具有能量采集驅動的MIMO廣播信道和多址接入信道最優(yōu)傳輸方案

李文明

具有能量采集驅動的MIMO廣播信道和多址接入信道最優(yōu)傳輸方案

李文明

提出了一個新穎的方法來獲得具有能量采集驅動的節(jié)點的最優(yōu)傳輸方案，結合凸優(yōu)化理論探索了多輸入多輸出（MIMO：multi-input multi-output）廣播信道（BC：broadcasting channel）和MIMO多址接入信道（MAC：multi-access channel）網絡結構中最優(yōu)傳輸，設計了低復雜度的上下行對偶性嵌套優(yōu)化算法、阻塞協(xié)作迭代提升算法獲得信道傳輸中最大化的總吞吐量并研究所提出算法的實時、在線操作。其方案將對未來能量采集驅動的MIMO BC和MIMO MAC通信網絡的設計和優(yōu)化提供理論指導。

能量采集；廣播信道；多址接入信道；功率分配；凸優(yōu)化；迭代；高能效通信

0 引言

在新興的能量采集網絡中，帶有可采集能量裝置和可充電能量裝置的無線設備可以從外界環(huán)境中采集可再生能源（如太陽能、風能等）進行通信。由于這些再生資源在本質上是間歇性的，導致收集到的能量中可供使用的能量額不均勻地改變，例如，總長為10秒的傳輸時段內，能量2、3、7、8焦分別在時刻0、2、5、9秒被采集，如圖1所示：

圖1 能量因果性限制條件下的最優(yōu)通信策略

因此，在能量采集驅動模型中需要加入能量因果性限制條件（ECC：energy causality constraint）：使用的總能量不能超過目前所采集的總能量；傳統(tǒng)通信中的最優(yōu)策略因而無法實現(xiàn)。若進一步考慮存儲所采集能量的電池的有限容量的影響，探求EH驅動無線通信的最佳策略顯然將遇到許多新問題、新難點。

在這些新型限制條件下，文獻[1]-[5]研究了點對點、BC、MAC、中繼及干擾信道模型中 EH節(jié)點的最優(yōu)傳輸策略問題。其中，點對點鏈路中EH節(jié)點在靜態(tài)（時不變）及時變衰落信道中的最佳通信策略問題已進行了大部分的研究和探討。而對其它多點網絡模型的研究卻還僅局限于單天線[10][11]及時不變信道等簡單場景。另外，現(xiàn)有方法不具有良好的可擴展性，難以應用于多天線、多用戶、時變信道下的通用場景。

本文分別研究了MIMO BC和MIMO MAC系統(tǒng)吞吐量最大化的最優(yōu)（離線）傳輸策略。通過結合上下行對偶性并引入“嵌套凸優(yōu)化”方法，我們證明了本文的最優(yōu)MIMO BC調度問題能轉化為等效的“點對點”鏈路最優(yōu)功率分配的凸問題，再通過凸優(yōu)化理論得到MIMO BC系統(tǒng)中的原問題的最優(yōu)解。

與只有一個能量采集驅動發(fā)送端的點對點廣播通信情況不同，MAC中有多個發(fā)送端通過多址接入系統(tǒng)收集能量，而這些多個能量采集過程會對用戶的傳輸策略產生耦合影響，因此，針對MAC系統(tǒng)提出了一個“阻塞協(xié)助提升迭代算法”來避開這些耦合影響，在每次迭代過程中通過固定部分用戶的能量來獲得某一個用戶的最優(yōu)功率分配值，進而將相應的問題也轉化為類似BC中等效的“點對點”鏈路最優(yōu)功率調度問題，從而可通過具有線性計算復雜度的基于注水的“繃弦算法”來獲得原問題的解。連續(xù)的通過優(yōu)化其他用戶的功率分配，不斷增加總的吞吐量，即能保證我們提出的方案收斂到一個全局最優(yōu)功率分配解，從而獲得全局最優(yōu)MIMO MAC策略。

1 廣播信道模型

考慮一個通用MIMO BC系統(tǒng)，在發(fā)送端有Nt根發(fā)送天線，K 個用戶中每個用戶都有 Nr根接收天線。表示從第發(fā)射端到第個用戶的信道協(xié)方差矩陣，則用戶k接收的復基帶信號表達式如公式（1）：

其中x(t)表示在時刻t的發(fā)送矢量信號表達式，zk(t)為附加零均值復高斯噪聲信號表達式，其相應的Nr天線數量相關矩陣為I。發(fā)送的信號為信號發(fā)送到單獨用戶的求和，即(t ?？偟陌l(fā)送相關矩陣則為，其中半正定為用戶k的發(fā)送相關矩陣?？偟陌l(fā)送功率為其中tr(·)為跡運算。

假定發(fā)送端為理想狀態(tài)信息的信道，MIMO BC的信道容量可以通過臟紙編碼（DPC ：dirty paper coding）獲得，則在該編碼中所有用戶均可連續(xù)編碼使得被編碼的用戶對已編碼用戶沒有干擾影響。令則對于給定的發(fā)送功率P ，通過DPC得到的MIMO BC的容量區(qū)域為公式（2）：

其中表示凸包，該集合包含所有用戶指數集的排列，而

1.1 上下行鏈路對偶性

根據上下行對偶性，MIMO BC的加權吞吐量最大化可轉化為相同總功率限制下如圖2所示：

圖2 MIMO廣播信道與其對偶多址接入信道

其“對偶”MAC的加權吞吐量最大化問題。

在對偶MAC中，接收信號表達式如公式（3）：

其中 xk(t)表示用戶k在時刻t的發(fā)送矢量信號表達式，z(t)為附加零均值復高斯噪聲信號表達式，其相應的Nr天線數量相關矩陣為I。表示用戶k的發(fā)送相關矩陣，為K個用戶收集的能量集。令，則對于給定的P，MAC容量區(qū)域為公式（4）：

在文章[8]中的上下行對偶性證明了公式(2)中BC容量區(qū)域等效于 MAC中滿足所有功率矢量條件下容量區(qū)域的聯(lián)合，即公式（5）：

1.2 能量采集驅動過程

假定發(fā)送端沒有持續(xù)的功率供應。取而代之的是通過嵌入的可收集能量裝置機器和可充電電池，從而提供發(fā)送端從外界環(huán)境中收集到可再生能源并存儲到電池中供后續(xù)使用。在初始時刻(t0=0)可利用能量為E0。在整個傳輸階段[0, T]，假定有 N-1能量分別在時刻到達。為方便起見，表示兩個連續(xù)的能量到達時刻間隔，稱為時元。則第i個時元的長度為 Li=ti-t-1i， i=1,…,N 。很明顯可以得到0＜ Ei≤Emax，i =0,1,…, N - 1, k=1,…, K否則超出的能量 Ei-Emax不能儲存到電池里，所以可以取值到

1.3 理想情況下傳播

其中C1表示能量因果性限制，即目前累計消耗的能量不能超過累計采集的能量，C2表示最少能量使用限制，即目前累計消耗的能量需要達到一定的量，防止能量溢出。

根據上下行對偶性，我們可證明：

引理1：嚴格凹函數 R(Pi)可通過以下凸函數問題的最優(yōu)值來獲得如公式（7）：

其中 π是用戶 {1…,K,的指數排列：

則可用 R(Pi)將最優(yōu)廣播問題轉化為等效“點對點”鏈路的最優(yōu)總功率分配問題如公式（8）：

當EN=Emax時，tN時刻的最少能量使用限制條件和因果性限制條件會使得，即所有收集到的能量都必須在最后使用完。

1.4 凸優(yōu)化及最優(yōu)條件

若用P*表示方程(8)的最優(yōu)解，Λ*表示對應的最優(yōu)拉格朗日乘子。定義。根據Karush-Kuhn-Tucker (KKT)最優(yōu)條件[7]，可得：?i，公式（9）

1.5 最優(yōu)用戶功率分配

在引理1已證明 R(Pi)為嚴格凹函數，令 R'(Pi)表函數 R(Pi)的偏導數，很顯然， R'(Pi)是關于 Pi的嚴格遞減函數。令 R'-1表示 R'的反函數，由方程(22)可得到考慮函數R(Pi)的嚴格凹性， R'-1(Pi)關于 Pi嚴格遞減。因此，也為關于θi的遞減函數，再根據方程(10)-(11)的互補松弛條件，我們能推斷：

引理2：最優(yōu)功率 P僅在某時刻tn（如能量因果性限制條件或最少使用限制條件收緊處）發(fā)生改變。特別地，若在時刻tn處則該時刻過后功率會增大；若在時刻tn處則該時刻過后功率會減小。

算法1基于繃弦功率算法

算法1的核心部分是FirstChangeP函數，該函數表示在系統(tǒng)的最優(yōu)方案中，第一次功率改變時刻tτ、在該時刻之前使用的功率P，以及該時刻前消耗的總能量E。在該函數中，τ+和τ-為第一次時刻發(fā)生改變的兩個候選時元指數，而P+和P-則分別表示維持在時元段和的候選功率。

1.6 在線算法探索

假定時不變信道H已知，收集能量過程通過隨機泊松分布模擬，其中在時域T內到達的能量數服從均值為λe的泊松分布，而該能量數在每次到達時都是獨立同分布的，均值為[9]。假定λe和已知。

為了確定算法1中t0=0時刻最優(yōu)總功率的值，我們需要計算出每個 tn時刻和的值。調用，其中當初始能量 E0已知時，所有的 Ei,i = 1,… ,n-和 Li,i = 1,…,n都是未知的信息，在實際中是很難預先知道的。即表示為在時間段(0, tn)收集的總能量，其中。給定λe和，可得公式（14）：

利用公式(15)-(16)中的估計值，我們將同算法1一樣應用功率繃弦方法產生在t0時刻第一個發(fā)送功率值，這些功率一直使用到新的能量到達時刻t1，接著我們將把t1當做新的“t0”，并將初始能量E0更新為未消費的新收集能量E1。依據公式（15）-（16），再次執(zhí)行算法來產生下一個發(fā)送功率值。該過程一直持續(xù)到所有能量用盡或到達傳輸時段T末端。

2 多接入信道模型

根據第2節(jié)提出的上下行對偶MIMO MAC系統(tǒng)。假定每個用戶通過獨立的能量采集過程補充功率，令用戶k的電池容量為Emax,k，在初始時刻(t0=0)可利用能量為E0,k。在整個 傳輸階 段 [0T, ，假定 有 N-1能量分別在時刻到達。目標方程為最大用戶吞吐量權重和如公式（17）：

引理3：嚴格凹函數 R(Pi)可通過以下凸函數問題的最優(yōu)值來獲得公式（18）：

則可用 R(Pi)將公式(17)轉化為以下功率分配問題如公式（19）：

同理可將方程(19)轉化為一個凸問題。根據凸優(yōu)化理論，最優(yōu)解 Pi*和最優(yōu)拉格朗日乘子 Λ*的充分必要最優(yōu)條件為：

以及：?n,?k，如公式（21）、（22）

由于R(Pi)給出的不是封閉解，通過一般的解凸優(yōu)化方程法很難找到滿足方程（20）-（22）的關于方程（19）的全局最優(yōu)解 {}。依據方程（20）-（22）的特殊結構，我們將提出一個低復雜度的阻塞協(xié)調提升算法來獲得{}。

2.1 最優(yōu)用戶功率分配

與點對點廣播傳輸不同的是，在MAC信道中，每個用戶都有其獨立的能量因果性限制和最少使用限制集，而這K組能量采集限制集在最優(yōu)用戶傳輸策略中又有著相互的耦合影響。為了繞開該耦合帶來的困難，我們將采取一系列凸優(yōu)化方式，如：每次迭代過程中我們通過固定用戶k以外的所有用戶的功率來求得單個用戶k的最優(yōu)功率分配值。

若用Pi,-k表示功率集 Pi中用戶k以外所有用戶的功率集，則可得。令q表示迭代指數，而和，分別為Pi,k和拉格朗日乘子在第q次迭代中的最優(yōu)值。在功率計Pi,-k固定的條件下，可由方程（20）得到公式（23）：

同理，由方程（21）-（22）可直接得到公式（24）、（25）：

公式（23）-（25）正好對應于在用戶k與接收點之間的等效“點對點”鏈路總吞吐量最大化問題的KKT條件。而第二節(jié)中的低復雜度“繃弦”算法可以用來獲得 {}。如果考慮其他用戶發(fā)送的信號，可歸為在優(yōu)化MIMO MAC編碼中的噪聲。因此，盡管本模型中MIMO MAC物理信道是時不變的，但該等效的“點對點”鏈路的結果是通過固定其他用戶的功率值來獲得的，而在每次迭代過程中，其他用戶由于其不同的信號功率可能會引入不同的噪聲水平，因而該信道實際上也是“時變”的。固我們應該采用一個基于“繃弦”的水柱算法來找到 {}。

引理4：1) 用戶k的最優(yōu)功率值{}解的形式可由注水形似給出：，其中注水因子

基于引理 4揭示的內容，我們將進一步提出一個基于“繃弦”注水算法。令和分別表示：在第q次迭代中，使得用戶k在tn時刻時隙n的能量因果性限制條件和最少使用限制條件收緊的注水因子常量。給定時刻tn之前的注水因子ω，而為給定的在時隙i中用戶k的功率。因此，對的值能通過以下方程解出公式（26）：

算法2基于繃弦注水算法

同理算法2中的FirstChange函數表示第一次水柱改變時刻tτ及在該時刻之前使用的注水因子（與算法1中的功率P相對應）。兩個候選的注水因子將以的形式更新。

2.2 阻塞協(xié)調提升迭代算法

算法3阻塞協(xié)調提升迭代算法

算法3中的每第q次迭代，都將調用算法2中的基于繃弦的注水算法，連續(xù)的一個接一個優(yōu)化用戶發(fā)送功率。根據，再逐次通過引理3的方法計算出方程(18)中的 R()，進而求出總吞吐量并和上一次迭代求出的總吞吐量進行比較，直到吞吐量的增量小于容忍度時迭代終止。由于算法3實際上服從經典的阻塞協(xié)調提升思想，所以它能收斂到一個局部最優(yōu)。因為公式(19)是一個凸問題，則每一個局部最優(yōu)都將是全局最優(yōu)，即算方法3將使公式（19）收斂到一個全局最優(yōu)的 P*。一旦獲得 P*，再通過公式（18）和≡,?i ,k,我們將最終找到MIMOMAC中最優(yōu)發(fā)送相關矩陣{}。

2.3 在線算法探索

用解耦“功率繃弦”方法得到近似最優(yōu)結果，該思路激勵我們提出一個探索式的在線方案。假定時不變信道H已知，每個用戶收集到的能量通過隨機泊松過程模擬，其中在時域T內到達的能量數服從均值為λe的泊松分布，而該能量數在每次到達時都是獨立同分布的，均值為。假定λe和已知。當初始能量 E0,k,?k已知時，所有的都是未知的信息，在實際中是很難預先知道的。則公式（27）、（28）：

3 仿真結果

設定一個只有K=2用戶的時不變MIMO BC，數據傳輸時長T=100s。權重矢量w=[1,1]，在信道矩陣Hk(k=1,2)中的每一個元素都是零均值復高斯隨機變化的單位變量。發(fā)送端的電池容量為 Emax= 100焦耳。假定發(fā)送端隨機能量采集過程的設定可通過一個均值同為λe的隨機泊松過程來模擬，每次能量到達的數量服從均值為50焦耳獨立同分布。

平均吞吐量與λe如圖3所示：

圖3 BC中不同能量達到概率λe下平均吞吐量

在分別設定（Nt, Nr）為（2,2）和（4,2）時的對比情況，每一組結果都是取50次隨機產生實驗情況的平均值。圖3中加入了離線最優(yōu)功率繃弦算法和提出的在線方案，為了進行對比，我們還加入對比了兩組其他可行方案：滿足因果性方案（ECP：energy causality policy）和最少能量使用方案(ENP：energy non-overflow policy)，這兩組方案分別是通過總是選取發(fā)送功率滿足其下一組因果性和最少能量使用限制條件來獲得。提出的離線最優(yōu)算法在所有λe值下都能取得理想的吞吐量值，也明顯優(yōu)于在線最有算法。圖3中也很明顯看出當發(fā)送天線數量增倍時，MIMO BC的總速率也顯著提升了。

在設定（Nt, Nr）為（2,2），λ=0.1,0.2,0.3,0.4時，算法2在每次迭代后的平均吞吐量如圖4所示：

圖4 吞吐量與迭代次數

則算法2的快速收斂性顯而易見，經過3到4次迭代之后就能收斂到最優(yōu)值。

不同方案下平均吞吐量與λe的對比情況，如圖5所示：

圖5 MAC中能量到達概率λe下平均吞吐量

其中每一組結果都是通過40次隨機產生試驗次數來獲得的。我們比較了算法4和解耦的功率繃弦方案的性能，同時我們也加入對比了ECP和ENP方案。從圖5中我們也能有趣的發(fā)現(xiàn)，對于解耦的功率繃弦方案，每個用戶只需要其能量采集信息，就能獲得接近最優(yōu)吞吐量基準值99%的結果。另一方面，滿足因果性方案和非溢出方案在已知下一組（非因果）能量到達信息條件下也能獲得較優(yōu)的吞吐量值，而相比最優(yōu)基準值會有接近0.3比特/秒的相差量。本文提出的在線方案盡管僅知每個用戶所需的因果信息，但在所有λe情況下也能獲得接近最優(yōu)總吞吐量85%的好結果。

4 總結

本節(jié)提出了一個新穎的算法來獲得MIMO BC和MIMO MAC在有能量采集驅動的理想電路環(huán)境下最優(yōu)傳輸方案。該方案能以低復雜度計算離線最優(yōu)解，能為未來無線通信網絡中帶能量采集驅動的數據傳輸實踐案例提供最優(yōu)基準參考。文中也提出了基于最優(yōu)策略的在線方案。

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Optimal Transmission Policy for Energy-harvesting Powered MIMO Broadcasting and Multi-access Channels

Li Wenming
(Department of Communication Science and Engineering, Fudan University, Shanghai 200433, China)

This paper develops a novel approach to obtain optimal transmission strategy for the energy-harvesting node. With convex optimization tools, it explores optimal transmission for MIMO BC and MIMO MAC network models, and provides a low-complexity uplink-downlink duality “nested optimization” method and iterative block coordinate ascent algorithm to obtain the optimal transmission policies that maximize the weighted sum-throughput, and it researches their online implementations for practical energy harvesting communication systems. The proposed approach will provide theoretic guidelines for practical designs of the future energy-harvesting MIMO BC and MIMO MAC communication networks.

Energy Harvesting; BC; MAC; Power Control; Convex Optimization; Iteration

TN919.1

A

2014.06.05）

1007-757X(2015)05-0054-07

李文明（1989-），男，湖北，復旦大學通信科學與工程系，碩士研究生，研究方向：無線通信網絡中的能量收集，上海，200433