基于魯棒最優(yōu)方法的無人機(jī)動(dòng)態(tài)投影控制

朱 熠，陳 欣，李春濤，楊 藝

（南京航空航天大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，江蘇南京210016）

基于魯棒最優(yōu)方法的無人機(jī)動(dòng)態(tài)投影控制

朱 熠，陳 欣，李春濤，楊 藝

（南京航空航天大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，江蘇南京210016）

以某型大展弦比無人機(jī)為研究對象，設(shè)計(jì)了基于魯棒最優(yōu)理論和動(dòng)態(tài)投影方法的補(bǔ)償控制器。首先采用魯棒伺服線性二次型調(diào)節(jié)器方法，通過全狀態(tài)反饋構(gòu)建滿足最優(yōu)性能指標(biāo)的參考系統(tǒng)，然后采用輸出反饋和動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器替代全狀態(tài)反饋，重構(gòu)出具備參考系統(tǒng)全部最優(yōu)特征結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)投影控制系統(tǒng)。重點(diǎn)闡述了通過動(dòng)態(tài)投影控制方法進(jìn)行系統(tǒng)極點(diǎn)配置的具體步驟，并分析了動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的自由矩陣參數(shù)對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。仿真結(jié)果表明，與常規(guī)比例 積分 微分控制方法相比，所設(shè)計(jì)的動(dòng)態(tài)投影控制系統(tǒng)具有更強(qiáng)的穩(wěn)定性與更好的瞬態(tài)響應(yīng)特性。

無人機(jī)控制；動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器；魯棒最優(yōu)控制；投影控制

0 引 言

無人機(jī)的控制問題是無人機(jī)技術(shù)研究領(lǐng)域的關(guān)鍵問題之一。隨著近年來無人機(jī)技術(shù)的飛速發(fā)展，無人機(jī)氣動(dòng)布局的種類與所執(zhí)行任務(wù)的內(nèi)容日趨復(fù)雜，無人機(jī)控制要求進(jìn)一步提高，控制系統(tǒng)既需要具有良好的控制品質(zhì)，又要求控制方法本身具有工程應(yīng)用的可行性。

就目前國內(nèi)外研究現(xiàn)狀而言，無人機(jī)的控制方法在理論上較為先進(jìn)的有非線性動(dòng)態(tài)逆控制、模糊／智能控制、自適應(yīng)控制等［1］；而在實(shí)際工程應(yīng)用中取得廣泛應(yīng)用的控制方法，除常規(guī)的比例-積分-微分（proportion integration differentiation，PID）控制及其改進(jìn)型以外［2］，主要有最優(yōu)理論、魯棒控制方法等［3］。其中較為典型的有文獻(xiàn)［4-5］提出的魯棒伺服線性二次型調(diào)節(jié)器（linear quadratic regulator，LQR）控制方法和L1自適應(yīng)方法，并多次成功應(yīng)用在導(dǎo)彈、小型飛行器的自動(dòng)駕駛儀上。首先在導(dǎo)彈的控制上應(yīng)用了投影控制方法以增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性和抗擾動(dòng)性能［67］。投影控制方法由J.Medanic提出［8］，可分為基于輸出反饋的靜態(tài)投影控制與基于動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的動(dòng)態(tài)投影控制兩種。近年來，文獻(xiàn)［9］對動(dòng)態(tài)投影控制的參數(shù)設(shè)計(jì)過程進(jìn)行了優(yōu)化與改進(jìn)。

本文將魯棒最優(yōu)方法中的魯棒伺服LQR控制與投影控制中的動(dòng)態(tài)投影控制方法相結(jié)合，充分發(fā)揮魯棒伺服LQR控制系統(tǒng)響應(yīng)的快速性和較強(qiáng)魯棒性的優(yōu)勢，將所得最優(yōu)閉環(huán)系統(tǒng)視為參考系統(tǒng)，在此基礎(chǔ)上采用動(dòng)態(tài)投影控制，只選擇傳感器可測量的反饋信號，利用動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器和輸出反饋對控制系統(tǒng)進(jìn)行重構(gòu)，保留參考系統(tǒng)的最優(yōu)閉環(huán)特征結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)控制品質(zhì)最優(yōu)化和控制方法可行性的統(tǒng)一。

1 無人機(jī)模型

被控?zé)o人機(jī)對象為某型大展弦比無人機(jī)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)與動(dòng)力學(xué)理論，獲得無人機(jī)6自由度非線性數(shù)學(xué)模型的12個(gè)微分方程［10］，即線動(dòng)力學(xué)方程組（.σ，.v，.w），角動(dòng)力學(xué)方程組（.p，.q，.r），線運(yùn)動(dòng)學(xué)方程組（.Xe，.Ye，.Ze），角運(yùn)動(dòng)學(xué)方程組（φ，θ，）。以x＝［φ，θ，，σ，v，w，p，q，r，Xe，Ye，Ze］T為狀態(tài)變量，分別表示滾轉(zhuǎn)角、俯仰角、偏航角、機(jī)體軸向速度、側(cè)向速度、法向速度、滾轉(zhuǎn)角速度、俯仰角速度、偏航角速度、縱向位移、側(cè)向位移和高度?？刂谱兞繛閡＝［δe，δa，δT］T，分別表示升降舵偏角、副翼偏角和發(fā)動(dòng)機(jī)油門。無人機(jī)的氣動(dòng)參數(shù)由風(fēng)洞試驗(yàn)的氣動(dòng)數(shù)據(jù)庫獲得，構(gòu)建成無人機(jī)6自由度非線性數(shù)學(xué)模型。

由于大展弦比構(gòu)型的無人機(jī)在橫側(cè)向穩(wěn)定性較強(qiáng)，縱向可控性和長周期響應(yīng)相對較差，所以本例中重點(diǎn)控制縱向模態(tài)。根據(jù)無人機(jī)非線性模型與性能特性，選取配平狀態(tài)為：迎角2°，速度100 m／s，高度1 000 m?？v向線性化狀態(tài)空間模型［11］為

式中，x∈R4；u∈R1；y∈R4；A、C為4階方陣；B為4×1階矩陣；D為4×1階零矩陣。其中所選取狀態(tài)變量為俯仰角θ，機(jī)體軸前向速度σ、垂向速度w，俯仰角速率q；輸出變量為俯仰角速率q，迎角α，俯仰角θ，高度變化率.H；輸入變量為升降舵變化率δe。

2 控制系統(tǒng)的總體結(jié)構(gòu)

控制系統(tǒng)采用魯棒伺服LQR方法與動(dòng)態(tài)投影控制相結(jié)合的結(jié)構(gòu)，總體結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 控制系統(tǒng)總體結(jié)構(gòu)圖

從圖1中可以看出，魯棒伺服LQR方法由“魯棒伺服主控制器”和“LQR狀態(tài)反饋”兩部分組成?！棒敯羲欧骺刂破鳌蓖ㄟ^將積分環(huán)節(jié)引入到控制律的前向回路，增加了系統(tǒng)的型別，增強(qiáng)了控制器對擾動(dòng)和對象未建模模態(tài)的適應(yīng)能力，使系統(tǒng)具備了無靜差指令跟蹤的能力?！癓QR狀態(tài)反饋”環(huán)節(jié)通過最優(yōu)LQR方法配置出系統(tǒng)最優(yōu)的特征極點(diǎn)，增大系統(tǒng)的幅值裕度和相角裕度，提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性。

在實(shí)際過程中，用于“LQR狀態(tài)反饋”的機(jī)體軸前向速度σ和垂向速度w的信號較難測得，而與兩者變化關(guān)系密切的迎角α的信號雖然在輸出變量之中，但是一般也不易精確測量。故為保證實(shí)用性，控制u′2不能直接使用。

圖1中的“動(dòng)態(tài)投影補(bǔ)償控制器”包含了輸出反饋和動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器兩個(gè)部分，其本質(zhì)目的是通過動(dòng)態(tài)投影控制的方法構(gòu)建出可以代替u′2的u2，即重構(gòu)出“LQR狀態(tài)反饋”的閉環(huán)特征結(jié)構(gòu)。動(dòng)態(tài)投影控制所需要的反饋?zhàn)兞恐挥懈┭鼋铅群透叨茸兓?H，均為常用的反饋信號，用較少的反饋?zhàn)兞繉?shí)現(xiàn)全狀態(tài)的反饋的閉環(huán)特征結(jié)構(gòu)。

在設(shè)計(jì)過程中，首先令u2＝0，即u＝u1+u′2，應(yīng)用魯棒伺服LQR方法得到具有最優(yōu)閉環(huán)特征結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)作為參考系統(tǒng)。然后通過“動(dòng)態(tài)投影補(bǔ)償控制器”重構(gòu)出參考系統(tǒng)的特征結(jié)構(gòu)以u2代替u′2，此時(shí)令u′2＝0。不難發(fā)現(xiàn)，在應(yīng)用動(dòng)態(tài)投影控制的過程中保留了“魯棒伺服主控制器”這一項(xiàng)，這是因?yàn)樵擁?xiàng)的控制參數(shù)獨(dú)立于LQR狀態(tài)反饋，且反饋的是輸出俯仰角變量θ，故不必應(yīng)用投影控制對該項(xiàng)進(jìn)行重構(gòu)。

3 動(dòng)態(tài)補(bǔ)償投影控制原理

3.1 魯棒伺服LQR原理

魯棒伺服LQR控制的實(shí)質(zhì)是在LQR狀態(tài)反饋框架的基礎(chǔ)上，在命令偏差之后增加一個(gè)積分器，并對系統(tǒng)狀態(tài)空間方程進(jìn)行增廣，對于常值輸入系統(tǒng)，其結(jié)構(gòu)如圖2所示。

圖2 魯棒伺服系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

定義優(yōu)化指標(biāo)函數(shù)為

確定Q和R后，解黎卡提方程，得到反饋控制增益為

式中，KI代表指令誤差的積分反饋增益項(xiàng)，即圖1中魯棒伺服主控制參數(shù)；Kx代表LQR狀態(tài)反饋的增益項(xiàng)。

最終控制信號u可由μ的積分求得

控制器型別等價(jià)于系統(tǒng)積分個(gè)數(shù)，該參數(shù)取決于指令信號的類型。對于常值指令來說，只需要增加一個(gè)積分，產(chǎn)生1型系統(tǒng)。而對于斜坡輸入來說，需要增加兩個(gè)積分產(chǎn)生2型系統(tǒng)來保證系統(tǒng)指令的跟蹤。本例中考慮將輸入設(shè)為常值，則系統(tǒng)可轉(zhuǎn)化為

式中，Cc、Dc分別為原狀態(tài)空間方程的C、D陣中與作為積分誤差信號的輸出反饋?zhàn)兞肯鄬?yīng)的行向量所組成的矩陣。

3.2 動(dòng)態(tài)投影控制原理

投影控制的目標(biāo)是通過極點(diǎn)配置的方法重構(gòu)出參考系統(tǒng)的全部或主體（部分）特征結(jié)構(gòu)。當(dāng)只需要獲得參考系統(tǒng)的主體參考結(jié)構(gòu)（非全部）時(shí)，采用靜態(tài)投影控制就可以完成控制目標(biāo)；當(dāng)需要獲得參考系統(tǒng)的全部特征結(jié)構(gòu)時(shí)，則需要增加動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器，構(gòu)成動(dòng)態(tài)投影控制。

對于靜態(tài)投影控制，建議應(yīng)用于戰(zhàn)斗機(jī)外形布局的無人機(jī)，因?yàn)殪o態(tài)投影控制不增加系統(tǒng)維數(shù)（閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)不變），可以充分發(fā)揮戰(zhàn)斗機(jī)的快速性和機(jī)動(dòng)性；在本例中，由于對象無人機(jī)為大展弦比布局，續(xù)航時(shí)間長、全包線范圍內(nèi)非線性特性明顯，故需采用動(dòng)態(tài)投影控制以率先保證飛行的穩(wěn)定性。動(dòng)態(tài)輸出反饋投影控制的結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 動(dòng)態(tài)輸出反饋投影控制結(jié)構(gòu)

為了擴(kuò)展系統(tǒng)的特征結(jié)構(gòu)，可以采用如式（6）形式的p階動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器。

式中，｛Hd，Dd｝給定；｛Nd，Kd｝是所需求得的控制參數(shù)。結(jié)合式（1）和式（6）可得閉環(huán)系統(tǒng)為

｛Nd，Kd｝的選擇取決于｛Hd，Dd｝，為了選擇合適的｛Nd，Kd｝，考慮動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的閉環(huán)系統(tǒng)與LQR全狀態(tài)反饋系統(tǒng)的等價(jià)性，以及u＝－Kxx，可得目標(biāo)系統(tǒng)為

式中，F(xiàn)＝A－BK即LQR狀態(tài)反饋所得的最優(yōu)參考系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)矩陣。對給定的｛Hd，Dd｝，系統(tǒng)式（10）就可以將系統(tǒng)狀態(tài)矩陣Fe按照約旦標(biāo)準(zhǔn)型（Jordan）分解為

式中，ΛH表示閉環(huán)系統(tǒng)中與動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器狀態(tài)對應(yīng)的等個(gè)數(shù)（動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器階數(shù)p）的特征值對角陣；Λ表示與參考系統(tǒng)F相對應(yīng)的等個(gè)數(shù)的特征值對角陣。選擇p+r維特征值，則式中的Λe可分解為

且式（13）成立。

再根據(jù)靜態(tài)投影法則［12］

并考慮維數(shù)對應(yīng)的關(guān)系，可得保留了參考系統(tǒng)p+r個(gè)特征值的控制輸出為

下面對所得系統(tǒng)進(jìn)行進(jìn)一步分析，對于所設(shè)計(jì)的閉環(huán)系統(tǒng)

其譜為S｛Ace｝＝Λr∪Λp∪S｛Are｝，其中

且VeYe＝In－r。Are即表征了原系統(tǒng)剩余的特征結(jié)構(gòu)。Ve和Ye由式（17）定義。

當(dāng)Are是Hurwitz矩陣（所有特征值均在左半平面）的時(shí)候，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。那么就會(huì)有一個(gè)問題：只要給定一組｛Hd，Dd｝，系統(tǒng)剩余的特征結(jié)構(gòu)（譜）也就確定了，這并不能保證所得的Are一定是Hurwitz矩陣，即還不能保證系統(tǒng)在極點(diǎn)配置結(jié)束之后剩余狀態(tài)是穩(wěn)定的。為了解決此問題，需要根據(jù)式（13），建立｛Hd，Dd｝和｛wp，wr｝間的聯(lián)系，并充分利用可設(shè)計(jì)自由度，由式（13）可得

在｛Hd，Dd｝給定的情況下，式（18）是關(guān)于｛wp，wr｝的解耦Sylvester矩陣方程；當(dāng)｛wp，wr｝被看作是自由變量時(shí)，式（18）是關(guān)于｛Hd，Dd｝的耦合線性方程；當(dāng)可設(shè)計(jì)的自由度與wr為一一對應(yīng)關(guān)系時(shí)，wp與表征同一控制器中其他相類似部分的特征結(jié)構(gòu)的自由度相對應(yīng)。為了能選擇出合理的參數(shù)，引入中間變量［9］

并定義自由參數(shù)矩陣P∈Rp×r，則由式所表示的控制器所有參數(shù)｛Hd，Dd，Nd，Kd｝就可表示為

4 控制參數(shù)設(shè)計(jì)

參數(shù)設(shè)計(jì)的過程主要有3個(gè)步驟：

步驟1 確定魯棒伺服LQR控制的參數(shù)，得出投影控制的閉環(huán)參考系統(tǒng)；

步驟2 求取動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的傳遞函數(shù)，為設(shè)計(jì)補(bǔ)償器參數(shù)做準(zhǔn)備；

步驟3 進(jìn)行動(dòng)態(tài)投影控制的極點(diǎn)配置。

4.1 Q陣和R陣參數(shù)

魯棒伺服LQR的關(guān)鍵參數(shù)是反饋矩陣Q陣和R陣，通過Q陣和R陣計(jì)算反饋增益。為了觀察Q陣和R陣對響應(yīng)曲線的影響，對R陣和Q陣的參數(shù)進(jìn)行大范圍的仿真，以說明Q陣和R陣的選取對響應(yīng)結(jié)果的影響。由于魯棒伺服方法具有較強(qiáng)的魯棒性，所以可以直接根據(jù)階躍響應(yīng)結(jié)果分析參數(shù)影響。

本例中R陣為常值變量，R的取值與階躍響應(yīng)的關(guān)系曲線如圖4所示（仿真初始條件為迎角2°，高度1 km）。從圖4中可以看出，隨著R值的增大，俯仰角的響應(yīng)時(shí)間逐漸滯后，迎角和俯仰角速率的響應(yīng)幅值有逐漸減小的趨勢。綜合考慮R值在1～20內(nèi)都可以接受。

本例中Q為5階對角陣，分別以Q（1）～Q（5）表示Q陣的5個(gè)對角元，逐個(gè)進(jìn)行了大范圍參數(shù)仿真。以Q（1）參數(shù)為例（仿真條件同樣為迎角2°，高度1 km），其響應(yīng)曲線如圖5所示。

圖4 R的取值與階躍響應(yīng)的關(guān)系曲線

圖5 Q（1）參數(shù)取值與階躍響應(yīng)的關(guān)系曲線

從關(guān)于Q（1）參數(shù)變化時(shí)的階躍響應(yīng)曲線可以看出，總體控制效果都不錯(cuò)，進(jìn)一步分析可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)Q（1）＝1時(shí)，響應(yīng)曲線相對Q（1）＝11時(shí)有較大的響應(yīng)延遲；而當(dāng)Q（1）＞20時(shí)，系統(tǒng)的超調(diào)量又有明顯增加，所以綜合來看，Q（1）取6～18都是比較好的。對于Q陣的另外4個(gè)參數(shù)，Q（2）、Q（5）對階躍響應(yīng)的影響較??；隨著Q（3）的增大，響應(yīng)曲線的形狀不變，幅值逐漸減小，根據(jù)階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差接近于0的要求，Q（3）取1最為恰當(dāng)。隨著Q（4）的增大，響應(yīng)時(shí)間逐漸延遲，所以取Q（4）＝1即可。

4.2 補(bǔ)償器等效傳遞函數(shù)

為仿真不同參數(shù)下的系統(tǒng)響應(yīng)，需求出動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的等效傳遞函數(shù)，推導(dǎo)過程如圖6所示。

圖6 動(dòng)態(tài)投影補(bǔ)償器回路結(jié)構(gòu)

圖6中，［x′1，x′2］T為動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的狀態(tài)變量，設(shè)

從圖6可得補(bǔ)償器輸入為

且有

即

解得

為簡化計(jì)算，設(shè)舵機(jī)環(huán)節(jié)為1，即近似認(rèn)為補(bǔ)償器輸出信號u2＝δ′e直接反饋接入升降舵，可得輸出信號為

4.3 極點(diǎn)配置

極點(diǎn)配置是動(dòng)態(tài)投影控制中最為關(guān)鍵的問題，由動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器式（6）可知，動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的維數(shù)為p（也就是z的維數(shù)），該維數(shù)是根據(jù)控制需要靈活選取的。本例中輸出反饋是2維，系統(tǒng)狀態(tài)是4維，故還需要配置的極點(diǎn)維數(shù)就是2維。又因?yàn)閯?dòng)態(tài)補(bǔ)償器是在系統(tǒng)狀態(tài)的基礎(chǔ)上擴(kuò)展的，所以閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)就變成了6維（2+4），如果再加上用作魯棒伺服積分反饋（即圖1中的魯棒伺服主控制器）的狀態(tài)則一共6+1＝7維。在極點(diǎn)配置的過程中，可以直接針對擴(kuò)展后的6維系統(tǒng)進(jìn)行極點(diǎn)配置，而不必考慮魯棒伺服積分反饋項(xiàng)（該項(xiàng)的控制參數(shù)獨(dú)立于LQR狀態(tài)反饋）。具體的極點(diǎn)配置過程如下。

（1）確定擴(kuò)展系統(tǒng)維數(shù)

目標(biāo)參考系統(tǒng)為原狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)：A－BKX，其特征值為：－3.409 9±4.286 6i，－1.537 9，－0.021 0。如果只采用靜態(tài)投影控制，那么需要至少可以反饋3個(gè)輸出變量，可以配置3個(gè)目標(biāo)極點(diǎn)；假設(shè)條件進(jìn)一步苛刻，只能反饋兩個(gè)輸出變量進(jìn)行極點(diǎn)配置，那么為了保持較好的控制品質(zhì)，剩余的兩個(gè)目標(biāo)極點(diǎn)必須由動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的狀態(tài)來配置，故需要采用動(dòng)態(tài)投影控制。選取動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的維數(shù)p＝2。擴(kuò)展后閉環(huán)系統(tǒng)為6維，狀態(tài)空間方程如式（10）所示。

（2）選擇反饋?zhàn)兞?/p>

根據(jù)式（13）選擇反饋?zhàn)兞颗c目標(biāo)特征結(jié)構(gòu)，Λp是動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的狀態(tài)所配置的極點(diǎn)，維數(shù)為2，也是z和Hd的維數(shù)；Λr為輸出反饋所需要配置的目標(biāo)特征值，維數(shù)為2；ws、Xs和Λs這3項(xiàng)表示的是擴(kuò)展系統(tǒng)的剩余特征結(jié)構(gòu)，由于F本身是4維，由輸出反饋配置了2維，故剩余2維。根據(jù)式（13）的特征值分塊，可以選擇輸出反饋（第3、4個(gè)輸出）配置目標(biāo)特征結(jié)構(gòu)中的前兩個(gè)特征極點(diǎn)，則有

用動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器的兩個(gè)維度配置參考系統(tǒng)特征結(jié)構(gòu)中的第3、4兩個(gè)特征極點(diǎn)，所以

（3）計(jì)算參數(shù)N0、B0

由式（19）可計(jì)算出N0、B0。特別地，當(dāng)Xp為0向量時(shí)，B0也為0矩陣，則Kd參數(shù)只與N0有關(guān)，即Kd＝KN0＝KXXr（CCXr）－1，此時(shí)該控制系統(tǒng)相當(dāng)于退化成了靜態(tài)投影控制，即等價(jià)于式（14）的靜態(tài)投影法則。

（4）計(jì)算參數(shù)Hd、Dd、Nd、Kd

參數(shù)Hd、Dd、Nd、Kd由式（20）計(jì)算，需先選擇合適的矩陣P。P稱為自由參數(shù)矩陣，因?yàn)闃O點(diǎn)配置的成功只與N0、B0的正確求解有關(guān)，而與P陣的選取無關(guān)。但是P陣也不能隨便選取，因?yàn)樗绊懽罱K閉環(huán)系統(tǒng)中除去目標(biāo)極點(diǎn)以外的剩余狀態(tài)的極點(diǎn)Λs，選擇P的目的就是使最終閉環(huán)系統(tǒng)剩余的自由狀態(tài)的極點(diǎn)保持穩(wěn)定。

為了簡化計(jì)算，設(shè)P為對角矩陣，記P1、P2為對角元。根據(jù)式（21）和式（22）的關(guān)系，將通過P陣計(jì)算出的動(dòng)態(tài)投影控制器相關(guān)參數(shù)代回?zé)o人機(jī)反饋回路，考查不同參數(shù)情況下的系統(tǒng)響應(yīng)情況以及魯棒性?？梢园l(fā)現(xiàn)當(dāng)P1為正值時(shí)，系統(tǒng)不穩(wěn)定，故P1應(yīng)為負(fù)值，P1參數(shù)變化對頻域幅值裕度和相角裕度的影響如圖7和圖8所示。

圖7 P1參數(shù)影響下的幅值裕度曲線

從圖中曲線可以看出，P1參數(shù)變化時(shí)，幅值裕度與相角裕度都有逐漸減小的趨勢，但是P1也并非取在端點(diǎn)值時(shí)候最好，因?yàn)镻1如果取值過大會(huì)造成補(bǔ)償器剩余自由度所配極點(diǎn)的絕對值過大，將額外增加仿真程序運(yùn)行時(shí)間，也不利于系統(tǒng)響應(yīng)，故取中間值－20。

圖8 P1參數(shù)影響下的相角裕度曲線

P2參數(shù)變化時(shí)，仿真曲線幾乎沒有變化，說明P2參數(shù)對階躍響應(yīng)的影響更小，故選取P2值為1。本例中最終選取的P陣為

（5）最終配置的結(jié)果

由所算得參數(shù)，可得閉環(huán)系統(tǒng)為

Ace的極點(diǎn)為：－141.61，－3.409 9±4.286 6i，－1.537 9，－0.021 0，－0.196 6。可見原狀態(tài)反饋系統(tǒng)的4個(gè)特征極點(diǎn)“－3.409 9±4.286 6i，－1.537 9，－0.021 0”已經(jīng)完全得到保留，剩余2個(gè)極點(diǎn)－141.61和－0.196 6也可以使系統(tǒng)穩(wěn)定。

5 仿真分析

將通過線性化模型所設(shè)計(jì)的控制器參數(shù)代入非線性模型，并與常規(guī)PID控制的響應(yīng)曲線對比響應(yīng)效果，仿真結(jié)果如圖9～圖12所示。響應(yīng)曲線在時(shí)間上可以簡單的分為兩個(gè)過程。

（1）前5 s的初始動(dòng)態(tài)過程

前5 s是非線性模型在仿真過程中由于俯仰角的初值與設(shè)定值有所偏差所產(chǎn)生的動(dòng)態(tài)調(diào)整過程，由于系統(tǒng)初值為0且給定階躍信號的初值為2，故前5 s內(nèi)的動(dòng)態(tài)過程相當(dāng)于從0到2的階躍響應(yīng)過程。由于“飛機(jī)模型的非線性”“積分項(xiàng)的傳遞延遲”“配平條件的偏差”等不確定因素，其動(dòng)態(tài)過程也差于標(biāo)準(zhǔn)的階躍響應(yīng)，故該過程的飛行特性更能反映出控制器的控制效果。

圖9 俯仰角階躍響應(yīng)曲線

（2）10 s開始的給定階躍響應(yīng)過程

10 s開始是給定的俯仰角信號從2°到3°的階躍響應(yīng)過程。由于經(jīng)過前5 s這一過程的調(diào)整，飛機(jī)已經(jīng)進(jìn)入平飛過程中較為平衡的狀態(tài)，此時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)情況已經(jīng)變優(yōu)，接近于線性模型的仿真結(jié)果。

綜合圖9～圖12中全過程的仿真結(jié)果來看，由于樣例無人機(jī)模型的非線性特性較強(qiáng)，PID的控制效果無論在初始自整定過程還是階躍響應(yīng)的瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)特性上都已經(jīng)表現(xiàn)出了差強(qiáng)人意的一面。與此相比，動(dòng)態(tài)投影控制的仿真效果良好——超調(diào)量很小、動(dòng)態(tài)過程更平滑、穩(wěn)態(tài)誤差幾乎為零。動(dòng)態(tài)投影控制的不足之處是仿真曲線也存在輕微抖動(dòng)，這與所配置的系統(tǒng)剩余極點(diǎn)有關(guān)，如果更改P陣使得控制作用減少，則系統(tǒng)雖然抖動(dòng)的情況會(huì)有所好轉(zhuǎn)，但是動(dòng)態(tài)響應(yīng)效果會(huì)變差。故選擇動(dòng)態(tài)投影控制的參數(shù)時(shí)，一般要進(jìn)行多方面控制品質(zhì)要求的權(quán)衡與折衷。

圖10 俯仰角速率響應(yīng)曲線

圖11 迎角響應(yīng)曲線

圖12 高度變化率響應(yīng)曲線

6 結(jié) 論

通過設(shè)計(jì)基于魯棒最優(yōu)理論的動(dòng)態(tài)投影補(bǔ)償控制器，可以明顯改善樣例無人機(jī)的縱向長周期模態(tài)和動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性。與常規(guī)PID方法相比，基于魯棒最優(yōu)方法的投影控制可以有效增強(qiáng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，減少超調(diào)量，改善瞬態(tài)響應(yīng)。

仿真結(jié)果表明，通過對魯棒伺服LQR控制的閉環(huán)系統(tǒng)矩陣進(jìn)行約旦分解，并按照動(dòng)態(tài)投影控制理論選取對應(yīng)特征值和特征向量，可以由輸出反饋和動(dòng)態(tài)補(bǔ)償器完全重構(gòu)魯棒伺服LQR控制的全狀態(tài)反饋特征結(jié)構(gòu)。所設(shè)計(jì)的控制律可以提高系統(tǒng)的響應(yīng)效果，改善系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性品質(zhì)，而反饋的變量均為傳感器易于精確測量的物理量，實(shí)現(xiàn)了控制律設(shè)計(jì)的控制性能、控制品質(zhì)和可實(shí)施性的兼顧。

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UAV dynamic projective control method based on robust and optimal theories

ZHU Yi，CHEN Xin，LI Chun-tao，YANG Yi
（College of Automation Engineering，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China）

A control method for a unmanned aerial vehicle having large aspect ratio is proposed.A compensative controller is designed based on dynamic projective control method and robust-optimal theories.Firstly，a closed loop system of robust servomechanism linear quadratic regulator method is obtained by state feedback which is considered as a reference system.Then a method of dynamic projective control is adopted to reconstruct the whole characteristic structure of the reference system by output feedback and a dynamic compensator.The concrete steps of the pole placement by dynamic projective control method are expounded.Also，the influence of varying the free matrix of dynamic compensator is discussed.The result of simulation shows that the designed control system has remarkable transient performance and stability which is much better than ordinary control method.

unmanned aerial vehicle（UAV）control；dynamic compensator；robust-optimal control；projective control

V 249 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A DOI：10.3969／j.issn.1001-506X.2015.09.20

朱 熠（1986-），男，博士研究生，主要研究方向?yàn)橄冗M(jìn)飛行控制、無人機(jī)控制技術(shù)。

E-mail：zhuyi73＠126.com

陳 欣（1958-），男，研究員，博士，主要研究方向?yàn)橄冗M(jìn)無人機(jī)控制技術(shù)、空天飛機(jī)控制與制導(dǎo)技術(shù)、飛行控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)、自動(dòng)化檢測技術(shù)。

E-mail：chenxin＠nuaa.edu.cn

李春濤（1975-），男，副研究員，博士，主要研究方向?yàn)橄冗M(jìn)飛行控制技術(shù)、無人機(jī)控制技術(shù)、無人機(jī)實(shí)施航路規(guī)劃技術(shù)。

E-mail：lct115＠nuaa.edu.cn

楊 藝（1985-），男，博士研究生，主要研究方向?yàn)闊o人機(jī)機(jī)動(dòng)控制技術(shù)。

E-mail：kkndext＠126.com

1001-506X（2015）09-2088-08

2014-04-21；

2015-01-17；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2015-03-17。

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http：／／www.cnki.net／kcms／detail／11.2422.TN.20150317.0954.004.html

航空科學(xué)基金（20125852057）；江蘇省普通高校研究生科研創(chuàng)新計(jì)劃（CXLX12＿0159）資助課題