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    厘清“分配”,建構(gòu)乘法分配律

    2015-07-31 19:43:13張范輝
    關(guān)鍵詞:分配律隊(duì)形算式

    張范輝

    前段時(shí)間,尤其是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)教學(xué)進(jìn)度要推進(jìn)到“乘法分配律”那幾天,教研組里的各位老師已把乘法分配律作為一個(gè)話題在討論了。有過(guò)循環(huán)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的嚴(yán)老師提醒,“乘法分配律”是易錯(cuò)內(nèi)容,但又很重要,試卷命題則往往將此作為常設(shè)內(nèi)容。孩子在中學(xué)的王老師補(bǔ)充道,乘法分配律是孩子到七年級(jí)學(xué)習(xí)合并同類項(xiàng)內(nèi)容的基礎(chǔ)。年輕的黃老師則提出,咱們開展一次計(jì)算比賽,讓學(xué)生通過(guò)計(jì)算比賽這樣的形式來(lái)感悟到乘法分配律的優(yōu)越性……言談之中,老師們的話語(yǔ)昭示了乘法分配律這一素材在數(shù)與代數(shù)以及數(shù)的運(yùn)算中的重要性,同時(shí)也感受到學(xué)生對(duì)此的易錯(cuò)性。

    但組內(nèi)各位老師在這樣日常性討論的過(guò)程中卻沒有就此素材進(jìn)行知識(shí)本身方面的挖掘,討論的環(huán)節(jié)給我的感覺就是乘法分配律是一項(xiàng)很重要又很易錯(cuò)的內(nèi)容,但對(duì)教師而言,這個(gè)素材的理解與認(rèn)識(shí)已是不成問(wèn)題,沒有必要再在備課、思考上下多少工夫,做好適當(dāng)?shù)乃夭臏?zhǔn)備或者課件準(zhǔn)備工作,就可以進(jìn)入班級(jí)執(zhí)教了。我認(rèn)為這樣較為淺表化的討論無(wú)助于老師們深入認(rèn)識(shí)乘法分配律這一獨(dú)立于乘法交換律、乘法結(jié)合律之外的重要素材。這樣的討論雖能引起老師們主觀上的重視,但對(duì)于教學(xué)乘法分配律這個(gè)富有營(yíng)養(yǎng)價(jià)值的數(shù)學(xué)美食有可能無(wú)法起到推進(jìn)作用。鑒于此,我在思考這節(jié)課時(shí)向組內(nèi)的老師們提出這樣一個(gè)問(wèn)題:如何理解乘法分配律中“分配”一詞?話題一出,各位老師又開始七嘴八舌起來(lái)。平日里話語(yǔ)不太多的胡老師先提出,“分配”應(yīng)該這樣來(lái)理解,即把括號(hào)外的因數(shù)分別分配給括號(hào)中的另外兩個(gè)數(shù),比如(5+8)×9,就是把9分別分配給5與8,得到5×9+8×9。話音未落,顧老師即刻反對(duì),不能這么認(rèn)為,這里的9就是一個(gè)因數(shù),怎么能夠說(shuō)成分別分配?應(yīng)該說(shuō)成把加數(shù)5與8分配給因數(shù)9,得到5×9+8×9;陳老師則認(rèn)為,分配的要義是搭配,即5×9+8×9就是共有9個(gè)5共有9個(gè)8,然后1個(gè)5搭配1個(gè)8得到1個(gè)13,共能搭配9個(gè)13……辦公室里熱鬧一片。

    是夜,獨(dú)坐書房,我繼續(xù)回味白天的話題:乘法分配律中的“分配”難道就像老師們?cè)谵k公室里所討論的那樣,只從其字面意義理解成把算式中的一個(gè)數(shù)或幾個(gè)數(shù)按規(guī)則分配來(lái)去?或者分配也可以理解成像陳老師所說(shuō)的那樣的搭配,那么既然內(nèi)涵是搭配,那為何其名稱不是乘法搭配律?難道這個(gè)精煉的詞語(yǔ)所凝練出的定律名稱不存有其他更為豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)在意義?難道乘法分配律中的“分配”只能作為一詞理解就不能分而理解成“分”與“配”兩個(gè)不同之義?如果分開理解,那么何謂“分”、又何謂“配”?乘法分配律這個(gè)名稱如何對(duì)應(yīng)解釋a×c+b×c=(a+b)×c這條字母表達(dá)式?

    由于對(duì)“分配”這個(gè)詞存有困惑,因此我決定從詞典入手,看看平日里所熟悉的“分配”一詞到底是什么意義。于百度詞典中輸入“分配”一詞,檢索出如下三種意義:①按一定的標(biāo)準(zhǔn)或規(guī)定分(東西);②安排、分派;③經(jīng)濟(jì)學(xué)上指把生產(chǎn)資料分給生產(chǎn)單位或把消費(fèi)資料分給消費(fèi)者。這樣的三種意義更多的是解釋“分配”一詞在日常生產(chǎn)生活與經(jīng)濟(jì)學(xué)上的用途與安排,因此不能讓我釋然,無(wú)法從中獲得數(shù)學(xué)的啟示。轉(zhuǎn)而目光下移,百度詞典又將分配一詞作分字理解。分:分區(qū)劃開,分開,劃分,分解。配:兩性結(jié)合、配合,用適當(dāng)?shù)臉?biāo)準(zhǔn)加以調(diào)和。

    至此,我眼前一亮。這與我此前獨(dú)自思考時(shí)把分配不作為一個(gè)完整的詞而是分而理解為“分”與“配”有些吻合,再重讀品味——“分”意味著分開,“配”意味著結(jié)合,心中已然有了感悟。隨即翻閱教材,參閱教師用書,慢慢地,就有了今天乘法分配律的備課思路:

    如果有兩個(gè)同樣行數(shù)的長(zhǎng)方形團(tuán)體操隊(duì)形,通過(guò)乘法運(yùn)算,可以采用分開計(jì)算的辦法求出各個(gè)隊(duì)形的人數(shù),從而得出總?cè)藬?shù),也可以將兩個(gè)隊(duì)形合并為一個(gè)完整的隊(duì)形,從而直接算出總?cè)藬?shù);如果有兩個(gè)同寬的長(zhǎng)方形,可以通過(guò)分開計(jì)算的辦法求出各自的面積,從而得出總面積,也可以將這兩個(gè)長(zhǎng)方形合并為一個(gè)完整的長(zhǎng)方形,從而直接算出總面積;如果有幾套共同的上裝和褲子,可以通過(guò)分開計(jì)算的辦法分別求出幾件上裝的價(jià)錢與幾條褲子的價(jià)錢,從而得出總價(jià)錢,也可以將一件上裝和一條褲子合并為一套衣服,求出一套衣服的價(jià)錢后再求出總價(jià)錢……而在這過(guò)程中,通過(guò)分開計(jì)算部分量再算總量的方法即是“分”,通過(guò)合并為一個(gè)整體計(jì)算總量的方法即是“配”,而“分”與“配”之間的關(guān)聯(lián)即是長(zhǎng)方形隊(duì)形上相同的行數(shù),是兩個(gè)長(zhǎng)方形上相同的寬,即是上裝與褲子相同的件數(shù)……如此,字母表達(dá)式中的“a×c+b×c”即應(yīng)該是乘法分配律“分”而求的方法,即是分開計(jì)算;“(a+b)×c”對(duì)應(yīng)著的“配”而求的方法,即是合并計(jì)算。而此前陳老師所認(rèn)為的搭配,其數(shù)學(xué)內(nèi)涵也是合并,即a×c+b×c中,c個(gè)a與c個(gè)b相加,其中1個(gè)a與1個(gè)b合并得到1個(gè)(a+b)。

    有了這樣的思考與解讀,即有了以下的教學(xué)組織實(shí)施。

    【課前談話】

    師:孩子們,今天咱們研究的課題是——

    生:乘法分配律。

    師:課題中的“乘法”同學(xué)們都很熟悉,“分”,大家認(rèn)為它的意思是?

    生1:平均分。

    生2:分離。

    師:是的,“分”的意思很簡(jiǎn)單,就是分開的意思。那么,“配”又是什么意思呢?

    生:我認(rèn)為和“分”正好相反,可以理解成合并的意思。

    師:張老師課前查閱了百度詞典,大家看。

    這個(gè)解釋能否給今天的研究帶來(lái)啟示呢?咱們一起來(lái)看學(xué)習(xí)素材。

    一、出示情景

    師:同學(xué)們看到了怎樣的信息?

    生:黃衣服同學(xué)隊(duì)形,每行13人,有8行。紅衣服同學(xué)隊(duì)形,每行11人,有8行。

    師:圍繞這樣的信息,誰(shuí)能提出相應(yīng)的問(wèn)題?

    生1:黃衣服同學(xué)隊(duì)形有多少人?紅衣服同學(xué)隊(duì)形有多少人?

    師:可以一句話概括成兩個(gè)隊(duì)形各有多少人?

    生2:兩個(gè)隊(duì)形一共有多少人?

    生3:黃衣服隊(duì)形比紅衣服隊(duì)形多多少人?

    師:好的。同學(xué)們都提出了很好的數(shù)學(xué)問(wèn)題,為了研究的方便,咱們確定解決這個(gè)問(wèn)題:出示:參加團(tuán)體操表演的學(xué)生一共有多少人?誰(shuí)有解決辦法?

    生:我的方法是:13×8+11×8。

    師(板書算式):哎,別急著坐,你能對(duì)照情境圖,說(shuō)說(shuō)算式是什么意思嗎?

    生:13×8求到的是黃衣服同學(xué)隊(duì)形的人數(shù),11×8求到的是紅衣服同學(xué)隊(duì)形的人數(shù),再加起來(lái)就求到團(tuán)體操隊(duì)形的總?cè)藬?shù)。

    師:好的。老師聽出來(lái)了,你是把主題圖中的兩個(gè)隊(duì)形分開思考求出人數(shù)后再求出總?cè)藬?shù)的。(板書:分)

    許多學(xué)生踴躍舉手。

    師:這么多孩子高高舉手,還有別的方法么?

    生:(13+11)×8。

    師(板書算式):哎,別急著坐,也來(lái)對(duì)照情境圖,說(shuō)說(shuō)算式是什么意思。

    生:13+11求出的一行總共有多少人,再乘8就求到總?cè)藬?shù)了。

    師:嗯?這兩個(gè)隊(duì)形不是分開著么?怎么想到“13+11”?

    生:我是把這兩個(gè)隊(duì)形結(jié)合起來(lái)了。

    師:那這兩個(gè)隊(duì)形能否順利地合并呢?(板書:合)

    生(齊):能!

    師:那為什么能順利地合起來(lái)?

    生:因?yàn)檫@兩個(gè)隊(duì)形的行數(shù)相等,所以能夠合并起來(lái)。

    師:在這里,正因?yàn)樾袛?shù)相等,所以我們可以說(shuō)兩個(gè)隊(duì)形能一行一行匹配,合并成一個(gè)完整的隊(duì)形。[板書:配(合)]

    師:那這兩個(gè)算式結(jié)果相等么?

    生(齊):相等。

    師:猜的。誰(shuí)有辦法來(lái)說(shuō)明或驗(yàn)證為什么相等?

    生1:因?yàn)榉珠_求與合并求,求出的都是團(tuán)體操的總?cè)藬?shù),所以結(jié)果是相等的。

    師:好的,你是結(jié)合主題圖,兩種方法求出的都是總?cè)藬?shù),所以相等。

    生2:我認(rèn)為看兩個(gè)算式是否相等,得要計(jì)算。

    師:嗯,好的,那同學(xué)們都可以來(lái)算一算。

    學(xué)生計(jì)算,得出結(jié)果相等。

    師:同學(xué)們通過(guò)計(jì)算來(lái)驗(yàn)證剛才的猜想,這方法很好。我們以前學(xué)習(xí)過(guò)乘法,知道乘法的意義,還有誰(shuí)有自己的方法來(lái)說(shuō)明?

    生3:我認(rèn)為,13×8表示13個(gè)8,11×8表示11個(gè)8,13個(gè)8與11個(gè)8合起來(lái)就是24個(gè)8。而(13+11)×8也正好是24個(gè)8,所以兩個(gè)算式是相等的。

    (教室里響起了掌聲)

    師:非常好。你站在乘法的意義角度來(lái)證明了這兩個(gè)算式是相等的。(板書:乘法的意義)

    師:剛才,我們用分與配這兩種方法解決了這個(gè)問(wèn)題,咱們回頭看主題圖,分與配中什么是相同的?

    生:行數(shù)相同,總?cè)藬?shù)相同。

    師:那在計(jì)算時(shí)又有什么不同?

    生:一個(gè)算式有括號(hào),一個(gè)沒有括號(hào)。

    師:有沒有括號(hào)意味著什么?

    生:意味著運(yùn)算順序不同,沒有括號(hào)的要先算乘法,再算加法;有括號(hào)的應(yīng)該先算加法,再算乘法。

    二、深化認(rèn)識(shí)

    師:好,看來(lái)同學(xué)們對(duì)分與配這兩種方法有了一些感悟。在數(shù)學(xué)上,數(shù)與形是緊密聯(lián)系的。大家接著看屏幕。

    (課件出示):張老師用兩個(gè)長(zhǎng)方形來(lái)表示剛才的兩個(gè)隊(duì)形。誰(shuí)能根據(jù)這兩個(gè)算式給這兩個(gè)長(zhǎng)方形配上相關(guān)的數(shù)學(xué)信息?

    生:黃色長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是13厘米,寬是8厘米;紅色長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是11厘米,寬是8厘米。

    師:你的思維敏捷,信息補(bǔ)充得很不錯(cuò)。但考慮到這兩個(gè)長(zhǎng)方形表示的是團(tuán)體操隊(duì)形,張老師把單位改成“米”。(課件出示)根據(jù)信息,你想到的問(wèn)題是……?

    生1:這兩個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)一共是多少米?

    生2:我不同意,應(yīng)該求的是這兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積一共是多少平方米?

    師:同學(xué)們同意哪種觀點(diǎn)?

    生3:我同意求面積,因?yàn)樗闶角蟮降氖敲娣e。

    師:好的,那你來(lái)說(shuō)說(shuō)這兩個(gè)算式分別表示什么意思。

    生3:13×8求到的是黃色長(zhǎng)方形的面積,11×8求到的是紅色長(zhǎng)方形的面積,再加起來(lái)就求到兩個(gè)長(zhǎng)方形的總面積。

    師:可以繼續(xù)說(shuō)。

    生3:方法2中的13+11求到的是黃色長(zhǎng)方形和紅色長(zhǎng)方形的長(zhǎng)一共多少米,再乘8也就求到兩個(gè)長(zhǎng)方形的面積和。

    師:那看起來(lái),這兩個(gè)分開的長(zhǎng)方形也能夠配成一個(gè)圖形嘍?

    生(齊):能。

    師:為什么能夠配?

    生:因?yàn)樗鼈兊膶捠窍嗟鹊摹?/p>

    (課件演示,兩個(gè)長(zhǎng)方形拼成一個(gè)完整的長(zhǎng)方形)

    師:這兩個(gè)算式相等么?

    生(齊):相等。

    師:這會(huì)兒兩條算式表示的是兩個(gè)長(zhǎng)方形,怎么也相等???

    生:是相等的。用乘法的意義來(lái)理解,13×8表示13個(gè)8,11×8表示11個(gè)8,13個(gè)8與11個(gè)8合起來(lái)就是24個(gè)8。而(13+11)×8也正好是24個(gè)8,所以兩個(gè)算式是相等的。

    師:聽起來(lái)很順,但我有疑問(wèn)。剛才團(tuán)體操隊(duì)形,黃衣服同學(xué)隊(duì)形里有13個(gè)8,大家都很明白。但在這里,我就有些不懂:13×8求出的黃色長(zhǎng)方形的面積,這里,黃色長(zhǎng)方形不就是一個(gè)長(zhǎng)方形么,哪來(lái)的13個(gè)8?

    (生面面相覷)

    師:大家可以在小組里討論討論。

    慢慢的,有學(xué)生舉手。

    生:我覺得可以把長(zhǎng)方形橫著分割。(邊說(shuō)邊手勢(shì)比劃著)

    生2:我認(rèn)為還可以豎著分割。(也比劃手勢(shì))

    師:隨意分割嗎?

    生:不是的,是1米1米地分割。

    (出示課件)在大家的理解中是不是這個(gè)樣子?

    生(大聲):是的。

    師:那這里的1格表示的是?

    生:這里的1格是1平方米。

    師:我們把這1格叫做1個(gè)單位,這會(huì)兒大家理解13個(gè)8表示什么?

    生:13個(gè)8個(gè)單位。

    師:哎,好的。這會(huì)兒回過(guò)去看算式,你再來(lái)看乘法的意義,你們認(rèn)為算式相等么?

    生:兩個(gè)算式是相等的。

    師:大家觀察黑板上與屏幕上的這組算式。你們能照著樣子在本子上也來(lái)舉一道這樣的例子么?

    生1: 8×7+9×7=(8+9)×7

    生2: 15×4+17×4=(15+17)×4

    生3:12×5+18×5=(12+18)×5

    師:張老師覺得剛才的一位同學(xué)所舉的例子比較巧。你們覺得呢?

    生:我聽出來(lái)了,他中間12+18正好湊成整十?dāng)?shù),這樣算式就巧了。

    師:你認(rèn)為的巧是什么意思呢?

    生:就是計(jì)算簡(jiǎn)便了。

    師:就是啊。那這樣的例子寫得完么?那大家能不能用自己的話把這共同的規(guī)律寫出來(lái)?

    生1:a×c+b×c=(a+b)×c

    生2:甲×乙+丙×乙=(甲+丙)×乙

    生3:○×△+☆×△=(○+☆)×△

    師(分別板書學(xué)生的回答):同學(xué)們概括的非常好,在數(shù)學(xué)上,我們確定字母表達(dá)式。大家讀讀。而且,這個(gè)規(guī)律還有一個(gè)新的名稱。

    生(齊):乘法分配律。

    師:哎,大家怎么想到的?覺得為什么用這個(gè)詞?

    生1:因?yàn)檫@里的兩個(gè)算式,一種是分的方法,一種是配的方法。

    師:那為什么把它命名為乘法分配律而不是加法分配律呢?

    生2:我覺得這兩種方法能用乘法的意義說(shuō)明相等,而不是加法的意義。

    此次教學(xué)旨在提供簡(jiǎn)潔卻有趣的學(xué)習(xí)素材,通過(guò)深入挖掘,讓學(xué)生充分經(jīng)歷乘法分配律建模的過(guò)程,深入體悟乘法分配律的數(shù)學(xué)內(nèi)涵與知識(shí)本質(zhì),從而在學(xué)習(xí)乘法分配律這一素材的過(guò)程中,體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的智趣與理趣。

    數(shù)學(xué)課堂是兒童智慧生成與理性發(fā)展的主陣地,但面對(duì)兒童,教師如何立足與把握好課堂?或者簡(jiǎn)而言之,教師如何更好地拿著教材教數(shù)學(xué),如何面對(duì)兒童對(duì)于數(shù)學(xué)智慧理性的學(xué)習(xí)卻各有不同?我想,一名出色的有思想的數(shù)學(xué)教師理應(yīng)站在兒童成長(zhǎng)的角度來(lái)反復(fù)考量數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在理性本質(zhì),通過(guò)深入的挖掘與叩問(wèn)來(lái)呈現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的特有理性價(jià)值與獨(dú)特內(nèi)在文化,從而達(dá)成兒童優(yōu)秀數(shù)學(xué)素養(yǎng)的形成。而這,也正是筆者所倡導(dǎo)的“智理”數(shù)學(xué)課堂的內(nèi)涵所在。

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