多項(xiàng)選擇題數(shù)據(jù)的非參數(shù)統(tǒng)計(jì)方法探究

程曦

在統(tǒng)計(jì)研究中的各類問卷調(diào)查中，多項(xiàng)選擇題的應(yīng)用十分普遍。多項(xiàng)選擇題有較多備選項(xiàng)，可以同時(shí)選擇多個(gè)選項(xiàng)，其復(fù)雜度也強(qiáng)于一般分類數(shù)據(jù)。因此，本文運(yùn)用本學(xué)期所學(xué)的非參數(shù)統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)知識(shí)，針對各選項(xiàng)的顯著性，嘗試運(yùn)用多種方法對該類數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn)與分析，也對各類方法的效果進(jìn)行分析和比較。

在記錄多選題調(diào)查結(jié)果時(shí)，為了便于定量分析，采用多重二分法（Multiple Dichotomy Method）的編碼方法，即將多項(xiàng)選擇題的每一個(gè)選項(xiàng)視為一個(gè)“處理”，每一份問卷看作一個(gè)“區(qū)組”，并用“0”表示沒有被選中、“1”表示被選中。這樣，多項(xiàng)選擇題的數(shù)據(jù)可以表示為二元完全區(qū)組數(shù)據(jù)。

一、問題的提出

本文的例證數(shù)據(jù)采用以下多選題的調(diào)查數(shù)據(jù)：請問您日常飲用下列哪種水？（多選）A 自來水，B井水，C 家用凈水器處理后的水，D 桶裝水或瓶裝水。

選取調(diào)查結(jié)果中的25份問卷，其調(diào)查結(jié)果以多重二分法編碼如下：

二、關(guān)于隨機(jī)性的游程檢驗(yàn)

（一）模型建立

游程檢驗(yàn)是用于檢驗(yàn)取值“1”概率為p的Bernoulli試驗(yàn)中的“1”和“0”是否隨機(jī)出現(xiàn)的方法。其原理是，將連在一起的“0”或“1”作為一個(gè)游程，當(dāng)已知出現(xiàn)了多少個(gè)“1”和“0”時(shí)，游程個(gè)數(shù)R服從固定的分布。

其假設(shè)為：H0：有隨機(jī)性;H1：無隨機(jī)性（有聚類傾向）

統(tǒng)計(jì)量及其分布為：R=游程數(shù)～Y（m ，n）

其中m為“0”的個(gè)數(shù)，n為“1”的個(gè)數(shù)，Y代表游程分布。

其具體計(jì)算是通過累加概率求得P值：

（二）模型求解

編寫R程序?qū)崿F(xiàn)這一檢驗(yàn)方法，得到4個(gè)選項(xiàng)檢驗(yàn)的p值分別為：（α=0.05）

可見，均不能拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為源數(shù)據(jù)的隨機(jī)性良好，符合問卷調(diào)查的隨機(jī)抽樣原則。也就是說，這部分問卷在填寫時(shí)并沒有出現(xiàn)較為嚴(yán)重的相互抄襲或人為編造等影響問卷質(zhì)量的現(xiàn)象，因此，該數(shù)據(jù)適合進(jìn)行進(jìn)一步分析。

三、關(guān)于單對選項(xiàng)差異的McNemar檢驗(yàn)

（一）模型建立

McNemar檢驗(yàn)是用于檢驗(yàn)配對二元取值數(shù)據(jù)中取“1”的比例是否相等的檢驗(yàn)方法，對于本例，則是選擇某選項(xiàng)的比例，該方法首先將數(shù)據(jù)寫成列聯(lián)表形式：

分別為處理1和處理2的取“1”的比例，則檢驗(yàn)的假設(shè)為：

統(tǒng)計(jì)量和近似分布為：

其p值即是統(tǒng)計(jì)量在分布中的雙邊概率值。

（二）模型求解

編寫R程序?qū)崿F(xiàn)這一檢驗(yàn)方法，得到AD、DC、CB三對檢驗(yàn)的p值分別為：（α=0.05）

可見，A>D>C>B中的A>D，D>C，C>B這三個(gè)關(guān)系都不是顯著的。也就是說，目前沒有足夠的理由認(rèn)為飲用“自來水”的人數(shù)多于“桶裝水或瓶裝水”，飲用“桶裝水或瓶裝水”的人數(shù)多于“家用凈水器處理后的水”，飲用“家用凈水器處理后的水”的人數(shù)多于“井水”。

那么，如果跨步檢驗(yàn)，即A>C，D>B，甚至直接檢驗(yàn)A>B，大于關(guān)系是否顯著呢？檢驗(yàn)結(jié)果為：

可見，結(jié)果發(fā)生了巨大變化，全部都非常顯著。

四、關(guān)于全部選項(xiàng)差異的Cochran檢驗(yàn)

（一）模型建立

Cochran檢驗(yàn)是對二元響應(yīng)的完全區(qū)組數(shù)據(jù)中不同處理的位置參數(shù)是否相同的檢驗(yàn)。位置參數(shù)表征四個(gè)選項(xiàng)在受訪者眼中的排序。假設(shè)為第i個(gè)選項(xiàng)的位置參數(shù)，則檢驗(yàn)的假設(shè)為：不全相等

統(tǒng)計(jì)量及其分布為：

其中，b為區(qū)組數(shù)，即問卷數(shù);k為處理數(shù)，即選項(xiàng)數(shù);Ni為第i個(gè)選項(xiàng)1出現(xiàn)的個(gè)數(shù);Lj為第j個(gè)問卷中選1的個(gè)數(shù);N為1出現(xiàn)的總個(gè)數(shù)。

（二）模型求解

編寫R程序?qū)崿F(xiàn)這一檢驗(yàn)方法，得到檢驗(yàn)的p值為：

可見，顯著性是非常強(qiáng)的。也就是說，對于“自來水”“井水”“家用凈水器處理后的水”“桶裝水或瓶裝水”這幾種飲用水方式，人們對其選擇的比例差異是非常大的。這也說明，該問卷中該多項(xiàng)選擇題的設(shè)置是十分有意義的，收回問卷后得到的數(shù)據(jù)也是十分有比較價(jià)值的。

五、結(jié)論

通過各個(gè)模型的建立、實(shí)際問題的求解，以及對二元數(shù)據(jù)的新的處理方法的效果討論，可以從實(shí)際問題和研究方法兩方面得出結(jié)論。

對于本文所示的多項(xiàng)選擇題來說，其調(diào)查所得數(shù)據(jù)的隨機(jī)性是良好的;在4個(gè)選項(xiàng)之間的兩兩大小關(guān)系的比較中，只有3個(gè)跨步大小關(guān)系是顯著的，因此A>D>C>B不是顯著成立的，只能確信A>C，D>B，A>B這三種關(guān)系。作為多選題整體來看，該題的整體選項(xiàng)差異是顯著的，因此用本例來進(jìn)行調(diào)查是有意義的。

對于研究方法來說，游程檢驗(yàn)?zāi)軌蚝芎玫嘏袛嗾{(diào)查問卷所得數(shù)據(jù)是否具有隨機(jī)性，即是否是完全隨機(jī)抽樣;McNemar檢驗(yàn)?zāi)軌蚝芎玫乇容^兩個(gè)選項(xiàng)的差異性，即選一種選項(xiàng)的人數(shù)是否顯著大于另一種;Cochran檢驗(yàn)?zāi)軌蚝芎玫嘏袛喽噙x題整體的各個(gè)選項(xiàng)是否具有差異性，即從整體判斷多選題調(diào)查的效果;而加入隨機(jī)變量后的Friedman檢驗(yàn)方法也在本例中達(dá)到了比較好的效果，能夠以較高的準(zhǔn)確率判斷多選題整體差異性是否顯著。

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