頻率和概率的區(qū)別與聯(lián)系

吳秋芳

小學(xué)里同學(xué)們就已經(jīng)了解了有關(guān)事件發(fā)生的等可能性、游戲規(guī)則的公平性，并能進(jìn)行簡單事件發(fā)生的可能性的計(jì)算；到初中以后，開始系統(tǒng)學(xué)習(xí)概率，初步了解頻率與概率的關(guān)系，所以概率知識對同學(xué)們來說并不陌生。但一部分同學(xué)認(rèn)為隨機(jī)事件都是等可能事件，并且只學(xué)會了用列舉法求隨機(jī)事件的概率，機(jī)械地運(yùn)用公式，即使有時能用隨機(jī)事件發(fā)生的頻率估算概率，但是對于頻率和概率之間的關(guān)系卻不能形成正確認(rèn)識。

在自然界和人類社會中，嚴(yán)格意義上的確定性現(xiàn)象是非常有限的，相反，不確定現(xiàn)象（又稱隨機(jī)現(xiàn)象）卻大量存在，而概率正是這種隨機(jī)現(xiàn)象的數(shù)學(xué)描述。概率，又稱機(jī)會率、機(jī)率或可能性，是數(shù)學(xué)概率論的基本概念，是一個在0到1之間的實(shí)數(shù)，是對隨機(jī)事件發(fā)生可能性的度量。表示一個事件可能性大小的數(shù)，就叫做該事件的概率。人們常說某人有百分之多少的把握通過這次考試、某件事發(fā)生可能性是多少，這都是概率的實(shí)例。但如果一件事情發(fā)生的概率是1/n，不是指n次事件里必有一次發(fā)生該事件，而是說此事件發(fā)生的頻率接近于1/n這個數(shù)值。頻率，是指在相同的條件下進(jìn)行了n次試驗(yàn)，在這n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)n（A）稱為事件A發(fā)生的頻數(shù)，比值n（A）/n稱為事件A的頻率，并記為fn（A），用文字表示定義為：每個對象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值就是頻率。其實(shí)頻率實(shí)驗(yàn)中事件發(fā)生的具體比率。概率是個抽象的數(shù)學(xué)概念。簡單的說，概率是一般，頻率是特殊。

要想更好地掌握這兩個實(shí)用知識，必須知道它們之間的關(guān)系。

首先， 頻率和概率是相互聯(lián)系的。

某個試驗(yàn)如果只能進(jìn)行一次，在這樣的條件下得出的結(jié)果根本無隨機(jī)性可言。事實(shí)上，頻率穩(wěn)定于概率這個結(jié)論，是針對在相同的條件下，大量的重復(fù)試驗(yàn)而言的。如果在試驗(yàn)的次數(shù)不多的前提下，用頻率來估計(jì)概率是不太合適的. 例如，拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，如果我們只拋了20次，結(jié)果發(fā)現(xiàn)正面朝上有5次，就認(rèn)為正面朝上的概率大約為0.25，這樣的結(jié)論我們肯定不會接受的，誤差太大了。如果我們不斷試驗(yàn)就會得到不同的試驗(yàn)值，也會越來越接近于這個事件的理論值0.5（見表格）。所以頻率穩(wěn)定于概率是對大量的實(shí)驗(yàn)而言的。

在大量的重復(fù)的試驗(yàn)中，事件發(fā)生的頻率會穩(wěn)定地在概率附近擺動，因此我們在生活中也常常采用這種方法，求得隨機(jī)事件的頻率，來估計(jì)隨機(jī)事件發(fā)生的概率。

在多次重復(fù)試驗(yàn)中，一個事件發(fā)生的頻率越大，說明在一次試驗(yàn)中該事件發(fā)生的可能性也就越大， 反之就小。 同樣道理，事件的概率越大，在重復(fù)試驗(yàn)中，該事件的發(fā)生就比較頻繁，因此事件的頻率也較大。這就是說概率的現(xiàn)實(shí)意義是可以用頻率來解釋的，它能幫助人們做出合理的決策，但不可以替代。

其次，兩者還有本質(zhì)的區(qū)別。

頻率在試驗(yàn)之前是不能確定的，它隨著實(shí)驗(yàn)的次數(shù)變化而變化，即使兩次重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)相同，關(guān)注事件出現(xiàn)的次數(shù)也可能不同，結(jié)果（ 頻率） 也就可能不同.頻率是一個隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加可能發(fā)生變化的統(tǒng)計(jì)量.而概率是完全決定于事件的本身，先于試驗(yàn)而客觀存在的，它不會隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加而發(fā)生變化。 譬如，拋擲一枚正六面體骰子，出現(xiàn)同一數(shù)字向上的概率是1/6、，與做多少次試驗(yàn)無關(guān)。

有時某個事件發(fā)生的概率較大，按道理該事件發(fā)生的可能性也應(yīng)該較大，但是在多次試驗(yàn)中該事件有可能就不發(fā)生；反之概率小，但在一次或兩次試驗(yàn)中就有可能發(fā)生。 這正是事件的隨機(jī)性與概率的確定性的區(qū)別特征。如我們買體育彩票就是這樣，盡管中特等獎的概率很小，但是并不是不能中獎，或許買一張也會中大獎的。

事實(shí)告訴我們，概率是頻率在理論上的一種期望值，即使你重復(fù)試驗(yàn)也無法得到準(zhǔn)確值，它始終是個近似值。概率其實(shí)是頻率的科學(xué)抽象，如拋一枚正六面體骰子，在試驗(yàn)次數(shù)很大時，同一數(shù)字朝上，都會在常數(shù)1/6 附近擺動；再如拋擲一枚硬幣，不斷重復(fù)試驗(yàn)，正面朝上和反面朝上的比值會接近1：1……這個結(jié)果是不以人的意志為轉(zhuǎn)移的，但次數(shù)相當(dāng)多時，試驗(yàn)值會更接近理論值，這對于我們研究事件是會有幫助的。

不過有人認(rèn)為“試驗(yàn)次數(shù)越多，用頻率估計(jì)概率就會越準(zhǔn)確”，這樣的說法其實(shí)不夠嚴(yán)密。如果一個不透明口袋里有紅白兩個球，從中取出一個球后再放回，重復(fù)500次，或者1000次，按道理拿到白球的頻率應(yīng)該接近0.5，但事實(shí)上就有可能差距很大。所以說隨機(jī)現(xiàn)象有其偶然性，也有其必然性，這就是表現(xiàn)在大量試驗(yàn)中隨機(jī)事件出現(xiàn)頻率的穩(wěn)定性，一個隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻率常在某個固定的常數(shù)附近擺動（盡管在許多場合這個固定的常數(shù)很容易被確定），這種現(xiàn)象被稱為統(tǒng)計(jì)規(guī)律。

概率知識在日常生活和科學(xué)研究中有著廣泛的應(yīng)用，所以學(xué)習(xí)了概率，我們可以體會概率模型的作用以及運(yùn)用概率思考問題的特點(diǎn)，形成用隨機(jī)觀念觀察和分析問題的意識，從而解決一些簡單的實(shí)際問題。