一類混合隔振系統(tǒng)非線性動(dòng)力特性分析

宋秉明，呂志強(qiáng)，帥長(zhǎng)庚

（1.海軍工程大學(xué)　振動(dòng)與噪聲研究所，武漢430033；2.海軍工程大學(xué)　船舶振動(dòng)噪聲重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢430033）

一類混合隔振系統(tǒng)非線性動(dòng)力特性分析

宋秉明1，2，呂志強(qiáng)1，2，帥長(zhǎng)庚1，2

（1.海軍工程大學(xué)振動(dòng)與噪聲研究所，武漢430033；2.海軍工程大學(xué)船舶振動(dòng)噪聲重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢430033）

研究磁懸浮—?dú)饽抑鞅粍?dòng)混合隔振系統(tǒng)的非線性動(dòng)力特性，包括對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析和位移響應(yīng)的計(jì)算及其模擬仿真。通過對(duì)磁懸浮—?dú)饽抑鞅粍?dòng)混合隔振裝置的簡(jiǎn)化，建立與之相適應(yīng)的非線性動(dòng)力微分方程；利用諧波平衡法對(duì)非線性微分方程進(jìn)行求解，研究系統(tǒng)方程的幅頻響應(yīng)曲線在不同參數(shù)下的變化規(guī)律；由Lyapunov穩(wěn)定性定理對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性判斷；通過Simulink軟件對(duì)整個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行模擬仿真得出位移的功率譜曲線，分析結(jié)果表明混合隔振系統(tǒng)在低頻激勵(lì)下的穩(wěn)定性更好，隔振效果明顯。

振動(dòng)與波；混合隔振；非線性動(dòng)力特性；磁懸浮作動(dòng)器；空氣彈簧

隨著隔振技術(shù)的不斷創(chuàng)新和改善，磁懸浮隔振裝置越來越受到國內(nèi)外學(xué)者和專家的青睞，對(duì)此的研究和分析也很多［1-4］。磁懸浮作動(dòng)器具有固有的非線性特性，對(duì)磁懸浮—?dú)饽抑鞅粍?dòng)混合隔振器的研究是將非線性微分方程化為線性或者近似線性來求解振動(dòng)響應(yīng)，而忽略了位移非線性項(xiàng)［5］，導(dǎo)致計(jì)算所得的位移響應(yīng)值精度有限，這也影響后續(xù)的分析結(jié)果。對(duì)于磁懸浮作動(dòng)器，即便是微小的位移變化，所帶來的影響也不容忽視，對(duì)于隔振系統(tǒng)非線性現(xiàn)象的研究?jī)?nèi)容和方法很多［6-8］。本文采用諧波平衡法，對(duì)磁懸浮—?dú)饽抑鞅粍?dòng)混合隔振系統(tǒng)在不同參數(shù)下的非線性動(dòng)力特性進(jìn)行研究，對(duì)位移非線性給系統(tǒng)帶來的影響進(jìn)行深入分析。

1　建立運(yùn)動(dòng)微分方程

磁懸浮—?dú)饽抑鞅粍?dòng)混合隔振器是將無接觸的、等效剛度低的磁懸浮作動(dòng)器集成到氣囊隔振器內(nèi)部，利用氣囊隔離寬頻振動(dòng)，同時(shí)控制作動(dòng)器消除低頻線譜振動(dòng)的主、被動(dòng)一體化的混合隔振裝置［9］?；窘Y(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖如圖1所示，主要由氣囊、永磁鐵、鐵芯、線圈和銜鐵等構(gòu)成。

圖1　磁懸浮—?dú)饽一旌细粽裣到y(tǒng)實(shí)體簡(jiǎn)圖

對(duì)混合隔振系統(tǒng)進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，將氣囊簡(jiǎn)化為一個(gè)包含線性剛度和線性阻尼的被動(dòng)隔振部件，主動(dòng)控制部分簡(jiǎn)化為磁鐵的交變磁懸浮力，得到如圖2所示的力學(xué)模型。其中m是隔振對(duì)象的質(zhì)量；k1和c1分別是氣囊的等效剛度和阻尼；x是隔振對(duì)象的位移；fd是外部激勵(lì)力；Fg是作動(dòng)器提供的主動(dòng)交變磁懸浮力，同時(shí)作用在隔振對(duì)象和基礎(chǔ)上。此處假設(shè)基礎(chǔ)為剛性的。

圖2　磁懸浮—?dú)饽一旌细粽裣到y(tǒng)力學(xué)模型

由以上力學(xué)模型，結(jié)合振動(dòng)理論分析可知混合隔振系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為

mx¨（t）+c1x˙（t）+k1x（t）=fd（t）-Fg（t）（1）式中，F(xiàn)g（t）為交變磁懸浮力，參考何琳［9］和謝強(qiáng)［5］研究分析時(shí)采用的交變電磁力模型，可得交變磁懸浮力的表達(dá)式為

在平衡點(diǎn)（I0，X0）處對(duì)Fg（t）進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開，整理得式中，第一個(gè)括號(hào)內(nèi)的表達(dá)式為磁懸浮作動(dòng)器的可控輸出力，記作fa（t）。其中電流平方項(xiàng)i2對(duì)系統(tǒng)的影響在文獻(xiàn)中已有研究分析，并采用補(bǔ)償控制對(duì)其進(jìn)行消除［5］。同時(shí)，本文主要分析研究位移非線性對(duì)系統(tǒng)的影響，故此處忽略電流平方項(xiàng)；又由計(jì)算可知電流立方項(xiàng)i3的系數(shù)為零，則

第二個(gè)括號(hào)內(nèi)的表達(dá)式為磁懸浮作動(dòng)器的等效位移剛度，記作ka。此處只考慮偏置電流I0對(duì)等效剛度ka的影響，忽略交變電流i的影響，則

G（x）為系統(tǒng)的位移非線性項(xiàng)，由于振動(dòng)過程中位移為小量，為簡(jiǎn)化計(jì)算量，略去三階以上的高階項(xiàng)，此處只考慮平方、立方項(xiàng)，則

將式（4）、（5）、（6）代入式（1），兩邊同時(shí)除以質(zhì)量m得最終簡(jiǎn)化的微分方程

其中

磁懸浮主被動(dòng)混合隔振系統(tǒng)采用的是有源振動(dòng)控制，在控制系統(tǒng)中引入次級(jí)振源，通過測(cè)量主振源的振動(dòng)信號(hào)，再采用適當(dāng)?shù)目刂扑惴?，使得次?jí)振源與主振源的大小相等，方向相反，從而達(dá)到隔振的目的。由此，易知對(duì)于單頻激勵(lì)力fd（t），要達(dá)到隔振的目的，主動(dòng)控制力fa（t）的頻率必然與激勵(lì)力fd（t）的頻率相同。為了便于后續(xù)的分析，對(duì)f（t）作進(jìn)一步簡(jiǎn)化得式中，F(xiàn)為激勵(lì)力與主動(dòng)控制力之差的幅值，ω為激勵(lì)頻率。

2　系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

設(shè)x（t）=x1，則由（7）式可知系統(tǒng)的非線性狀態(tài)方程如下

寫成矩陣形式為

設(shè)X=Ax+B，求解矩陣A的特征值，則有

解得

由Lyapunov穩(wěn)定性定理［10］可知，當(dāng)λ1、λ2為一對(duì)實(shí)部為負(fù)的共軛復(fù)根時(shí)，奇點(diǎn)即為焦點(diǎn)，系統(tǒng)具有漸進(jìn)穩(wěn)定性。由此可知，磁懸浮混合隔振系統(tǒng)具有良好的穩(wěn)定性。

3　方程求解

采用諧波平衡法［10］對(duì)非線性微分方程（7）求解，設(shè)x（t）為周期解，用Fourier級(jí)數(shù)展開，得到如下通解形式

此處A0=0，忽略高次諧波項(xiàng)，設(shè)非線性方程（7）的近似解為

由式（11）易得x˙（t）、x¨（t）的表達(dá)式，又可知

將x（t）、x˙（t）、x¨（t）、x2（t）及x3（t）的表達(dá)式代入（7）式中，整理得

設(shè)

求解式（17）中的方程組，從而求得Z和φ，即可得方程的近似解。

4　數(shù)值計(jì)算與仿真分析

利用Matlab中的ezplot函數(shù)對(duì)方程（16）進(jìn)行繪圖，可得主被動(dòng)混合隔振系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)隨不同參數(shù)變化的規(guī)律曲線。為了便于觀察其變化規(guī)律，此處將模型參數(shù)設(shè)為m=1 kg，ωn=1rad/s，分析結(jié)果如圖3、圖4、圖5所示，分別表示不同β、μ、F值下的幅頻響應(yīng)曲線，縱坐標(biāo)表示幅值，橫坐標(biāo)頻率比表示的是激勵(lì)頻率與固有頻率的比值

圖3　不同β值下的幅頻響應(yīng)曲線（其中μ=0.1，F(xiàn)=0.5）

由圖3可知，當(dāng)β＞0時(shí)，隨著非線性項(xiàng)系數(shù)β的增大，幅值的峰值隨之減小，并且向右側(cè)偏移的傾角變大。由圖4易知，隨著阻尼項(xiàng)系數(shù)μ的增大，幅值的峰值隨之減小，但對(duì)幅值的偏向程度沒有影響，并且當(dāng)達(dá)到一定值時(shí)，跳躍現(xiàn)象消失，使得隔振區(qū)間增大、隔振效果加強(qiáng)。由圖5可知，幅值隨著F的增大而增大，并且有效隔振區(qū)間隨之減小，但對(duì)于整個(gè)頻段的收斂效果也變差，使得隔振效果不理想。

根據(jù)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程（7），運(yùn)用Matlab/ Simulink軟件對(duì)磁懸浮—?dú)饽腋粽裣到y(tǒng)模型進(jìn)行仿真分析，仿真計(jì)算過程主要是利用軟件內(nèi)部的ode 45算法對(duì)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行數(shù)值求解。對(duì)于被動(dòng)隔振的仿真分析，則將主動(dòng)控制力中的交變電流值設(shè)為零。

圖4　不同μ值下的幅頻響應(yīng)曲線（其中F=0.5，β=1）

圖5　不同F(xiàn)值下的幅頻響應(yīng)曲線（其中μ=0.1，β=1）

通過改變仿真模型中激勵(lì)頻率ω的值（10 π～100 π），使模型分別在被動(dòng)隔振和主動(dòng)隔振的狀態(tài)下進(jìn)行仿真分析。對(duì)于位移的幅值，按照的方法轉(zhuǎn)換為dB的形式觀察功率譜變化規(guī)律，其中參考值Zs=1 pm。圖6所示的是在激勵(lì)頻率為40 π時(shí)的單邊功率譜曲線，系統(tǒng)由靜止?fàn)顟B(tài)被激勵(lì)，時(shí)間T持續(xù)10 s。

由被動(dòng)隔振的功率譜曲線可知，系統(tǒng)在前5 s的幅值峰值點(diǎn)有兩個(gè)，分別為系統(tǒng)固有頻率處和激勵(lì)頻率處，而后5 s的曲線中固有頻率處的峰值則削弱了，這主要是由于位移響應(yīng)解中的瞬態(tài)解引起的，在阻尼c1大于0的情況下，當(dāng)時(shí)間足夠大時(shí)可以將這部分解忽略不計(jì)，只考慮穩(wěn)態(tài)解；對(duì)于主動(dòng)隔振系統(tǒng)，由圖6可知不存在這一情況，充分表明主動(dòng)控制對(duì)系統(tǒng)固有頻率處振動(dòng)控制的實(shí)時(shí)性和有效性。比較5 s～10 s的被動(dòng)隔振與主動(dòng)隔振的功率譜曲線可知，在激勵(lì)頻率20 Hz處，主動(dòng)隔振比被動(dòng)隔振小37.5 dB，表明主動(dòng)隔振的效果明顯。但是在40 Hz、60 Hz等激勵(lì)頻率的倍頻處產(chǎn)生多個(gè)峰值，產(chǎn)生額外的能量，這主要是由于主動(dòng)控制中位移非線性項(xiàng)所導(dǎo)致的。

表1所示的是激勵(lì)頻率ω在10 π～100 π區(qū)間內(nèi)隔振系統(tǒng)在激勵(lì)頻率處的功率譜峰值的仿真數(shù)據(jù)表。

圖6　不同隔振狀態(tài)下的功率譜曲線

表1　不同激勵(lì)頻率下被動(dòng)隔振和主動(dòng)隔振在激勵(lì)頻率處功率譜的峰值

由表中數(shù)據(jù)可知，被動(dòng)隔振系統(tǒng)在激勵(lì)頻率處的隔振效果隨著激勵(lì)頻率的增大越來越好，這也證實(shí)了氣囊隔振對(duì)高頻激勵(lì)有良好的隔振性能；主動(dòng)隔振系統(tǒng)在激勵(lì)頻率處的隔振效果隨激勵(lì)頻率變化不大，維持在133 dB左右，這表現(xiàn)出主動(dòng)隔振的穩(wěn)定性和可靠性，但相比被動(dòng)隔振有良好的隔振效果，通過將主動(dòng)隔振的值減去被動(dòng)隔振的值可以得到證實(shí)。此外，主動(dòng)控制在高頻處的隔振效果在逐漸減小。

5　結(jié)語

基于氣囊—磁懸浮主被動(dòng)混合隔振系統(tǒng)，對(duì)其非線性動(dòng)力特性進(jìn)行研究分析，結(jié)論如下：

（1）運(yùn)用Lyapunov穩(wěn)定性定理對(duì)混合隔振系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行判斷，并結(jié)合仿真分析的結(jié)果可知磁懸浮混合隔振系統(tǒng)具有良好的穩(wěn)定性；

（2）運(yùn)用諧波平衡法對(duì)建立的運(yùn)動(dòng)微分方程進(jìn)行解析，得到不同參數(shù)下非線性微分方程的頻響曲線及其變化規(guī)律；

（3）運(yùn)用Simulink軟件對(duì)系統(tǒng)模型進(jìn)行仿真分析，得到不同時(shí)間范圍不同隔振狀態(tài)下系統(tǒng)的功率譜圖，可知主動(dòng)隔振在低頻處的隔振效果明顯優(yōu)于被動(dòng)隔振，但位移非線性項(xiàng)的影響會(huì)使得主動(dòng)隔振在倍頻處產(chǎn)生附加能量。

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Nonlinear Dynamic CharacteristicsAnalysis of a Passive-active Hybrid Vibration Isolation System

SONG Bing-ming1，2，LV Zhi-qiang1，2，SHUAI Chang-geng1，2
（1.Institute of Noise and Vibration，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China；2.National Key Laboratory on Ship Vibration&Noise，Naval University of Engineering，Wuhan 430033，China）

The nonlinear dynamic characteristics of a passive-active hybrid vibration isolator system using electromagnetic actuator and air spring were studied.The study contained stability analysis，computation and simulation of displacement responses.The nonlinear dynamic differential equation was established by simplifying the passive-active hybrid vibration isolation.The solution of nonlinear differential equation was obtained by using harmonic balance method. The amplitude-frequency response curves of the system equation with different parameters were studied.Stability of the system was judged by Lyapunov stability theorem.The power spectrum curves of displacement were obtained by simulation of the system with Simulink.It is shown that the stability and the vibration isolation efficiency of the system with active control is good.

vibration and wave；hybrid vibration isolation；nonlinear dynamic characteristics；electromagnetic actuator；air spring

O322文獻(xiàn)識(shí)別碼：ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2015.05.037

1006-1355（2015）05-0176-04+184

2015－03－09

宋秉明（1992－），男，江西省奉新人，碩士生，主要研究方向：振動(dòng)與噪聲控制。

呂志強(qiáng)，男，碩士生導(dǎo)師。

E-mail:whhg_sl@126.com