂階段進(jìn)行判斷，根據(jù)收斂階段選擇迭代次數(shù)不同的權(quán)值更新公式進(jìn)行系數(shù)更新，加快VSBLMS算法前期的收斂速度并保證后期較小的失調(diào)量，通過(guò)理論演算與計(jì)算機(jī)仿真結(jié)果表明，該算法有較快的收斂速度與較小的穩(wěn)態(tài)誤差。

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編輯 顧逸斐

A Variable Step?size Frequency?domain Least M ean Square Algorithm Based on Vector Acceleration

YIQingming，ZENG Jielin，SHIM in
（College of Information Science and Technology，Jinan University，Guangzhou 510632，China）

To enhance the convergence speed of existed Variable Step?size Frequency?domain Block LeastMean Square（VSFBLMS）algorithm，an Accelerating Vector based Variable Step?size Frequency?domain Block Least Mean Square（AV?VSFBLMS）algorithm is proposed.The algorithm judges the current convergence stage of basic step parameters obtained by using the algorithm of VSFBLMS computing，selects a larger iteration number of coefficient updating formulas in early process stage while a smaller iteration number of coefficient updating formulas in later process stage according to the convergence statue.It helps to improve the convergence rate in early stage and also ensures a low m isalignment in later stage.Experimental result based on adaptive noise cancelling model shows that the proposed algorithm outperforms other VSFBLMS algorithms in convergence speed w ith a lowerm isalignment.

adaptive filtering；vector acceleration；variable step?size；Frequency?domain Block Least Mean Square（FBLMS）algorithm；overlap?savemethod

1000?3428（2015）07?0285?04

A

TP301.6

10.3969／j.issn.1000?3428.2015.07.054

廣東省工程技術(shù)研究中心基金資助項(xiàng)目（2012gczxA003）。

易清明（1965-），女，教授、博士，主研方向：信號(hào)處理，混合信號(hào)集成電路設(shè)計(jì)；曾杰麟，碩士；石 敏，副教授、博士。

2015?01?27

2015?02?23E?mail：1234051006＠stu.jnu.edu.cn