幾何的微分方法幾何三部曲

Francis+Borceux

本書呈現(xiàn)了平面和三維空間中曲線的經(jīng)典理論，以及三維空間中曲面的經(jīng)典理論，特別關(guān)注于奠定現(xiàn)代幾何學(xué)的理論和方法的歷史發(fā)展過程。對(duì)平面曲線及其性質(zhì)和代數(shù)拓?fù)溥M(jìn)行了全面而細(xì)致的論述，為本科生深入理解幾何學(xué)提供了必要的知識(shí)。

全書共分7章：1.微分方法的起源，主要內(nèi)容有曲線的靜態(tài)方法、曲線的動(dòng)態(tài)方法、奇異性、曲線的切線、微分方法、曲線求長(zhǎng)（Rectification）、曲率和正規(guī)性、曲線包絡(luò)、曲率、曲率半徑和非對(duì)稱曲線；2.平面曲線，主要內(nèi)容有參數(shù)化表示、正則化表示、曲線的笛卡爾方程、漸近線、包絡(luò)線、弧長(zhǎng)、正規(guī)表示、曲率、密切圓、漸屈線、漸開線、閉曲線、分段正則曲線、凸曲線和平面曲線頂點(diǎn)；3.曲線類型，主要內(nèi)容有圓、橢圓、雙曲線、拋物線、擺線、腎形線、星形線、三角線、帕斯卡蚶線、貝努利雙紐線、Nicomedes蚌線、蔓葉線、正環(huán)索線、曳物線、懸鏈線、阿基米德螺線、對(duì)數(shù)螺線和螺旋角線；4.非對(duì)稱曲線，主要內(nèi)容有正規(guī)非對(duì)稱曲線、正規(guī)表述、曲率、Frenet三面體、扭轉(zhuǎn)和本征方程；5.局部曲面理論，主要內(nèi)容有曲面的參數(shù)化表示、正則曲面、笛卡爾方程、曲面中的曲線、切平面、切向量、曲面方向、正規(guī)曲率、法曲率、臍點(diǎn)、主方向、二次曲面逼近、Rodrigues公式、全曲率的高斯逼近和高斯曲率；6.黎曼幾何，主要內(nèi)容有度量張量、黎曼斑曲線、曲線的法向量域、Christoffel記號(hào)、共變導(dǎo)數(shù)、平行移動(dòng)、測(cè)地曲率、測(cè)地學(xué)、黎曼張量、測(cè)地坐標(biāo)系、測(cè)地坐標(biāo)系下的曲率、龐加萊半平面、可嵌入黎曼斑和黎曼曲面；7.整體曲面理論，主要內(nèi)容有回轉(zhuǎn)曲面、直紋面、零曲率曲面、可展曲面及其分類、常數(shù)曲率曲面、球面、反例、旋轉(zhuǎn)數(shù)、多邊形域、多邊形分解、Gauss-Bonnet定理、測(cè)地三角形和Euler-Poincaré特征；最后給出的是兩個(gè)附錄，附錄A拓?fù)?，主要?nèi)容有實(shí)空間中的開集、實(shí)空間中的閉集、實(shí)空間中的緊子集、實(shí)空間上的連續(xù)映射、拓?fù)淇臻g、閉與稠密性、緊致性、連續(xù)映射、同胚和連通性；附錄B 微分方程，主要內(nèi)容有一階微分方程、二階微分方程、初始條件和偏微分方程組。

本書介紹了幾何的微分方法，完整地給出了經(jīng)典微分幾何和黎曼幾何的研究?jī)?nèi)容，是研究幾何學(xué)的本科生和低年級(jí)研究生的指導(dǎo)性讀物。適合從事微分幾何、代數(shù)幾何、微分方程和相關(guān)領(lǐng)域的本科生、研究生和科研人員閱讀和參考。

朱永貴，博士，教授

（中國(guó)傳媒大學(xué)理學(xué)院）