基于ESO的欠驅(qū)動(dòng)四旋翼飛行器軌跡魯棒控制

楊立本，章衛(wèi)國，黃得剛

（1.西北工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，陜西西安710129；2.陜西省飛行控制與仿真技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西西安710129）

基于ESO的欠驅(qū)動(dòng)四旋翼飛行器軌跡魯棒控制

楊立本1，2，章衛(wèi)國1，2，黃得剛1，2

（1.西北工業(yè)大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，陜西西安710129；2.陜西省飛行控制與仿真技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西西安710129）

針對(duì)欠驅(qū)動(dòng)四旋翼無人飛行器的系統(tǒng)特性，為解決傳統(tǒng)四旋翼飛行控制方法中存在的弱點(diǎn)，如系統(tǒng)狀態(tài)變量間相互有較大耦合、控制效果易受建模誤差的影響及抵御外界干擾能力較弱等弱點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器（extended state observer，ESO）的軌跡跟蹤算法，由ESO實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)復(fù)合干擾的估計(jì)，并在控制律中對(duì)復(fù)合干擾進(jìn)行實(shí)時(shí)補(bǔ)償。由于ESO只需要測量系統(tǒng)輸出即可實(shí)現(xiàn)對(duì)復(fù)合干擾的精確估計(jì)，因此在實(shí)際系統(tǒng)中易于實(shí)現(xiàn)，為驗(yàn)證所提算法，進(jìn)行兩種不同情況下的仿真研究，分別為矩形軌跡跟蹤和圓形軌跡跟蹤，仿真結(jié)果驗(yàn)證了所提算法的可行性。

欠驅(qū)動(dòng)；擴(kuò)張觀測器；干擾抑制；軌跡跟蹤

0 引 言

四旋翼無人飛行器是一種欠驅(qū)動(dòng)控制系統(tǒng)，4個(gè)電機(jī)作為其控制輸入，輸出量包括3個(gè)角運(yùn)動(dòng)及3個(gè)線運(yùn)動(dòng)，由于該系統(tǒng)是一種靜不穩(wěn)定系統(tǒng)，因此需要實(shí)時(shí)對(duì)飛行器進(jìn)行控制才能保證系統(tǒng)穩(wěn)定［1］。四旋翼無人飛行器由4個(gè)電機(jī)進(jìn)行實(shí)時(shí)控制，不同分組的電機(jī)可以產(chǎn)生差動(dòng)力矩，并由差動(dòng)力矩控制系統(tǒng)的俯仰和滾轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)。當(dāng)電機(jī)轉(zhuǎn)速不同時(shí)，系統(tǒng)總的反扭矩不平衡，由反扭矩的差值控制系統(tǒng)的偏航運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)的總升力由4個(gè)電機(jī)的升力共同產(chǎn)生。

文獻(xiàn)［2-4］分別基于比例-積分-微分（proportion integration differentiation，PID）、線性二次型（linear quadratic，LQ）控制、回路成型理論設(shè)計(jì)四旋翼無人飛行器的控制系統(tǒng)，文獻(xiàn)［5-6］利用反饋線性化設(shè)計(jì)四旋翼無人飛行器的控制系統(tǒng)，由于反饋線性化首先要建立系統(tǒng)的精確數(shù)學(xué)模型，系統(tǒng)建模誤差會(huì)導(dǎo)致控制精度大幅降低。文獻(xiàn)［7-9］研究了四旋翼飛行器的反步法控制，由于反步控制也是建立在精確的系統(tǒng)模型之上，因此建模誤差對(duì)控制精度影響較大。文獻(xiàn)［10］利用動(dòng)態(tài)面設(shè)計(jì)了的四旋翼飛行器的控制系統(tǒng)，該方法主要用于降低反步控制中的導(dǎo)數(shù)階數(shù)，但是其控制精度同樣易受建模誤差的影響。文獻(xiàn)［11-12］研究了四旋翼飛行器的滑模控制問題，滑?？刂频目垢蓴_能力較強(qiáng)，但當(dāng)系統(tǒng)復(fù)合干擾較大時(shí)，其控制精度并不理想。文獻(xiàn)［13-14］研究了四旋翼飛行器的姿態(tài)解耦問題，但是對(duì)飛行器的軌跡控制并未深入研究。

本文針對(duì)四旋翼無人飛行器的控制系統(tǒng)特性，為克服控制方法中存在的問題，設(shè)計(jì)一種基于擴(kuò)張狀態(tài)觀測器（extended state observer，ESO）的四旋翼飛行器魯棒軌跡跟蹤控制算法。利用ESO實(shí)現(xiàn)對(duì)系統(tǒng)復(fù)合干擾的實(shí)時(shí)估計(jì)，并將系統(tǒng)狀態(tài)量分為完整驅(qū)動(dòng)子系統(tǒng)和欠驅(qū)動(dòng)子系統(tǒng)，分別設(shè)計(jì)控制器，對(duì)控制器及ESO的有效性進(jìn)行證明，并通過兩種不同軌跡跟蹤來對(duì)該算法進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

1 Quadrotor UAV模型

在忽略彈性振動(dòng)及形變的情況下，四旋翼飛行器的運(yùn)動(dòng)可以看成是6個(gè)自由度的剛體運(yùn)動(dòng)，即包含3個(gè)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)和重心沿3個(gè)軸的線運(yùn)動(dòng)。利用機(jī)體坐標(biāo)系表述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)，坐標(biāo)原點(diǎn)與飛行器重心重合，則系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 四旋翼飛行器飛行原理

假設(shè)飛行器為剛體，并忽略其彈性形變。飛行器結(jié)構(gòu)對(duì)稱，質(zhì)量分布均勻，質(zhì)心為機(jī)體系原點(diǎn)，飛行器升力面和重心位于同一個(gè)平面上。則系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為［15］

式中，ξ，ν∈R3分別代表地面坐標(biāo)系下飛行器的位置和速度；e3＝（0，0，1）T為地面坐標(biāo)系下的單位向量；F為除重力以外作用于飛行器機(jī)體上的合外力向量；R為機(jī)體坐標(biāo)系到地面坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣；η＝［φ θ］T∈R3為飛行器的歐拉角；λ＝［p，q，r］T∈R表示載體坐標(biāo)下的角速度；W（η）為繞機(jī)體軸的三軸角速度到歐拉角速率的轉(zhuǎn)換矩陣；J為飛行器的慣性矩陣，由于飛行器的對(duì)稱機(jī)構(gòu)特性，其交叉慣性積為零，因此J為對(duì)角矩陣；τ＝［τφτθτ］分別為滾轉(zhuǎn)、俯仰、偏航控制力矩。機(jī)體坐標(biāo)系到地面坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣R為

繞機(jī)體軸的三軸角速度到歐拉角速率的轉(zhuǎn)換矩陣W（η）為

根據(jù)四旋翼飛行器的結(jié)構(gòu)特性，得到其慣性矩陣為

飛行器合外力向量F及控制力矩τ為

式中，br和bq分別為旋翼的推力系數(shù)和反扭矩系數(shù)；ρ為空氣密度；A為旋翼轉(zhuǎn)盤面積；ωi（i＝1，2，3，4）為各旋翼轉(zhuǎn)速。

2 基于ESO的復(fù)合干擾估計(jì)

在實(shí)際系統(tǒng)中，由于存在外界擾動(dòng)及建模不確定性，因此設(shè)計(jì)一種擴(kuò)張狀態(tài)觀測器，實(shí)現(xiàn)對(duì)外界干擾的跟蹤估計(jì)，并將系統(tǒng)建模不確定性作為系統(tǒng)內(nèi)擾進(jìn)行估計(jì)，觀測器在估計(jì)擾動(dòng)時(shí)不區(qū)分內(nèi)擾和外擾［16］，在控制律中對(duì)系統(tǒng)總擾動(dòng)進(jìn)行實(shí)時(shí)補(bǔ)償，不僅可以提高系統(tǒng)的抗干擾性，還可以降低系統(tǒng)建模誤差對(duì)控制效果的影響。

以狀態(tài)量x為例來說明擴(kuò)張觀測器的結(jié)構(gòu)，考慮外界干擾n（t）和系統(tǒng)建模不確定性Δf（t），并由式（1）～式（6）得到狀態(tài)量x的狀態(tài)方程為

定理1 對(duì)于系統(tǒng)式（7）設(shè)計(jì)如式（8）的擴(kuò)張狀態(tài)觀測器，合理選擇觀測器參數(shù)，可以保證觀測器對(duì)狀態(tài)量的實(shí)時(shí)觀測。

證明定義觀測誤差η＝［η1η2η3］T，式中η1＝x1－，η2＝x2－，η3＝n（t）－，根據(jù)式（8）可得

假設(shè)外界干擾n（t）與系統(tǒng)建模不確定性Δf（t）總和的上界為L（0≤L≤+∞），則

通過上述證明可知，當(dāng)ε越小，η收斂速度越快，‖η‖隨著ε的減小趨近于零。

證畢

3 四旋翼飛行器軌跡魯棒控制器

四旋翼飛行器是一個(gè)典型的欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，由4個(gè)控制輸入來實(shí)現(xiàn)對(duì)飛行器位置和姿態(tài)6個(gè)自由度的控制，飛行器的縱向運(yùn)動(dòng)是通過控制4個(gè)旋翼產(chǎn)生的升力來實(shí)現(xiàn)，水平方向的控制是通過改變俯仰角和滾轉(zhuǎn)角來實(shí)現(xiàn)的［17］，因此本文將軌跡控制分成為兩個(gè)子系統(tǒng)，分別為完整驅(qū)動(dòng)子系統(tǒng)和欠驅(qū)動(dòng)子系統(tǒng)，定義系統(tǒng)狀態(tài)變量x＝［x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11x12］＝［z，軌跡控制結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 基于ESO的四旋翼軌跡魯棒控制結(jié)構(gòu)

3.1 完整驅(qū)動(dòng)子系統(tǒng)魯棒控制器設(shè)計(jì)

完整驅(qū)動(dòng)子系統(tǒng)包括高度和偏航角兩個(gè)自由度，將式（1）展開，并作小角度近似得到動(dòng)力學(xué)方程為

式中，Δf（t）和n（t）分別代表系統(tǒng)建模誤差和外界干擾。下面以變量z為例設(shè)計(jì)基于反步法的魯棒控制器，狀態(tài)變量為

定理2 對(duì)于形如式（14）的系統(tǒng)，設(shè)計(jì)基于ESO的魯棒控制器，合理選擇控制器參數(shù)，可保證系統(tǒng)穩(wěn)定。

證明定義z1＝x1d－x1其導(dǎo)數(shù)為

并用虛擬控制量a1代替x2，則V1對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為

選取候選的Lyapunov函數(shù)為

由式（15）和式（19），得到.z1＝－c1z1－z2，則V2對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為

為保證.V2＜0，同時(shí)假設(shè)¨x1d＝0，并利用定理1中設(shè)計(jì)的擴(kuò)張狀態(tài)觀測器對(duì)系統(tǒng)復(fù)合干擾進(jìn)行估計(jì)，得到系統(tǒng)控制輸入T為

證畢

式中，z3＝x3d－x3；z4＝x4－－c1z3；為偏航角通道中系統(tǒng)總擾動(dòng)的估計(jì)值。

3.2 欠驅(qū)動(dòng)子系統(tǒng)魯棒控制器設(shè)計(jì)

欠驅(qū)動(dòng)子系統(tǒng)包括水平位置自由度x和y，飛行器水平位置不能直接控制，必須通過姿態(tài)角來間接控制，根據(jù)式（1）并作小角度近似得到欠驅(qū)動(dòng)子系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程為

式中，σi（i＝x，y，φ，θ）為各個(gè)通道的復(fù)合干擾，包括系統(tǒng)建模誤差和外界干擾。定義水平方向虛擬控制量為

根據(jù)定理2中控制器的設(shè)計(jì)方法，得到虛擬控制律為

通過式（26）可計(jì)算出要實(shí)現(xiàn)虛擬控制量ux和uy所需要的姿態(tài)角指令φd和θd［18］為

式中，atan代表arctan；s代表sin；c代表cos。利用定理2，可計(jì)算出系統(tǒng)的俯仰控制力矩τθ和滾轉(zhuǎn)控制力矩τφ為

式中，z9＝x9d－x9；z10＝x10－－c9z9為俯仰角θ中系統(tǒng)總擾動(dòng)的估計(jì)值；z11＝x11d－x11；z12＝x12－－c11z11；為滾轉(zhuǎn)角φ中系統(tǒng)總擾動(dòng)的估計(jì)值；ci＞0（i＝9，10，11，12）。

至此，就完成了實(shí)際控制量的設(shè)計(jì)，分別為式（21）、式（23）和式（28）。

4 系統(tǒng)仿真分析

為驗(yàn)證所提魯棒軌跡跟蹤算法的有效性，分兩種情況對(duì)該算法進(jìn)行仿真驗(yàn)證，分別為矩形軌跡跟蹤和圓形軌跡跟蹤。仿真所用四旋翼飛行器的參數(shù)為：m＝0.75 kg，l＝0.25 m，kt＝3.13 e－5Ns2，kd＝7.5 e－7Nm s2，Ix＝19.688 e－3kgm2，Iy＝19.681 e－3kgm2，Iz＝3.938 e－2kgm2，Jrotor＝6 e－5kgm2。

設(shè)置飛行器的初始位置為［x y z］＝［0 0 0］初始姿態(tài)為［φ θ］＝［0 0 0］rad。初始角速率為［p q r］＝［0 0 0］rad／s。

4.1 矩形軌跡跟蹤仿真

矩形軌跡指令為

式中

系統(tǒng)復(fù)合干擾為

圖3為反步控制下的軌跡跟蹤曲線，由于復(fù)合干擾的影響，跟蹤曲線出現(xiàn)較大波動(dòng)。

圖3 反步控制矩形軌跡跟蹤曲線

圖4～圖5分別為滑?？刂?、PID控制下的矩形軌跡跟蹤曲線，可看出滑?？刂凭哂休^強(qiáng)的抗干擾能力，抗干擾能力優(yōu)于反步控制及PID控制。圖6為本文所設(shè)計(jì)的基于ESO的魯棒跟蹤算法下的系統(tǒng)軌跡跟蹤曲線，由于采用ESO對(duì)系統(tǒng)復(fù)合干擾進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)，并在控制律中進(jìn)行補(bǔ)償，可以基本上消除復(fù)合干擾對(duì)跟蹤性能的影響，跟蹤效果良好。圖7為在相同干擾下各種不同四旋翼控制算法的誤差絕對(duì)值曲線?？煽闯霰疚乃惴ㄝ^其他3種算法具有一定優(yōu)勢(shì)。

圖4 滑模控制矩形軌跡跟蹤曲線

圖5 PID控制矩形軌跡跟蹤曲線

圖6 本文算法矩形軌跡跟蹤曲線

圖7 x軸誤差曲線對(duì)比

圖9為本文算法下的系統(tǒng)滾轉(zhuǎn)角和俯仰角曲線，可以看出，在相同復(fù)合干擾條件下，滾轉(zhuǎn)角和俯仰角較圖8穩(wěn)定。圖10為本文算法對(duì)復(fù)合干擾的估計(jì)，可見系統(tǒng)可在短時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)對(duì)復(fù)合干擾的精確跟蹤。

圖8 傳統(tǒng)反步控制矩形軌跡跟蹤姿態(tài)角曲線

圖9 本文算法矩形軌跡跟蹤姿態(tài)角曲線

圖10 復(fù)合干擾估計(jì)曲線

4.2 圓形軌跡跟蹤仿真

矩形軌跡指令為

系統(tǒng)復(fù)合干擾與矩形軌跡跟蹤相同。圖11～圖13分別為反步控制、滑?？刂啤ID控制下的圓形軌跡跟蹤曲線，可看出滑模控制具有較強(qiáng)的抗干擾能力，優(yōu)于反步控制及PID控制。圖14為本文算法的圓形軌跡跟蹤曲線，較其他3種算法具有優(yōu)勢(shì)。圖15為系統(tǒng)x軸誤差絕對(duì)值曲線，可見本文算法誤差最小，較其他算法有一定優(yōu)勢(shì)。圖16為反步控制下的滾轉(zhuǎn)角和俯仰角曲線，對(duì)系統(tǒng)復(fù)合干擾魯棒性較弱。圖17為本文算法下的滾轉(zhuǎn)角和俯仰角曲線，其穩(wěn)定性優(yōu)于反步控制。圖18為系統(tǒng)相頻率特性曲線，在系統(tǒng)中加入相同延時(shí)的情況下，本文算法的相角滯后小于反步控制，具有一定的相位魯棒性。圖19為進(jìn)行的自主定點(diǎn)定高懸停飛行試驗(yàn)。

圖11 反步控制圓形軌跡跟蹤曲線

圖12 滑模控制圓形軌跡跟蹤曲線

圖13 PID控制圓形軌跡跟蹤曲線

圖14 本文算法圓形軌跡跟蹤曲線

圖15 x軸誤差曲線對(duì)比

圖16 傳統(tǒng)反步控制圓形軌跡跟蹤姿態(tài)角曲線

圖17 本文算法圓形軌跡跟蹤姿態(tài)角曲線

圖18 系統(tǒng)相頻特性曲線對(duì)比

圖19 實(shí)際四旋翼飛行器定點(diǎn)定高實(shí)驗(yàn)

5 結(jié) 語

本文針對(duì)欠驅(qū)動(dòng)四旋翼飛行器，從實(shí)際應(yīng)用角度出發(fā)，針對(duì)傳統(tǒng)控制中存在的問題，提出一種基于ESO的魯棒控制策略，該算法只需測量實(shí)際狀態(tài)輸出，就可以精確估計(jì)系統(tǒng)建模誤差和外界干擾，在實(shí)際應(yīng)用中易于實(shí)現(xiàn)，該算法將估計(jì)出的復(fù)合干擾作為控制量的一部分，這樣就可以實(shí)時(shí)估計(jì)和實(shí)時(shí)補(bǔ)償復(fù)合干擾對(duì)系統(tǒng)跟蹤性能的影響，從而提高系統(tǒng)抗復(fù)合干擾的能力。最后本文分兩種情況對(duì)該算法進(jìn)行仿真驗(yàn)證，通過和其他四旋翼控制算法的對(duì)比得出，該算法具有更好的跟蹤性能，其抗干擾能力更優(yōu)。

目前已經(jīng)完成實(shí)際飛行控制器的研發(fā)，并可實(shí)現(xiàn)簡單的自主飛行，例如按照規(guī)劃航跡自主飛行和定點(diǎn)懸停飛行等，接下來將會(huì)進(jìn)一步研究，將本文算法及其他先進(jìn)控制思想運(yùn)用到實(shí)際飛行控制器中。

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Robust trajectory tracking control for underactuated quadrotor UAV based on ESO

YANG Li-ben1，2，ZHANG Wei-guo1，2，HUANG De-gang1，2
（1.Department of Automatic Control，Northwestren Polytechnical University，Xi'an 710129，China；2.Flight Control and Simulation Technology Laboratory of Shannxi Province，Xi'an 710129，China）

For the system characteristics of the underactuated quadrotor unmanned aerial vehicle（UAV），in order to solve the weakness of the traditional control method of quadrotor UAV，such as the strong coupling of the system state，the influence of the modeling errors for the control accuracy and the weakness of the anti-interference ability，a robust trajectory tracking algorithm based on extended state observer（ESO）is designed.The interference is estimated by ESO，and the algorithm composites the interference in the control law.Because the extended state observer requires only to measure the output of the system，it is easy to implement in actual system.Simulation study is carried out in two different cases（circular and rectangular trajectory tracking），and the simulation results verify the effectiveness of the proposed algorithm.

underactuated；extended state observer（ESO）；anti-interference；trajectory tracking

TP 273 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A DOI：10.3969／j.issn.1001-506X.2015.09.22

楊立本（1982-），男，講師，博士研究生，主要研究方向?yàn)榍夫?qū)動(dòng)飛行器自主控制及容錯(cuò)控制。

E-mail：yangliben0880＠163.com

章衛(wèi)國（1956-），男，教授，博士，主要研究方向?yàn)橄冗M(jìn)飛行控制方法、容錯(cuò)飛行控制方法。

E-mail：zhangwg＠nwpu.edu.cn

黃得剛（1986-），男，博士研究生，主要研究方向?yàn)轸敯麸w行控制方法、自主飛行控制方法。

E-mail：hdg0216＠163.com

1001-506X（2015）09-2102-07

2014-09-18；

2014-10-31；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2014-11-20。

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http：／／www.cnki.net／kcms／detail／11.2422.TN.20141120.2106.006.html

國家自然科學(xué)基金（61374032）；陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計(jì)劃青年人才項(xiàng)目（2013JQ8026）資助課題

文章編號(hào)：1001-506X（2015）09-2109-06