間歇過程的批間自優(yōu)化控制

葉凌箭，宋執(zhí)環(huán)，馬修水

(1 浙江大學寧波理工學院, 浙江 寧波 315100；2 浙江大學控制科學與工程學系, 浙江 杭州 310027)

引 言

間歇過程的優(yōu)化是一個動態(tài)優(yōu)化問題，數(shù)學上求解相對于穩(wěn)態(tài)過程難度更大。解析法如應(yīng)用Pontryagin 極值原理最小化Hamiltonian 函數(shù)等，對于反應(yīng)機理復(fù)雜、規(guī)模龐大的間歇過程幾乎很難實現(xiàn)。應(yīng)用數(shù)值法求解間歇過程的優(yōu)化問題更為常見，如控制向量參數(shù)化法（control vector parameterization，CVP）等[1]。

對間歇生產(chǎn)過程進行操作優(yōu)化時，如果僅在標稱狀態(tài)下進行一次離線優(yōu)化，優(yōu)化性能具有局限性。主要原因是工業(yè)過程在實際運行時受到各種不確定擾動的影響，引起了系統(tǒng)工作點的漂移。標稱工作點的最優(yōu)輸入軌跡無法在真實工況下保持最優(yōu)性，引起了目標函數(shù)損失。實時優(yōu)化（real-time optimization，RTO）的任務(wù)即在不確定擾動影響下使過程系統(tǒng)重新運行于新工況下的最優(yōu)點[2]。

根據(jù)RTO 策略和實現(xiàn)方法不同，Chachuat 等[3]將現(xiàn)有的RTO 方法主要分為3 大類：（1）參數(shù)估計-重優(yōu)化兩步法[4]；（2）修正適應(yīng)法（modifier adaptation）[5]；（3）直接調(diào)節(jié)輸入法。方法（1）利用過程的測量變量數(shù)據(jù)，首先基于參數(shù)化模型估計出不確定擾動，然后重新優(yōu)化求解。方法（2）不對模型進行更新，而是對約束條件和目標函數(shù)進行合理修正，使得修正后的最優(yōu)性條件（necessary conditions of optimality，NCO）和真實過程的NCO相匹配，從而找到最優(yōu)輸入。方法（3）以NCO 跟蹤法[2,6]和自優(yōu)化控制（self-optimizing control，SOC）[7]為代表，NCO 跟蹤的主要特征是測量/估計出當前的NCO，設(shè)計控制律使得系統(tǒng)最終滿足NCO。SOC則通過跟蹤控制某些經(jīng)過離線設(shè)計的被控變量，即使不在線調(diào)整設(shè)定值，系統(tǒng)也在反饋控制器作用下自動運行于最優(yōu)點附近。以上優(yōu)化策略中，大多需要在線測量/估計目標函數(shù)和測量變量的梯度信息，或者進行頻繁的高負荷數(shù)學運算。相比而言，SOC的在線實現(xiàn)最為簡便，控制結(jié)構(gòu)中無須單獨的優(yōu)化層，而是通過常規(guī)控制作用實現(xiàn)RTO 效果。由于SOC 設(shè)計的被控變量（測量變量的組合）間接地獲取了梯度信息，因此無須像有限差分法對系統(tǒng)進行激勵以獲取實驗梯度，從而極大地加快了RTO 速度。

由于具備良好RTO 性能的同時保持了簡潔的可實現(xiàn)性，SOC 自Skogestad[7]于2000年提出后就引起了相關(guān)學者的關(guān)注和研究[8-13]，大量平臺上的成功應(yīng)用不斷報道?，F(xiàn)有的SOC 主要應(yīng)用于連續(xù)過程，在間歇過程上的應(yīng)用較少。文獻[14-16]基于SOC 思想對間歇過程進行了一些初步的工作，但具有如下兩個方面的局限性：（1）滿足最優(yōu)性條件的Hamiltonian 函數(shù)經(jīng)解析法推導，因此只適用于一些機理簡單、規(guī)模微小的間歇過程；（2）要求實時測量一些關(guān)鍵的過程變量如物料濃度等，實際操作時通常很難滿足這一點。如果過程變量只在批次運行結(jié)束后才被測量，只能通過批間方式實現(xiàn)RTO。目前，基于SOC 策略的間歇過程批間優(yōu)化，仍未見 報道。

1 連續(xù)過程自優(yōu)化控制

自優(yōu)化控制的核心思想是對系統(tǒng)的控制結(jié)構(gòu)進行干預(yù)，通過選擇（設(shè)計）合理的被控變量實現(xiàn)RTO。擾動產(chǎn)生時，無須進行重新優(yōu)化求解更新設(shè)定值，而是只在常規(guī)控制器下跟蹤被控變量的恒定設(shè)定值，就能夠使系統(tǒng)自動靠近最優(yōu)點運行[7]。

在自優(yōu)化控制方法發(fā)展的十多年中，文獻[8-13]報道了不同方法求解最優(yōu)被控變量，如使用單獨的測量變量，或者它們的組合函數(shù)。本文采用的自優(yōu)化控制法為作者提出的NCO 近似法[13]，并將其推廣到間歇過程。

考慮如下連續(xù)過程的優(yōu)化問題

式中，標量J 表示需要最小化的性能指標，u ∈ Rnu,d ∈Rnd分別是操縱變量和擾動變量。y ∈Rny為過程輸出模型， G ∈Rng表示約束條件。假設(shè)uopt是最優(yōu)輸入，根據(jù)優(yōu)化理論，在uopt點應(yīng)該滿足如下KKT 條件[17]

式中，Φ 為拉格朗日函數(shù)，μ ∈ Rng為拉格朗日乘子。滿足上述KKT 條件的第一步是位于邊界的積極約束Ga為0（對應(yīng)非零拉格朗日乘子μi），Ga確定后可從式(2)約去μ 并得到[3]

式中，(·)+表示矩陣的Pseudo 偽逆矩陣。式(3)包含兩部分積極約束Ga和簡約梯度?rJ，稱為連續(xù)過程優(yōu)化問題的NCO 條件。

NCO 近似法的基本想法是利用系統(tǒng)處于最優(yōu)狀態(tài)時必須滿足NCO 條件（Ga和?rJ）為0 這一特征，將其直接作為被控變量（設(shè)定值為0）實現(xiàn)理想的自優(yōu)化控制。

假設(shè)NCO 條件（3）中的Ga部分可直接測量，則Ga直接作為被控變量進行卡邊控制。而簡約梯度?rJ 往往依賴于不可測擾動d，因此不能在線測量。因此考慮建立?rJ 的回歸模型Z(y)，使用可測變量y估計?rJ，進而設(shè)計被控變量c=Z(y)對其進行間接控制，其中Z 為可測變量y 的線性或非線性函數(shù)。

以線性最小二乘擬合為例，被控變量記為c = θ0+θTy ( tf)。將過程M 個不同操作點的測量變量和簡約梯度排列為矩陣形式

式中，下角標i 表示第i 個操作點下的對應(yīng)數(shù)據(jù)，γi表示梯度值。為使自優(yōu)化控制效果在整個擾動空間都有效，M 個操作點應(yīng)涵蓋所有擾動工況。最小二乘擬合的結(jié)果為

除線性最小二乘回歸外，多項式回歸也可視擬合精度效果選擇性采用，也可以使用更加復(fù)雜的人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、支持向量機回歸等。對于具有多個決策變量的系統(tǒng)，應(yīng)對每個簡約梯度逐個擬合獲取多個被控變量。文獻[18]將自優(yōu)化控制問題歸結(jié)為一個軟測量問題，這里不再贅述。

2 間歇過程的批間自優(yōu)化控制

2.1 間歇過程優(yōu)化

本文研究一類參數(shù)不確定型間歇過程，將自優(yōu)化控制方法推廣到間歇過程的批間實時優(yōu)化。操作目標表示為如下最優(yōu)化問題

式中，tf為批次運行時間，φ為標量目標函數(shù)，u(t)為連續(xù)的操縱輸入軌跡，x 為nx維狀態(tài)向量（初態(tài)x0）。J、y、d 的定義如前，其中y 測量值在批次終端獲得，即y(tf)。F、H 和G 分別為nF維動態(tài)模型、nh維輸出方程和ng維終端約束。

最優(yōu)化問題式(6)是一個動態(tài)優(yōu)化問題，可使用數(shù)值求解法如控制向量參數(shù)化法（CVP）求解得到最優(yōu)輸入軌跡uopt(t)。但由于系統(tǒng)受到不確定擾動d的影響，因此使用標稱模型求解得到的最優(yōu)輸入軌跡并非適用于所有工況，需根據(jù)實際操作工況進行調(diào)整。對此，參數(shù)估計-重復(fù)優(yōu)化法[4]采用了一種直接的優(yōu)化思路，即首先根據(jù)當前測量變量y 估計出不確定擾動，然后更新模型并對其重新優(yōu)化求解。缺點是此方法的計算負荷較大，另外，由于參數(shù)估計和優(yōu)化兩者之間存在沖突，需要對系統(tǒng)進行充 分激勵才能準確估計出擾動，因此需要折中考慮 兩者[4]。

2.2 輸入軌跡參數(shù)化

動態(tài)優(yōu)化問題式(1)可等價轉(zhuǎn)化為如下靜態(tài)優(yōu)化問題[6]

操縱輸入軌跡u(t)的參數(shù)化方案對求解式(7)具有重要影響，通常做法是將批次運行時間區(qū)間[0, tf]等間距分割成N 個時間間隔，在單個時間間隔內(nèi)u(t)為常數(shù)或多項式曲線，其中視為常數(shù)時即CVP法?？梢宰C明，當N→∞時，參數(shù)化后的近似曲線可逼近任意形狀的曲線。如圖1 所示，經(jīng)CVP 法參數(shù)化后新的決策變量為u1,…,uN。

圖1 基于CVP 法的輸入軌跡參數(shù)化Fig.1 Input parameterization based on CVP (N=12)

提高CVP 法的算法精度可以通過增加N 來調(diào)節(jié)軌跡形狀，也增加了優(yōu)化問題中的決策變量個數(shù)。因此CVP 法優(yōu)化性能的提高以增加計算復(fù)雜度為代價。這種方法的缺點在于，間歇過程中輸入軌跡的變化趨勢往往具有階段性，不同時間段內(nèi)的變化特性不同。對于較為平滑的部分，只需少量參數(shù)即可描述，而對較為“陡”的部分，才需較多的參數(shù)變量。對于CVP 法來說，由于整個時間區(qū)間是等間距劃分的，因此需要大幅度增加N，以滿足最“陡”的那部分輸入軌跡曲線的需求，造成了計算資源的浪費。

本文考慮另一種更為靈活的輸入軌跡參數(shù)化方法，下面結(jié)合圖2 進行說明。圖2 中均使用了非等間距的分隔方式對整個輸入軌跡曲線進行劃分，兩者參數(shù)化后的決策變量均為u=[u1,u2,u3,t1,t2]T，圖2(a)中單個間隔內(nèi)u 均保持為常數(shù)，圖2 (b)中后兩段u 為斜坡形曲線。對于更為一般化的情況，也可以采用多項式曲線，n 階多項式由n+1 個參數(shù)確定。注意，這里3 段曲線的切換時間t1和t2也作為自由決策變量考慮，這是因為間歇過程在受到外界不確定擾動的影響時，分階段軌跡曲線往往呈現(xiàn)出一種在時間尺度上的拉伸或壓縮的特性，此時使用時間參數(shù)作為自由變量更合理。

圖2 輸入軌跡參數(shù)化Fig.2 Input trajectory parameterization

圖3 使用二段2 次多項式曲線對圖1 所示的輸入曲線進行了近似處理，此時輸入軌跡被參數(shù)化為7 個變量u=[a0,a1,a2,b0,b1,b2,t1]T，相比原來N=12可大大降低求解復(fù)雜度。

圖3 使用二段2 次多項式曲線進行輸入軌跡參數(shù)化Fig.3 Input parameterization using two-stage second order polynomial functions

參數(shù)化法的性能好壞，很大程度上取決于參數(shù)化后的輸入軌跡是否吻合最優(yōu)輸入軌跡的形態(tài)特征，以盡量少的參數(shù)準確描述。如果缺乏先驗知識，仍然需要先借助如CVP 法求取最優(yōu)軌跡，然后再對其進行合理的參數(shù)化。這是因為，在系統(tǒng)受到不確定擾動影響時，最優(yōu)輸入軌跡主要體現(xiàn)為這些參數(shù)的變化，而主要的形態(tài)特征往往不會發(fā)生較大改變，因此參數(shù)化法能大大降低優(yōu)化求解難度。本質(zhì)上來說，參數(shù)化就是對輸入軌跡曲線施加額外的約束條件。一般來說，如果參數(shù)化后的決策變量過少，導致新的軌跡曲線和目標軌跡有較大差距，就可能引起一定程度的性能損失。此時需要設(shè)計人員進行折中考慮，在性能損失可以承受的范圍內(nèi)，盡量減少決策變量數(shù)目。間歇過程的特點是決策變量數(shù)量龐大，各個輸入輸出通道之間相互耦合，對實現(xiàn)反饋控制是不利的。輸入軌跡參數(shù)化方案能夠大幅度減少決策變量數(shù)目，極大地利于反饋控制的實施，因此在本文背景下具有重要意義。

2.3 間歇過程批間自優(yōu)化

從前文分析可以看到，經(jīng)過穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)化和輸入軌跡參數(shù)化后，最優(yōu)化問題式(7)和穩(wěn)態(tài)自優(yōu)化控制問題具有相同的形式。因此分析式(7)的最優(yōu)性條件，然后應(yīng)用NCO 近似法，可以實現(xiàn)間歇過程的批間自優(yōu)化控制。具體來說，是建立y(tf)和最優(yōu)性條件之間的回歸模型c=Z(y(tf))，設(shè)定值恒為0，然后對其進行反饋控制。

和連續(xù)過程自優(yōu)化的不同點在于：（1）連續(xù)過程的操縱變量往往是確定不變的，而間歇過程的決策變量經(jīng)過軌跡參數(shù)化得到，可以根據(jù)具體問題進行抉擇；（2）連續(xù)過程的控制器工作于連續(xù)或者高頻狀態(tài)，而間歇過程的控制器工作頻率為每批次進行，以最簡單的PI 控制器為例，第k+1 批次的操縱輸入uk+1的更新律為

式中，Kp和TI分別為比例系數(shù)和積分時間。

綜上，本文提出的間歇過程批間自優(yōu)化控制方法，具體實施步驟如下：

（1）使用傳統(tǒng)的數(shù)值優(yōu)化算法，在標稱工作狀態(tài)下對間歇過程進行優(yōu)化求解，獲得最優(yōu)輸入軌跡 ( )u t? ；

（2）觀察最優(yōu)輸入軌跡的形態(tài)特征，將其參數(shù)化為若干少量的決策變量u。然后根據(jù)參數(shù)化方案產(chǎn)生的輸入軌跡曲線u(t)，計算新的目標函數(shù)J(u(t))。衡量J(u(t))相對于 ( ( ))J u t? 的損失程度，如果損失可以接受，則進行下一步，否則重新調(diào)整參數(shù)化方案；

圖4 本文方法的控制方框圖Fig.4 Control diagram of proposed scheme

（3）基于間歇過程的動態(tài)模型，以計算機仿真的方式在整個操作空間內(nèi)（包括擾動空間和決策變量空間）進行開環(huán)實驗，得到測量變量y(tf)和目標函數(shù)J 相對于u 的梯度值?J/?u（可通過有限差分法得到）；

（4）以y(tf)為輸入，?J/?u 為輸出，建立回歸模型c=Z(y(tf))；

（5）設(shè)計控制器，被控變量為c，設(shè)定值0，控制輸入為u。

控制系統(tǒng)的在線運行如圖4 所示，控制系統(tǒng)對第k 批次的終端輸出值yk(tf)進行采樣，計算NCO的估計值并作為反饋控制器的被控變量ck，以批間方式跟蹤控制其設(shè)定值0。最后，使用控制輸出uk產(chǎn)生軌跡曲線uk(t)使用于下一批次。

3 仿真實例

3.1 過程描述

研究一個間歇反應(yīng)器[3]，原料A 和B 反應(yīng)生成產(chǎn)物C，同時B 自身合成生成副產(chǎn)物D，如圖5 所示。A 在反應(yīng)初始時刻一次性投放，B 在反應(yīng)過程中實時投放，流率為操縱變量F(t)

體系的模型方程為

圖5 間歇反應(yīng)器示意圖Fig.5 Schematic diagram of batch reactor

式中，cX表示物料X 的濃度，其他各符號含義參見表1。

表1 反應(yīng)過程參數(shù)Table 1 Parameters for reactor process

該過程的擾動變量為主反應(yīng)常數(shù)k1，可能的波動范圍為[0.02, 0.08]L·mol·min-1，過程運行時k1不可測。反應(yīng)器過程的目標函數(shù)表示為

式中，第1 項為產(chǎn)物C 的產(chǎn)量，第2 項代表了操作成本，ω 為2500 L2·min-1·mol-1。

3.2 輸入軌跡參數(shù)化

首先使用數(shù)值法求解標稱工作點的最優(yōu)輸入軌跡，取CVP 法的N=15，使用Dynopt 工具箱[19]得到最優(yōu)輸入軌跡如圖6 左上角所示，此時最優(yōu)目標函數(shù)為= 0.2412。從圖中可以觀察到，最優(yōu)輸入軌跡形狀的規(guī)律為：反應(yīng)初期反應(yīng)物B 的進料流率F 較大，以利于反應(yīng)進行得到更多產(chǎn)物C；反應(yīng)后期則減少B 的進料，這是因為反應(yīng)生成C 需要一定時間，后續(xù)進料來不及在反應(yīng)結(jié)束前產(chǎn)生效用，因此應(yīng)該少量進料。

圖6 CVP 法（N=15）和輸入?yún)?shù)化法對比Fig.6 Comparison between CVP and input parameterization

根據(jù)上述規(guī)律，考慮如下一種簡單的參數(shù)化方案：將整個反應(yīng)時間段分為兩個階段，第一階段[0, ts)實行恒定進料F(t)=FB，第二階段[ts, tf]停止進料F(t)=0。這樣整條輸入軌跡只需兩個參數(shù)[FB, ts]就完全確定。在此基礎(chǔ)上對系統(tǒng)進行重新優(yōu)化求解，最優(yōu)目標函數(shù)Jopt=0.2395，F(xiàn)B和ts分別為3.98×10-4L·min-1和234.6 min?？梢钥吹?，使用參數(shù)化方案將決策變量從15 減少至2 個后，只引起了目標函數(shù)的少量損失，是非常值得的。兩者的最優(yōu)輸入軌跡和狀態(tài)變量對比如圖6 所示，可以看到cA、V、cC、cD的變化曲線幾乎是重疊的，cB略有差異，這是因為物質(zhì)B 本身就是進料。

3.3 批間自優(yōu)化控制

最優(yōu)決策變量的分布情況是假設(shè)擾動變量已知，通過離線優(yōu)化求解得到的。而系統(tǒng)在線運行時的真實擾動值不可測，因此只能通過間接的方式實現(xiàn)優(yōu)化。

由于該間歇反應(yīng)器不存在積極約束部分，因此只需控制兩個梯度?J/?FB和?J/?ts為0即可保持系統(tǒng)最優(yōu)性。在擾動變量k1∈[0.02, 0.08]的范圍內(nèi)，分別優(yōu)化求解兩個決策變量，得到它們的分布情況如圖7 所示。可以看到，F(xiàn)B的最優(yōu)值受擾動k1變化較為敏感，而ts幾乎保持不變，變化范圍為標稱工作點上下±2 min 內(nèi)波動?？梢则炞C，ts在小范圍內(nèi)變化時對目標函數(shù)的影響不大，可以考慮取恒值ts=234.6 min 進一步簡化操作。

最終，使用NCO 近似法對該間歇反應(yīng)器進行批間自優(yōu)化控制，只需得到可測變量y(tf)估計梯度?J/?FB的回歸模型作為被控變量。開環(huán)狀態(tài)下，隨機變化決策變量和擾動變量，仿真獲取100 組樣本數(shù)據(jù)，每組樣本數(shù)據(jù)包含可測變量 y(tf)和梯度?J/?FB。使用線性最小二乘擬合得到如下被控變量

圖7 最優(yōu)決策變量在整個擾動范圍內(nèi)的分布Fig.7 Distributions of optimal decision variables in whole disturbance range

使用PI 控制器，設(shè)定c 的參考值為0 進行批間自優(yōu)化控制。安排實驗如下：第1～8 批次k1=0.02，第9～18 批次k1=0.08，第19～24 批次k1=0.053，實驗結(jié)果顯示于圖8 和表2。從圖表中可以看到，方法具有良好的自優(yōu)化控制效果。擾動發(fā)生后，由于被控變量c 在反饋控制器作用下調(diào)整Fs跟蹤設(shè)定值0，使反應(yīng)過程自動向最優(yōu)工作點逼近，并且在若干批次內(nèi)收斂到各自的最終工作點。3 種擾動情形中，k1= 0.02 時系統(tǒng)的目標函數(shù)損失最大為1.18%。這部分損失主要來自兩方面：（1）從圖7中可以驗證，k1=0.02 時ts的最優(yōu)值約為231.5 min，相對而言偏離固定值ts=234.6 min 最遠，引起了一定程度損失；（2）對梯度?J/?FB擬合時引入了一定的擬合誤差，如需進一步提高自優(yōu)化控制效果，可以考慮使用多項式擬合提高精度。k1= 0.08 和k1=0.053 時系統(tǒng)的目標函數(shù)損失都很?。?.13%、0），可認為已近似達到了最優(yōu)控制。

表2 批間自優(yōu)化控制結(jié)果和真實最優(yōu)值對比Table 2 Batch-to-batch self-optimizing control performances against true optimums

4 結(jié) 論

本文提出了一種基于NCO 近似法的間歇過程的批間自優(yōu)化控制策略。使用批次運行終端的測量變量y(tf)，設(shè)計被控變量c=Z(y(tf))使系統(tǒng)能夠在后續(xù)批次中跟蹤設(shè)定值的同時，自動運行于（近似）最優(yōu)點。應(yīng)用本文方法時，一個重要步驟是對輸入軌跡曲線進行準確的參數(shù)化。從間歇反應(yīng)器研究的例子中可以看到，合理的參數(shù)化方案能夠在維持系統(tǒng)優(yōu)化性能的同時大大降低問題復(fù)雜度。間歇反應(yīng)器的仿真結(jié)果表明，本文方法能有效實現(xiàn)間歇過程的批間自優(yōu)化控制。

圖8 3 種典型擾動情形下的控制效果Fig.8 Control performances under 3 typical disturbance scenarios

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