有趣的概率小故事

郭苗

概率知識(shí)貼近生活，生動(dòng)有趣，老師在講這方面的知識(shí)時(shí)，要求我們每天輪流講一個(gè)概率小故事，通過(guò)這些小故事，我們對(duì)這部分知識(shí)的學(xué)習(xí)特別感興趣?，F(xiàn)在我將其中比較有趣的故事收集了下來(lái)，和大家一起分享。

一、概率起源的故事

古代，法國(guó)有兩個(gè)大數(shù)學(xué)家，一個(gè)叫做巴斯卡爾，一個(gè)叫做費(fèi)馬。巴斯卡爾認(rèn)識(shí)兩個(gè)賭徒，這兩個(gè)賭徒向他提出了一個(gè)問(wèn)題。他們說(shuō)，他倆下賭金之后，約定誰(shuí)先贏滿5局，誰(shuí)就獲得全部賭金。賭了半天，A贏了4局，B贏了3局，時(shí)間很晚了，他們都不想再賭下去了。那么，這個(gè)錢應(yīng)該怎么分？是不是把錢分成7份，贏了4局的就拿4份，贏了3局的就拿3份呢？或者，因?yàn)樽钤缯f(shuō)的是滿5局，而誰(shuí)也沒(méi)達(dá)到，所以就一人分一半呢？這兩種分法都不對(duì)。正確的答案是：贏了4局的拿這個(gè)錢的3/4，贏了3局的拿這個(gè)錢的1/4。為什么呢？假定他們倆再賭一局，或者A贏，或者B贏。若是A贏滿了5局，錢應(yīng)該全歸他；A如果輸了，即A、B各贏4局，這個(gè)錢應(yīng)該對(duì)半分?，F(xiàn)在，A贏、輸?shù)目赡苄远际?/2，所以，他拿的錢應(yīng)該是1/2×1+1/2×1/2=3/4，當(dāng)然，B就應(yīng)該得1/4。

通過(guò)這次討論，開(kāi)始形成了概率論當(dāng)中一個(gè)重要的概念—————數(shù)學(xué)期望。

在上述問(wèn)題中，數(shù)學(xué)期望是一個(gè)平均值，就是對(duì)將來(lái)不確定的錢今天應(yīng)該怎么算，這就要用A贏輸?shù)母怕?/2去乘上他可能得到的錢，再把它們加起來(lái)。

概率論從此就發(fā)展起來(lái)，今天已經(jīng)成為應(yīng)用非常廣泛的一門學(xué)科?！?/p>

二、《歧路亡羊》的故事

楊子之鄰人亡羊，既率其黨，又請(qǐng)楊子之豎追之。楊子曰：“嘻！亡一羊，何追者之眾？”鄰人曰：“多歧路?！奔确?，問(wèn)：“獲羊乎？”曰：“亡之矣”曰：“奚亡之？”曰；“歧路之中又有歧焉，吾不知所之，所以反也。”

下面我們就來(lái)研究一下楊子的鄰人，找到丟失的羊的可能性有多大。假定所有的分叉口都各有兩條新的歧路。這樣，每次分歧的總歧路數(shù)分別為21，22，23，24，…，到第n次分歧時(shí)，共有2n條歧路。因?yàn)閬G失的羊走到每條歧路去的可能性都是相等的，所以當(dāng)羊走過(guò)n個(gè)三叉路口后，一個(gè)人在某條歧路上 例如，當(dāng)n=5時(shí)，即使楊子的鄰人動(dòng)員了6個(gè)人去找羊，找到羊的可能性也只有還不及五分之一。可見(jiàn)，鄰人空手而返，是很自然的事了！

三、數(shù)學(xué)家很厲害的故事

在第二次世界大戰(zhàn)中，盟軍為了和德國(guó)法本斯作戰(zhàn)，大量軍需物品要穿過(guò)大西洋運(yùn)送到各個(gè)戰(zhàn)場(chǎng)?？墒窃?934年以前，負(fù)責(zé)運(yùn)送物資的英美船隊(duì)常常受到德國(guó)潛艇的襲擊，損失慘重。當(dāng)時(shí)英美兩國(guó)限于實(shí)力，無(wú)力增派更多的護(hù)航艦，一時(shí)間德軍的“潛艇戰(zhàn)搞得盟軍焦頭爛額，海上運(yùn)輸成了令人頭疼的問(wèn)題。

在這進(jìn)退兩難之際，有位美國(guó)海軍將領(lǐng)專門去請(qǐng)教了幾位數(shù)學(xué)家。數(shù)學(xué)家運(yùn)用概率論分析后發(fā)現(xiàn)，運(yùn)輸艦隊(duì)與敵軍潛艇相遇是一個(gè)隨機(jī)事件，即船隊(duì)是否被襲擊，取決于航行過(guò)程中是否與敵潛艇相遇，而與敵潛艇是有可能發(fā)生，又有可能不發(fā)生的。從數(shù)學(xué)角度來(lái)看這一問(wèn)題，它具有一定的規(guī)律。

1、一定數(shù)量的船只，編隊(duì)規(guī)模越小，批次就越多；批次越多，與敵潛艇相遇的概率就越大。比如，5位同學(xué)放學(xué)后各自回到自己的家里，老師要找一位同學(xué)，隨便去哪一位同學(xué)家都行。但若這5位同學(xué)都集中在其中某一位同學(xué)家里，老師可能要找?guī)准也拍苷业剿麄?，一次找到的可能性只有五分之一，?0%。

2、一旦與敵潛艇相遇，船隊(duì)的規(guī)模越小，每艘船被擊中的可能性就越大。 這是因?yàn)榈萝姖撏У臄?shù)量與船隊(duì)的數(shù)量相比總是少的，潛艇所載彈藥有限，每次襲擊，不論船隊(duì)規(guī)模多大，被擊沉的數(shù)目基本相等。假如運(yùn)輸船的總量為100艘，按每隊(duì)20艘船編隊(duì)，就要編成5隊(duì)；而按每隊(duì)10艘船編隊(duì)，就要編成10隊(duì)。兩種編隊(duì)方式與敵潛艇相遇的可能性之比為5：10，即1：2。假設(shè)每次遭到敵潛艇襲擊損失5艘運(yùn)輸船，那么，上述兩種編隊(duì)方式中每艘船被擊中的可能性之比為5/20 ：5/10=1：2。兩者結(jié)合起來(lái)看，兩種編隊(duì)方式中每艘運(yùn)輸船與敵潛艇相遇并被擊沉的可能性之比為1：4。這說(shuō)明，100艘運(yùn)輸船，編成5隊(duì)比編成10隊(duì)的危險(xiǎn)性小。

美國(guó)海軍接受了數(shù)學(xué)家的建議，改進(jìn)了運(yùn)輸船由各個(gè)港口分散啟航的做法，命令船隊(duì)在指定海域集合，再集體通過(guò)危險(xiǎn)海區(qū)，然后各自駛向預(yù)定港口。奇跡出現(xiàn)了，盟軍船隊(duì)遭襲擊被擊沉的概率由原來(lái)的25%降低為1%，大大減少了損失，保證了戰(zhàn)略物資的供應(yīng)。于是，美國(guó)軍方宣稱：一名優(yōu)秀數(shù)學(xué)家的作用，超過(guò)十個(gè)師的兵力！

同學(xué)們，這些概率小故事是不是特別的有趣呢，通過(guò)這些故事我們知道了學(xué)好概率、學(xué)好數(shù)學(xué)特別的有價(jià)值，希望我們一起學(xué)好數(shù)學(xué)，將來(lái)用我們的所學(xué)展示更多數(shù)學(xué)的價(jià)值。

（指導(dǎo)老師 ：顧長(zhǎng)亮）