針對臨近空間目標跟蹤的自適應(yīng)AMCKF算法

聶曉華，張夫鳴

(南昌大學(xué) 信息工程學(xué)院，　南昌 330031)

?

·數(shù)據(jù)處理·

針對臨近空間目標跟蹤的自適應(yīng)AMCKF算法

聶曉華，張夫鳴

(南昌大學(xué) 信息工程學(xué)院，南昌 330031)

摘要：臨近空間飛行器具有機動特性復(fù)雜、運動軌跡多階段性等特點，在目標跟蹤的過程中，易出現(xiàn)由于系統(tǒng)模型誤差較大導(dǎo)致跟蹤精度降低、濾波發(fā)散的問題。針對該問題，在容積卡爾曼濾波的過程中加入衰減因子，通過衰減記憶的方法補償模型誤差；同時，提出了一種實時辨識容積卡爾曼濾波衰減因子的方法，達到自適應(yīng)跟蹤的目的。仿真結(jié)果表明：衰減記憶容積卡爾曼濾波算法能夠很好地解決模型失配問題，自適應(yīng)算法實時對衰減因子賦值，避免了衰減因子取值的困難，可以達到更好的跟蹤效果。

關(guān)鍵詞：臨近空間；容積卡爾曼濾波；衰減記憶；自適應(yīng)算法

0引言

臨近空間一般泛指距離海平面高度10 km到100 km的高空區(qū)域，臨近空間飛行器逐漸成為該領(lǐng)域的研究熱點。此類飛行器的機動速度、加速度均非常大，如近幾年出現(xiàn)的X-51A高超聲速飛行器[1]，有著機動特性強、運動軌跡變化快等顯著特點。如何良好地對臨近空間目標進行跟蹤成為一個備受關(guān)注的問題，對相關(guān)跟蹤算法的研究也具有重要的軍事戰(zhàn)略意義。

眾所周知，卡爾曼濾波算法在線性高斯條件下可以獲得狀態(tài)估計的最優(yōu)輸出，該理論建立在已知系統(tǒng)模型、觀測模型和噪聲統(tǒng)計分布的基礎(chǔ)上，當(dāng)不滿足這些條件時，估計誤差將會增大。Singer模型[2]將機動加速度建模為時間相關(guān)過程，更符合實際物理意義，通過調(diào)節(jié)機動頻率系數(shù)達到更好的跟蹤效果，得到了廣泛的應(yīng)用。隨之出現(xiàn)了自適應(yīng)跟蹤算法中的典型代表，即文獻[3]提出的當(dāng)前“統(tǒng)計”模型，該模型在Singer模型實現(xiàn)的過程中，將加速度噪聲假設(shè)為瑞利分布，通過加速度均值實時地更新狀態(tài)噪聲的分布。

文獻[4]分析了臨近空間飛行器的滑躍式機動，將加速度建模為正弦自相關(guān)過程，取得了較好的跟蹤精度。

當(dāng)所使用的系統(tǒng)模型誤差較大時，通常采用加入虛擬噪聲的方法讓濾波器對系統(tǒng)模型的信任程度降低，但很難確定需要加入多大的虛擬噪聲，此時則應(yīng)該考慮舍棄之前的觀測數(shù)據(jù)，更側(cè)重于新產(chǎn)生的觀測值，讓濾波器具有更好的穩(wěn)定性。

本文將衰減記憶算法與容積卡爾曼濾波(CKF)[5]相結(jié)合，形成衰減記憶容積卡爾曼濾波(AMCKF)，即利用衰減因子對狀態(tài)估計的預(yù)測協(xié)方差陣加以權(quán)重，使得濾波器最終的輸出值更趨近于新的觀測數(shù)據(jù)，同時描述了衰減因子的自適應(yīng)方法。

1容積卡爾曼濾波

對于一般的非線性機動目標跟蹤，常用的非線性濾波方法主要有擴展卡爾曼濾波(EKF)、無味卡爾曼濾波(UKF)[6]以及通過高斯厄米特求積準則近似的求積分卡爾曼濾波(QKF)[7]。

當(dāng)系統(tǒng)的非線性比較嚴重時，通過線性化方法的EKF估計效果很不理想，該濾波方法依靠對模型作線性化處理來傳遞均值，與真實的狀態(tài)均值僅匹配到一階項，存在較大的誤差。UKF算法通過無味變換(UT)經(jīng)過非線性函數(shù)傳遞之后的狀態(tài)均值可以達到真實均值的前三階精度[8]；但由于濾波初始參數(shù)的選擇問題，在三維以上的高維空間中作UT變換會出現(xiàn)濾波發(fā)散的可能，穩(wěn)定性有所下降[9]。而QKF的采樣點數(shù)會隨著空間維數(shù)呈指數(shù)級增長，一般不適用于高維情況。

CKF算法在三階容積準則的基礎(chǔ)上作積分近似，有嚴謹?shù)睦碚撏茖?dǎo)，可以達到和UT變換相同的近似精度；同時，在高維空間中濾波的穩(wěn)定性良好。有關(guān)CKF算法與其他濾波算法的性能對比，可參考文獻[10]。

在高斯分布的假設(shè)下，考慮以下積分

(1)

將多維空間的積分區(qū)域由直角坐標系轉(zhuǎn)換到球面徑向坐標系，令x=ry，其中，yTy=1，xTx=r2，則該積分可表示為

(2)

可將其改寫為

(3)

采用高斯求積準則和容積準則可得

(4)

即

(5)

取ma=1，mb=2n，n為x的維數(shù)?？傻脴藴收龖B(tài)分布的積分近似為

(6)

其中

(7)

對于卡爾曼濾波系統(tǒng)來說，有

(8)

式中：S為對協(xié)方差矩陣P進行Cholesky分解所得到的上三角矩陣。

可得

(9)

非線性濾波使用的數(shù)學(xué)模型可用狀態(tài)空間中的動態(tài)系統(tǒng)模型表示

(10)

式中：xk為k時刻的狀態(tài)向量；zk為k時刻的觀測值；wk和vk分別為相互獨立的狀態(tài)噪聲與觀測噪聲，且滿足wk～N(0，Qk)，vk～N(0，Rk)。

根據(jù)式(9)中的積分近似結(jié)果，對n維狀態(tài)向量x選取m個采樣點，m=2n，可得

(11)

經(jīng)過系統(tǒng)的狀態(tài)函數(shù)傳遞有

(12)

再次選取m個采樣點

(13)

經(jīng)過系統(tǒng)的觀測函數(shù)傳遞有

(14)

可計算狀態(tài)向量與觀測值的互協(xié)方差陣

(15)

由式(11)～式(15)得到CKF算法的狀態(tài)更新方程為[11]

(16)

經(jīng)過一個時刻的濾波循環(huán)后，得到k時刻的狀態(tài)估計值及其協(xié)方差陣與觀測值一起作為k+1時刻的濾波輸入量。

2自適應(yīng)衰減記憶方法

2.1衰減記憶濾波算法

在系統(tǒng)模型不準確，或者發(fā)生模型失配的情況下，當(dāng)前觀測值對估計值僅起到很小的修正作用，而相對時間較久遠的觀測值是引起跟蹤誤差增大、濾波發(fā)散的一個重要原因。衰減記憶算法就是重新分配當(dāng)前觀測數(shù)據(jù)的作用，提高濾波器的魯棒性。

已知離散系統(tǒng)模型如式(10)所示，卡爾曼濾波器通過最小化E(J)得到狀態(tài)向量的輸出序列[12]，J可寫作

(17)

為了讓濾波器更依靠此時刻的觀測數(shù)據(jù)，應(yīng)使得當(dāng)前數(shù)據(jù)的權(quán)重更大，重新定義上式

(18)

式中：β為衰減因子，且β≥1。

由此可將CKF算法中式(12)中的協(xié)方差陣改寫為

βP*+Qk-1

(19)

若有β=1，衰減記憶算法等價于標準容積卡爾曼濾波。其中，P*可以看作理想情況下系統(tǒng)模型完全匹配目標運動方式時的協(xié)方差陣，即Q=0。此時衰減因子則變?yōu)楦鶕?jù)當(dāng)前觀測數(shù)據(jù)改變?yōu)V波器協(xié)方差陣的系數(shù)，當(dāng)系統(tǒng)模型與真實系統(tǒng)狀態(tài)的偏離程度越大時，該系數(shù)取值則越大。

在衰減記憶算法中，衰減因子的取值尤為重要。當(dāng)濾波過程中發(fā)生模型失配的情況，為了補償模型失配帶來的估計誤差，必須對觀測數(shù)據(jù)給予更高的信任度，即β不能取值過??；當(dāng)β非常大時，最終導(dǎo)致濾波器的輸出值收斂于觀測值，造成狀態(tài)估計的精度損失。

對比線性卡爾曼強跟蹤濾波器[13]，引入漸消因子λ與遺忘因子ρ，其中，ρ為一個先驗性的系數(shù)，λ的計算方法如下

(20)

(21)

其中

(22)

(23)

有些文獻會對觀測噪聲協(xié)方差陣R加入弱化因子。強跟蹤濾波器有效地提升了線性卡爾曼濾波性能，但將其應(yīng)用在非線性容積卡爾曼濾波中，需要對狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)和觀測函數(shù)求一階偏導(dǎo)計算雅可比矩陣，同時，需對遺忘因子和弱化因子作一定的先驗性分析，增加了濾波過程中的不確定性。

2.2衰減因子的自適應(yīng)方法

在濾波算法實現(xiàn)的過程中，可以將式(14)中的協(xié)方差陣Pzz作為評判狀態(tài)預(yù)測不確定性的一個標準；同時，預(yù)測殘差dk是一個只能由觀測數(shù)據(jù)得到的誤差，對應(yīng)著狀態(tài)估計的誤差信息。定義下式

(24)

可知，通過S的值可以判斷濾波器是否發(fā)散。當(dāng)S>1時，說明了狀態(tài)估計的實時誤差比狀態(tài)預(yù)測的協(xié)方差要大，此時則需要對系統(tǒng)模型做一定的調(diào)整。若在衰減記憶算法中，可以提高當(dāng)前觀測值所占的權(quán)重，即增大衰減因子。

根據(jù)S值所對應(yīng)的性質(zhì)描述，可以建立一個針對AMCKF算法衰減因子可行的自適應(yīng)方法

Qk-1

(25)

(26)

這樣確保了當(dāng)由于模型失配引起的估計誤差增大時，衰減因子β可以自適應(yīng)地增大，提高對觀測值的信任度，使得濾波器有更好的穩(wěn)定性；在實際誤差較小的時候，β自動置為1，變成標準容積卡爾曼濾波，保證了估計精度。

3仿真分析

參考已公布的有關(guān)臨近空間飛行器的一些資料[14-15]，近似地模擬其運動特性和實際環(huán)境參數(shù)，擬合出飛行軌跡，如圖1所示。使用該飛行軌跡進行仿真分析，初始參數(shù)如下：水平方向的初始位置為10 000 m，初始速度為1 000 m/s；縱軸方向的初始位置為10 000 m，初始速度為0 m/s。

圖1　臨近空間目標擬合軌跡圖

仿真分別將標準CKF算法和自適應(yīng)AMCKF算法進行對比，并將無自適應(yīng)AMCKF和加入自適應(yīng)過程的算法進行對比。系統(tǒng)模型均采用勻加速運動模型，即CA模型

(27)

狀態(tài)噪聲的協(xié)方差矩陣為

(28)

式中：T為采樣時間間隔；q為加速度方差。

觀測模型如下

(29)

式中：xk和yk分別為目標的水平距離和縱向高度；vr和vt分別為觀測數(shù)據(jù)的徑向距離誤差和方位角誤差。

本文在仿真中設(shè)置T為1 s，q取值為100；使用的觀測噪聲設(shè)置徑向距離標準差為92.5 m，方位角標準差為0.022 4°[16]。

標準CKF算法與自適應(yīng)AMCKF算法的跟蹤軌跡對比如圖2所示，衰減因子的自適應(yīng)變化過程見圖3。

圖2　跟蹤軌跡比較圖

圖3　衰減因子變化圖

由于使用的系統(tǒng)模型為CA模型，而擬合出的目標飛行軌跡比較復(fù)雜，使用標準CKF濾波算法的跟蹤效果并不理想。從圖2中可知，CKF跟蹤軌跡在目標轉(zhuǎn)彎突變時發(fā)生了較大的偏離，自適應(yīng)AMCKF算法的跟蹤精度更好。圖3中衰減因子變化驗證了該自適應(yīng)濾波算法在實際運用中的可行性，β值隨著模型誤差的變化可以達到實時辨識的效果。

為了定量地分析跟蹤誤差，進行100次蒙特卡洛仿真得到的均方根誤差(RMSE)曲線如圖4所示。

圖4　位置RMSE曲線圖

從圖4中的RMSE曲線可以看出：AMCKF算法的跟蹤效果明顯好于標準CKF算法。在時刻100 s附近，標準CKF算法的跟蹤誤差非常大，這時系統(tǒng)模型嚴重偏離了目標的運動方式，對比圖3中的衰減因子，β值在此時刻變化也很劇烈，取值較大，對觀測數(shù)據(jù)給予了更大的權(quán)重，很好地彌補了濾波模型造成的誤差。

對比AMCKF算法加入自適應(yīng)與無自適應(yīng)過程的跟蹤效果，無自適應(yīng)AMCKF算法的衰減因子β取值為1.5。對其進行100次蒙特卡洛仿真得到的均方根誤差曲線如圖5所示。

圖5　位置RMSE曲線圖

分析圖5，結(jié)果與圖4類似，帶有自適應(yīng)的AMCKF算法跟蹤誤差較小，無自適應(yīng)的算法因為無法確定目標運動過程中的各種突發(fā)情況，導(dǎo)致無法選定一個較合適的衰減因子，自適應(yīng)算法有效避免了該問題。

4結(jié)束語

本文簡單地描述了面對臨近空間目標復(fù)雜運動特性的濾波模型失配問題，為了解決此問題，提出了一種可行的自適應(yīng)衰減記憶容積卡爾曼濾波算法。在CKF算法中加入衰減因子的作用與文獻[13]在強跟蹤濾波器中所提到的漸消因子作用相似，當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)噪聲的參數(shù)變化較大時，也能讓濾波器得到比較精確的狀態(tài)估計值，屬于強跟蹤濾波器的一種。但本文算法從預(yù)測誤差與實際估計誤差的角度說明了衰減因子取值的可行方法，避免了非線性強跟蹤理論雅可比矩陣的計算及由于一階線性化帶來的偏差問題。對該算法做出蒙特卡洛仿真分析，仿真結(jié)果說明了該算法的穩(wěn)定性及魯棒性，是一種改善臨近空間目標跟蹤效果的有效手段。

參 考 文 獻

[1]BRINK C. X-51A flight test status update[C]//IEEE Proceedings of the 43rd Annual International Symposium of the Society of Flight Test Engineers. [S.l.]: IEEE Press, 2012: 406-423.

[2]何友, 修建娟, 關(guān)欣, 等. 雷達數(shù)據(jù)處理及應(yīng)用[M]. 3版. 北京：電子工業(yè)出版社, 2013.

HE You, XIU Jianjuan, GUAN Xin, et al. Radar data processing with applications[M]. 3rd ed. Beijing: Publishing House of Electronics Industry, 2013.

[3]LI X R, JILKOV V P. Survey of maneuvering target tracking. Part I: dynamic models[J]. IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems, 2003, 39(4): 1333-1364.

[4]王國宏, 李俊杰, 張翔宇, 等. 臨近空間高超聲速滑躍式機動目標的跟蹤模型[J]. 航空學(xué)報, 2014, 35(6): 1611-1622.

WANG Guohong, LI Junjie, ZHANG Xiangyu, et al. A tracking model for the near space hypersonic slippage leap maneuvering target[J]. Acta Aeronautica et Astronautica Sinica, 2014, 35(6): 1611-1622.

[5]ARASARATNAM I, HAYKIN S. Cubature Kalman filters[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2009, 54(6): 1254-1269.

[6]JULIER S, UHLMANN J, DURRANT-WHYTE H F. A new method for the nonlinear transformation of means and covariances in filters and estimators[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 2000, 45(3): 477-482.

[8]占榮輝, 張軍. 非線性濾波理論與目標跟蹤應(yīng)用[M]. 北京：國防工業(yè)出版社, 2013.

ZHAN Ronghui, ZHANG Jun. Nonlinear filtering theory with target tracking application[M]. Beijing: National Defense Industry Press, 2013.

[9]王小旭, 潘泉, 黃鶴, 等. 非線性系統(tǒng)確定采樣型濾波算法綜述[J]. 控制與決策, 2012, 27(6): 801-812.

WANG Xiaoxu, PAN Quan, HUANG He, et al. Overview of deterministic sampling filtering algorithms for nonlinear system[J]. Control and Decision, 2012, 27(6): 801-812.

[10]孫楓, 唐李軍. Cubature卡爾曼濾波與Unscented卡爾曼濾波估計精度比較[J]. 控制與決策, 2013, 28(2): 303-308.

SUN Feng, TANG Lijun. Estimation precision comparison of cubature Kalman filter and unscented Kalman filter[J]. Control and Decision, 2013, 28(2): 303-308.

[11]ARASARATNAM I, HAYKIN S, HURD T R. Cubature Kalman filtering for continuous-discrete systems: theory and simulations[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2010, 58(10): 4977-4993.

[12]SIMON D. Optimal state estimation Kalman, H∞, and nonlinear approaches[M]. New Jersey: John Wiley&Sons, 2006.

[13]周東華, 席裕庚, 張鐘俊. 非線性系統(tǒng)帶次優(yōu)漸消因子的擴展卡爾曼濾波[J]. 控制與決策, 1990, 5(5): 1-6.

ZHOU Donghua, XI Yugeng, ZHANG Zhongjun. Suboptimal fading extended Kalman filtering for nonlinear systems[J]. Control and Decision, 1990, 5(5): 1-6.

[14]CANDLER G, JOHNSON H, ALBA C, et al. Analysis of modal growth on the leeward center plane of the X-51 vehicle[R]. Minnesota: University of Minnesota, 2009.

[15]MARKIN E. Scatter pattern calculations and determination performance limitations of existing air defense systems for intercepting hypersonic vehicles[C]// 2012 IEEE Radar Conference. Atlanta, GA: IEEE Press, 2012: 0481-0486.

[16]寧夏, 葉春茂, 楊健, 等. 容積卡爾曼濾波在空間目標軌道確定中的應(yīng)用[J]. 電波科學(xué)學(xué)報, 2014, 29(1): 26-34.NING Xia, YE Chunmao, YANG Jian, et al. Cubature Kalman filtering for orbit determination of space targets[J]. Chinese Journal of Radio Science, 2014, 29(1): 26-34.

聶曉華男，1969年生，博士，副教授。研究方向為狀態(tài)估計理論、電力電子等。

張夫鳴男，1993年生，碩士研究生。研究方向為最優(yōu)狀態(tài)估計與目標跟蹤技術(shù)。

Adaptive AMCKF Algorithm for Near Space Target Tracking

NIE Xiaohua，ZHANG Fuming

(Information Engineering College, Nanchang University,Nanchang 330031, China)

Abstract：Near space vehicle has complex maneuvering and multi-phased trajectory characteristics. In the process of target tracking, lower tracking accuracy or filtering divergence problem is prone to happen due to the large model error. For this problem, added attenuation factor is introduced into the cubature Kalman filter to compensate the model error by attenuating memory method. Also a real-time identification method for cubature Kalman filter attenuation factor is proposed to achieve adaptive tracking purpose. The simulation results show that attenuation memory cubature Kalman filter can solve the model mismatch problem, adaptive algorithm will assign attenuation factor in real-time to avoid difficult issues for ranging attenuation factor so as to get a better tracking performance.

Key words：near space; cubature Kalman filter; attenuation memory; adaptive algorithm

DOI：10.16592/ j.cnki.1004-7859.2016.05.012

通信作者：張夫鳴Email：zfmdata@163.com

收稿日期：2016-01-13

修訂日期：2016-03-17

中圖分類號：TN957.52

文獻標志碼：A

文章編號：1004-7859(2016)05-0049-05