超混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)及同步問題的研究

李賢麗　張超穎

摘要：選取一個(gè)超混沌Qi系統(tǒng)，詳細(xì)分析其動(dòng)力學(xué)性質(zhì)。采取基于觀測器的方法來實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)在不同初值條件下的同結(jié)構(gòu)投影同步，并采用反饋法的思想設(shè)計(jì)合適的控制器，以實(shí)現(xiàn)Qi系統(tǒng)和Liu系統(tǒng)不同結(jié)構(gòu)之間的完全同步。通過Lyapunov穩(wěn)定性定理證明控制器的合理性，并對(duì)兩種同步方法進(jìn)行數(shù)值仿真來證明其可行性和有效性。

關(guān)鍵詞：超混沌系統(tǒng)； 觀測器法； 投影同步； 完全同步

中圖分類號(hào)： N 93 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A doi： 10.3969/j.issn.1005-5630.2015.01.014

Abstract：By adopting a novel hyper-chaotic Qi system， we analyze its kinetic properties systematically. Based on the observation methods， under different initial conditions， we implement the projective synchronization with structure in this system. Along with the idea of feedback method， we also aim at designing a proper controller in order to achieve the fully synchronization between the Qi system and Liu system. Based on Lyapunov stability theorem， we prove the rationality of this controller. Meanwhile， we deploy the numerical simulations of the two synchronization methods to demonstrate its feasibility and effectiveness.

Keywords：hyper-chaos system； observation method； projective synchronization； fully synchronous

引 言

混沌學(xué)是非線性運(yùn)動(dòng)中重要的學(xué)科之一，開創(chuàng)了非線性科學(xué)的新局面。自混沌運(yùn)動(dòng)發(fā)現(xiàn)以來，混沌動(dòng)力學(xué)取得了飛速進(jìn)展，各國科學(xué)家對(duì)混沌的特性做了深入的分析和研究。在20世紀(jì)60年代初，人們就在第一臺(tái)激光器中發(fā)現(xiàn)了混沌現(xiàn)象。1983年，Gioggia等在Xe激光器中觀測到了混沌現(xiàn)象[1]，1985年，Weiss等設(shè)計(jì)了NH3分子激光器，觀測到了Lorenz型的混沌，此后開始了非線性光學(xué)[2]的混沌研究并在光學(xué)系統(tǒng)中初見成效。90年代后，隨著混沌控制和同步的產(chǎn)生，學(xué)者們將關(guān)注的焦點(diǎn)集中在了混沌現(xiàn)象在光學(xué)系統(tǒng)中的控制和同步上[3]，其中，在把摻餌光纖機(jī)關(guān)器中的激光混沌作為載體來研究保密通信與

級(jí)聯(lián)式光學(xué)混沌通信系統(tǒng)方面，取得了許多較好的科研成果[4]，因此，混沌系統(tǒng)在光學(xué)保密通信中具有良好的應(yīng)用前景和巨大潛力。目前，非線性系統(tǒng)的混沌控制和同步研究已取得大量成果，提出了許多有關(guān)混沌控制和同步的方法和理論，而對(duì)超混沌系統(tǒng)的研究尚處于初期，超混沌運(yùn)動(dòng)具有兩個(gè)或者兩個(gè)以上正的Lyapunov指數(shù)，它的運(yùn)動(dòng)軌跡曲線在相空間中多個(gè)方向上分離，相對(duì)于低維混沌系統(tǒng)具有更為復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，在保密通信[5]、化學(xué)、光通信[6]、工程等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。因此對(duì)超混沌系統(tǒng)的研究已引起學(xué)者們的廣泛關(guān)注，而對(duì)于其動(dòng)力學(xué)性質(zhì)、超混沌控制和同步等問題的研究缺乏全面完善的認(rèn)識(shí)，有待于進(jìn)一步進(jìn)行研究和探討。目前常用的同步方法有自適應(yīng)同步法、脈沖同步法、基于狀態(tài)觀測器廣義投影同步法[7]和反饋同步法[8]。

本文選取超混沌Qi系統(tǒng)，從非線性理論分析和數(shù)值計(jì)算兩個(gè)角度出發(fā)，系統(tǒng)研究高維復(fù)雜系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性質(zhì)的變化和超混沌運(yùn)動(dòng)的變化規(guī)律。采用基于狀態(tài)觀測器法實(shí)現(xiàn)超混沌Qi系統(tǒng)的廣義投影同步和反饋法實(shí)現(xiàn)兩個(gè)超混沌系統(tǒng)的異結(jié)構(gòu)完全同步。

1 超混沌系統(tǒng)的模型和動(dòng)力學(xué)性質(zhì)

本文選取一個(gè)超混沌Qi系統(tǒng)[9]，設(shè)x1，y1，z1，w1為系統(tǒng)的狀態(tài)變量，其方程結(jié)構(gòu)如下：

系統(tǒng)在初始值x0=0.001， y0=0.002，z0=0.003，w0=0.004的情況下通過MATLAB軟件對(duì)其進(jìn)行數(shù)值計(jì)算可得超混沌Qi系統(tǒng)的分岔圖，如圖1所示。

由分岔圖可知在n∈（0，3.87）系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)，當(dāng)n>3.87時(shí)，系統(tǒng)存在三個(gè)定態(tài)，其中一個(gè)是不穩(wěn)定定態(tài)，兩個(gè)是穩(wěn)定定態(tài)，隨著系統(tǒng)參數(shù)n和初始值的變化，系統(tǒng)取兩個(gè)穩(wěn)定定態(tài)之一。

在非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)研究中，平衡態(tài)的空間分布具有十分重要的意義。通過所有狀態(tài)變量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)全部都等于零，當(dāng)n=3時(shí)，可以得到系統(tǒng)唯一一組實(shí)數(shù)解（0，0，0，0），即平衡點(diǎn)O（0，0，0，0）。將系統(tǒng)平衡點(diǎn)O的坐標(biāo)代入Jacobian矩陣，即可得到式（1）的線性化系統(tǒng)矩陣，其特征值λ1=-15，λ2=9，λ3=-16，λ4=-1，四個(gè)特征值都為實(shí)數(shù)，且有一個(gè)大于零，三個(gè)小于零，所以平衡點(diǎn)O是不穩(wěn)定的鞍結(jié)點(diǎn)，因此系統(tǒng)出現(xiàn)混沌運(yùn)動(dòng)。系統(tǒng)的二維相圖如圖2所示。

2 超混沌Qi系統(tǒng)的同結(jié)構(gòu)同步

主要討論超混沌Qi系統(tǒng)的自同步，采用觀測器法來實(shí)現(xiàn)Qi系統(tǒng)的廣義投影同步。首先，把式（1）化為f（x）=Ax+Bg（x）+G的形式。

4 結(jié) 論

通過分岔圖對(duì)一個(gè)超混沌系統(tǒng)分析了其動(dòng)力學(xué)性質(zhì)，同時(shí)，采用觀測器方法實(shí)現(xiàn)了超混沌系統(tǒng)的廣義投影同步。運(yùn)用主動(dòng)控制的思想和Lyapunov理論設(shè)計(jì)了一個(gè)合理的控制器，實(shí)現(xiàn)了超混沌Qi系統(tǒng)和超混沌Liu系統(tǒng)的完全同步。用MATLAB軟件進(jìn)行數(shù)值仿真，得到了同步曲線和誤差曲線，驗(yàn)證了這兩種方法的有效性。超混沌系統(tǒng)同步的實(shí)現(xiàn)為光保密通信提供了良好的載體，使其抗破譯能力更強(qiáng)，保密性更高，因此，有效地將混沌系統(tǒng)的同步與光保密通信結(jié)合起來將成為未來的發(fā)展趨勢。

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（編輯：劉鐵英）