深溝球軸承振動(dòng)的灰自助評(píng)估

盧陽(yáng)，時(shí)保吉，郭浩，李澤強(qiáng)

(1.洛陽(yáng)軸研科技股份有限公司，河南 洛陽(yáng) 471039；2.新鄉(xiāng)職業(yè)技術(shù)學(xué)院，河南 新鄉(xiāng) 453006)

軸承振動(dòng)與其噪聲密切相關(guān)[1]，長(zhǎng)期以來(lái)一直受到相關(guān)領(lǐng)域的廣泛重視。文獻(xiàn)[2]介紹了一種基于滾動(dòng)軸承缺陷探測(cè)的有限元振動(dòng)分析方法。文獻(xiàn)[3]研究了高速轉(zhuǎn)子的結(jié)構(gòu)振動(dòng)分析模型。文獻(xiàn)[4]建議進(jìn)行振動(dòng)監(jiān)測(cè)與分析實(shí)例研究。但目前的研究大多未涉及乏信息領(lǐng)域，然而關(guān)于乏信息參數(shù)估計(jì)方面的問(wèn)題越來(lái)越受到關(guān)注與重視，成為近年來(lái)系統(tǒng)科學(xué)領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)問(wèn)題與前沿課題之一。

研究表明，軸承振動(dòng)性能的趨勢(shì)變化不明顯，屬于趨勢(shì)規(guī)律與概率分布都未知的乏信息系統(tǒng)。下文基于乏信息中的灰自助融合與灰預(yù)測(cè)理論，建立深溝球軸承振動(dòng)特征參數(shù)的動(dòng)態(tài)灰自助頻率函數(shù)，并對(duì)振動(dòng)特征參數(shù)進(jìn)行灰自助評(píng)估，從而為軸承振動(dòng)性能的非線性動(dòng)力學(xué)特性演變奠定理論基礎(chǔ)。

1 乏信息動(dòng)態(tài)評(píng)估模型

利用乏信息系統(tǒng)理論，結(jié)合自助法，利用灰自助融合和灰預(yù)測(cè)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，并對(duì)深溝球軸承振動(dòng)參數(shù)進(jìn)行動(dòng)態(tài)不確定度分析，以實(shí)現(xiàn)對(duì)深溝球軸承振動(dòng)特征參數(shù)進(jìn)行灰自助評(píng)估。

1.1 初步處理

假設(shè)深溝球軸承振動(dòng)性能試驗(yàn)總共進(jìn)行了R天，令Xr表示第r天所采集到的需要處理的振動(dòng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)，其中r=1,2,3,…,R，所以第r天進(jìn)行數(shù)據(jù)處理的振動(dòng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)為

Xr=(xr(1),xr(2),…,xr(t),…,xr(N))，

(1)

式中：xr(t)為第r天t時(shí)刻的振動(dòng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)；N為第r天需要進(jìn)行處理的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)。

1.2 灰自助融合

從Xr中取與t時(shí)刻緊鄰的前h個(gè)數(shù)據(jù)(含時(shí)刻t的數(shù)據(jù))，構(gòu)成t時(shí)刻的滾動(dòng)融合子序列向量為

Xrt={xrt(u)}，u=t-h+1,t-h+

2,…,t;t≥h，

(2)

式中：u為時(shí)刻；h為與t時(shí)刻緊鄰的前h個(gè)數(shù)據(jù)(含t時(shí)刻的數(shù)據(jù))，即滾動(dòng)因子。

滾動(dòng)融合評(píng)估的含義是用t時(shí)刻前的Xrt評(píng)估時(shí)刻t的振動(dòng)屬性狀態(tài)。在t時(shí)刻，從Xrt中等概率可放回的隨機(jī)抽取1個(gè)數(shù)據(jù)，抽取h次，獲得一個(gè)自助樣本，含h個(gè)數(shù)據(jù)。連續(xù)重復(fù)抽取B1次，得到B1個(gè)自助再抽樣樣本，用向量表示為

YrtBootstrap=(Yrt1,Yrt2,…,Yrtb,…,YrtB1)，

(3)

式中：Yrtb為第b個(gè)自助樣本。且有

Yrtb={yrtb(u)}；b=1,2,…,B1，

(4)

式中：yrtb(u)為Yrtb中第u個(gè)自助再抽樣數(shù)據(jù)。

由灰預(yù)測(cè)GM(1,1)，設(shè)Yrtb的一次累加生成序列向量為

(5)

再設(shè)均值生成序列向量為

Zrtb={zrtb(u)}={0.5xrtb(u)+0.5xrtb(u-

1)}，u=t-h+2,t-h+3,…,t，

(6)

在初始條件xrtb(t-h+1)=yrtb(t-h+1)下，問(wèn)題的最小二乘法為

e-crtb1j+crtb2/crtb1，j=t-1,t，

(7)

(crtb1,crtb2)T=(DTD)-1DTYrtbT，

u=t-h+2,t-h+3,…,t-1,t，

(8)

D=(-Zrtb,I)T，

(9)

I=(1,1,…，1)。

(10)

時(shí)刻ω=t+1的預(yù)測(cè)值可以表示為

(11)

其中B1個(gè)數(shù)據(jù)構(gòu)成的序列向量為

(12)

Frtω=Fω(xrt)，

(13)

式中:Frtω為灰自助頻率函數(shù)。

2 振動(dòng)特征參數(shù)的乏信息過(guò)程動(dòng)態(tài)評(píng)估分析

設(shè)顯著性水平為α∈ [0,1] ，則置信水平為

P=(1-α)×100%。

(14)

在時(shí)刻t，置信水平P下，振動(dòng)屬性參數(shù)真值的估計(jì)區(qū)間為

[XrtL,XrtU]=[XrtL(ω),XrtU(ω)]=

(15)

XrtL為估計(jì)區(qū)間下邊界值；XrtU為估計(jì)區(qū)間上邊界值。

參數(shù)指標(biāo)XrtL和XrtU用來(lái)描述振動(dòng)屬性參數(shù)在時(shí)刻t瞬態(tài)波動(dòng)的極小值和極大值。

定義ω時(shí)刻振動(dòng)屬性參數(shù)的動(dòng)態(tài)不確定度為

Urt=Urt(ω)=XrtU-XrtL，

(16)

式中：Urt為在置信水平P下估計(jì)的不確定度，即動(dòng)態(tài)不確定度。

動(dòng)態(tài)不確定度隨時(shí)間序列變化，具有時(shí)間過(guò)程與動(dòng)態(tài)的變化特性，其不同于以往的經(jīng)典統(tǒng)計(jì)方法研究靜態(tài)不確定度。文中雖然使用頻數(shù)的概念，但實(shí)際并未涉及原始振動(dòng)數(shù)據(jù)序列Xr的概率分布問(wèn)題。這表明灰自助GBM(1,1)不依賴任何概率分布。

由 [XrtL,XrtU]和Urt的定義可得，在ω時(shí)刻，置信水平P越大，則Urt越大。若P=100%，則Urt可以得到最大值。但必須考慮一個(gè)問(wèn)題，即Urt越大，[XrtL,XrtU]越偏離真值，進(jìn)而估計(jì)結(jié)果就越失真。因此，給出一個(gè)條件

Urmean=Urmean(h,B1,P)=

(17)

式中：Urmean為平均不確定度。Urmean是一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，可以作為振動(dòng)屬性參數(shù)隨機(jī)波動(dòng)狀態(tài)的統(tǒng)計(jì)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。Urmean越小，振動(dòng)屬性參數(shù)的波動(dòng)范圍越小，估計(jì)真值就越穩(wěn)定，故必須結(jié)合具體的研究對(duì)象合理選擇h，B1和P這3個(gè)參數(shù)。

3 試驗(yàn)結(jié)果與分析

文中引用的深溝球軸承振動(dòng)加速度的試驗(yàn)數(shù)據(jù)(m/s2)來(lái)源于某研究所。某型號(hào)深溝球軸承在軸向載荷Fa=50 N，轉(zhuǎn)速n=1 000 r/min下連續(xù)運(yùn)行46 d。

對(duì)振動(dòng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行按天分段處理，選取每天前100個(gè)數(shù)據(jù)(N=100)用于分析，整個(gè)試驗(yàn)過(guò)程將有1 000個(gè)(R=10)原始振動(dòng)數(shù)據(jù)。深溝球軸承振動(dòng)試驗(yàn)的原始數(shù)據(jù)序列如圖1所示。

圖1 深溝球軸承振動(dòng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)

從軸承振動(dòng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，在整個(gè)試驗(yàn)過(guò)程中，振動(dòng)性能具有強(qiáng)烈的波動(dòng)和趨勢(shì)變化，屬于概率分布及趨勢(shì)規(guī)律均未知的乏信息系統(tǒng)。為了實(shí)現(xiàn)對(duì)深溝球軸承振動(dòng)性能的灰自助評(píng)估，利用灰自助評(píng)估模型對(duì)軸承振動(dòng)試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理與分析。

參數(shù)h的選擇很重要，h太大，評(píng)估時(shí)將包含過(guò)多的舊信息，影響評(píng)估的可靠度，并且降低評(píng)估速度，占用過(guò)多的計(jì)算機(jī)內(nèi)存，不利于在線評(píng)估和控制；h太小，不利于自助再抽樣，也直接影響評(píng)估的可靠度?；疑到y(tǒng)理論的灰預(yù)測(cè)GM(1,1)模型要求h的最小值為3，灰自助法中取h=4～8，此處選取h=4。

設(shè)顯著性水平α=0.05，置信水平P=1-α=0.95，選取B1=1 000。當(dāng)1≤r≤10，4≤t≤100時(shí)，利用深溝球軸承振動(dòng)性能的灰自助評(píng)估模型，分別計(jì)算振動(dòng)屬性參數(shù)真值的估計(jì)區(qū)間[XrtL,XrtU]，計(jì)算動(dòng)態(tài)不確定度Urt，分別繪制第1天和第2天的原始振動(dòng)數(shù)據(jù)與估計(jì)區(qū)間 [XrtL,XrtU]的包絡(luò)圖和Urt隨t時(shí)刻的變化圖，如圖2、圖3所示。

由圖2、圖3可知，深溝球軸承的振動(dòng)數(shù)據(jù)被完美地包絡(luò)在估計(jì)區(qū)間 [XrtL,XrtU]之中，動(dòng)態(tài)不確定度可以準(zhǔn)確描述深溝球軸承基于振動(dòng)時(shí)間點(diǎn)的數(shù)據(jù)波動(dòng)狀況，平均不確定度可以定量而準(zhǔn)確地描述深溝球軸承基于振動(dòng)時(shí)間段的數(shù)據(jù)波動(dòng)及離散狀況。平均不確定度越小，表明振動(dòng)數(shù)據(jù)在當(dāng)前時(shí)間段離散程度越小，穩(wěn)定性越好；平均不確定度越大，表明振動(dòng)數(shù)據(jù)在當(dāng)前時(shí)間段離散程度越大，穩(wěn)定性越差。

圖2 第1天軸承振動(dòng)數(shù)據(jù)動(dòng)態(tài)不確定度變化圖

圖3 第2天軸承振動(dòng)數(shù)據(jù)動(dòng)態(tài)不確定度變化圖

計(jì)算深溝球軸承每天振動(dòng)數(shù)據(jù)的平均不確定度Urmean，繪制Urmean隨測(cè)量天數(shù)的變化圖，如圖4所示。

圖4 軸承振動(dòng)平均不確定度變化圖

由圖可知，試驗(yàn)中深溝球軸承第1天、第6天和第10天振動(dòng)數(shù)據(jù)的平均不確定度較大，表明軸承振動(dòng)處于非平穩(wěn)狀態(tài)。

4 結(jié)論

基于乏信息中的灰自助融合與灰預(yù)測(cè)理論，建立深溝球軸承振動(dòng)特征參數(shù)的動(dòng)態(tài)灰自助頻率函數(shù)，并以此函數(shù)為基礎(chǔ)，對(duì)深溝球軸承振動(dòng)特征參數(shù)進(jìn)行了灰自助評(píng)估，結(jié)果表明：

(1)基于振動(dòng)時(shí)間點(diǎn)的動(dòng)態(tài)不確定度可以準(zhǔn)確地描述深溝球軸承基于振動(dòng)時(shí)間點(diǎn)的數(shù)據(jù)波動(dòng)狀況。

(2)基于振動(dòng)時(shí)間段的平均不確定度可以定量而準(zhǔn)確地描述軸承基于振動(dòng)時(shí)間段的數(shù)據(jù)波動(dòng)及離散狀況，且試驗(yàn)結(jié)果與計(jì)算結(jié)果非常接近，滿足工程要求。