基于Markov延時(shí)的網(wǎng)絡(luò)化預(yù)測(cè)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)

董 哲，王 喆

（北方工業(yè)大學(xué) 電氣與控制工程學(xué)院，北京 100144）

1 概 述

隨著計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)的廣泛應(yīng)用和不斷發(fā)展，控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)也在發(fā)生變化。通常一個(gè)典型的控制系統(tǒng)包括傳感器、執(zhí)行器、被控對(duì)象和控制器等部分，控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)變化充分體現(xiàn)在這幾部分上。傳統(tǒng)的模擬硬接線方式正逐步被各式的通信網(wǎng)絡(luò)所取代，控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)從封閉的集中體系向開放的分布式體系演變發(fā)展。網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)（NCS）的出現(xiàn)是這一趨勢(shì)的集中體現(xiàn)，其一般指通過(guò)網(wǎng)絡(luò)形成閉環(huán)的反饋控制系統(tǒng)，基本結(jié)構(gòu)如圖1所示。NCS與傳統(tǒng)的點(diǎn)對(duì)點(diǎn)結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)相比，具有安裝與維護(hù)方便，系統(tǒng)靈活性強(qiáng)、高診斷能力，可以實(shí)現(xiàn)資源共享、遠(yuǎn)程操作與控制等優(yōu)點(diǎn)。

NCS有眾多優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)，也給控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)帶來(lái)了眾多新的問(wèn)題和挑戰(zhàn)，主要表現(xiàn)在以下方面：①在網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下，各節(jié)點(diǎn)共享信道且流量變化不規(guī)則，這必然會(huì)導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)延時(shí)，且延時(shí)大小具有隨機(jī)性和不確定性；②傳輸數(shù)據(jù)流經(jīng)眾多設(shè)備且路徑不位移，易導(dǎo)致數(shù)據(jù)包的亂序和丟包；③分布式的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)使各個(gè)部分無(wú)法共享同一時(shí)鐘，帶來(lái)了網(wǎng)絡(luò)同步問(wèn)題；④當(dāng)系統(tǒng)分布在較大的地域范圍中，使用公共的網(wǎng)絡(luò)設(shè)施進(jìn)行通訊時(shí)，如何保證信息安全準(zhǔn)確地到達(dá)成為不得不考慮的問(wèn)題。

圖1 NCS結(jié)構(gòu)圖

2 基于Markov延時(shí)的網(wǎng)絡(luò)化預(yù)測(cè)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與算法描述

文獻(xiàn)［1］提出了針對(duì)前向通道延時(shí)的網(wǎng)絡(luò)化預(yù)測(cè)控制（Networked Predictive Control，NPC），其基本思想是在控制端對(duì)未來(lái)時(shí)刻的若干步輸出進(jìn)行預(yù)測(cè)，進(jìn)而計(jì)算出未來(lái)若干步的控制量，并利用網(wǎng)絡(luò)包傳輸?shù)奶匦?，將此序列傳輸?shù)綀?zhí)行器端，在執(zhí)行器端設(shè)置足夠大小的緩沖區(qū)，通過(guò)判斷延時(shí)時(shí)間提取出合適的控制量輸出給控制對(duì)象。在這之后，文獻(xiàn)［2］、［3］、［4］又針對(duì)前向通道和反饋通道都存在延時(shí)的情況，分別基于狀態(tài)空間和多項(xiàng)式模型給出了穩(wěn)定性判據(jù)，并在實(shí)物對(duì)象上驗(yàn)證了NPC方法在網(wǎng)絡(luò)化控制中的可行性和有效性，證明它能夠很好地補(bǔ)償網(wǎng)絡(luò)延時(shí)帶來(lái)的影響。

但是，NPC方法也存在著弊端，即它要求更多的計(jì)算量，更多的網(wǎng)絡(luò)通訊量，更大的內(nèi)存空間，不僅帶來(lái)網(wǎng)絡(luò)資源的浪費(fèi)，也更易造成數(shù)據(jù)包的擁塞，進(jìn)而帶來(lái)更大的網(wǎng)絡(luò)延時(shí)。而且，NPC對(duì)硬件的計(jì)算能力也提出了更高的要求，在一些快速采樣系統(tǒng)中難于實(shí)現(xiàn)。因此本文在對(duì)實(shí)際網(wǎng)絡(luò)對(duì)象測(cè)試和分析的基礎(chǔ)上，著力尋找一種減少計(jì)算量、降低通訊量的方法，使其更易于在工程中推廣和應(yīng)用。

本文的主要思想為：將前向通道與反饋通道都有延時(shí)的NCS通過(guò)等效變換轉(zhuǎn)化為僅前向通道有延時(shí)的NCS，將網(wǎng)絡(luò)延時(shí)建模為Markov鏈，在每個(gè)控制周期，測(cè)量τsc與τca，并通過(guò)Markov狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣估算本時(shí)刻網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)延時(shí)的最大值和最小值。將網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)延時(shí)寫成兩部分之和，一部分恒定，一部分隨機(jī)變化，將恒定的網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)延時(shí)與系統(tǒng)延時(shí)相加作為等效系統(tǒng)延時(shí)，按時(shí)滯系統(tǒng)來(lái)處理。只對(duì)隨機(jī)變化的部分進(jìn)行預(yù)測(cè)，得到的預(yù)測(cè)控制序列輸出給執(zhí)行器，執(zhí)行器在預(yù)測(cè)序列中選擇對(duì)當(dāng)前時(shí)刻的預(yù)測(cè)值輸出。該方法的最大優(yōu)點(diǎn)是大幅減少了在網(wǎng)絡(luò)中傳輸?shù)臄?shù)據(jù)量，同時(shí)也減少了計(jì)算量。

2.1 基于廣義預(yù)測(cè)的網(wǎng)絡(luò)化控制器設(shè)計(jì)

在圖1所示的系統(tǒng)中，執(zhí)行器、傳感器、控制器為分布式結(jié)構(gòu)，它們通過(guò)計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)通訊，傳感器到控制器、控制器到執(zhí)行器之間的延時(shí)大小分別為τsc、τca?？紤]圖2所示的兩種結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)1是前向通道和反饋通道都有延時(shí)，結(jié)構(gòu)2僅前向通道有延時(shí)，反饋通道無(wú)延時(shí)。兩種結(jié)構(gòu)具有等效的傳遞函數(shù)，區(qū)別是：結(jié)構(gòu)1，在控制器C（z－1）處，延時(shí)dsc可得，結(jié)構(gòu)2，在控制器C（z－1）處，延時(shí)dsc不可得。因此，對(duì)于前向通道和反饋通道都有延時(shí)的NCS系統(tǒng)，可以按照僅前向通道有延時(shí)的系統(tǒng)來(lái)設(shè)計(jì)，在設(shè)計(jì)中可以充分利用已知的dsc信息。

圖2 網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的等效結(jié)構(gòu)圖

為了便于分析，對(duì)圖1所示的NCS做如下假設(shè)：

（1）τsc與τca隨機(jī)有界，將其離散化為系統(tǒng)采樣時(shí)間的整數(shù)倍后分別以dsc、τca表示，其中dsc可測(cè)，是已知量。dca有時(shí)變的上下界，分別記為dcamin（k）、dcamax（k）。

（2）傳感器、執(zhí)行器采用時(shí)間驅(qū)動(dòng)，控制器采用事件驅(qū)動(dòng)。

（3）網(wǎng)絡(luò)延時(shí)為Markov過(guò)程，具有對(duì)稱性，dca＝dac。

（4）數(shù)據(jù)傳輸過(guò)程中數(shù)據(jù)包帶有時(shí)間戳。

考慮SISO系統(tǒng)采用CARIMA模型描述：

由式（1）得

為了簡(jiǎn)單起見，常令C（z－1）＝1。采用目標(biāo)函數(shù)：

式中，N為預(yù)測(cè)時(shí)域長(zhǎng)度；λ為控制加權(quán)因子；yr（k＋d（k）＋j），j＝1，2，……，N，為輸出參考軌跡。

為了得到y(tǒng)（k＋d＋j），引入如下Diophantine方程：

其中：

其中g(shù)0，g1，…，gN－1是被控對(duì)象的脈沖響應(yīng)系數(shù)，為簡(jiǎn)化書寫，下面將多項(xiàng)式括號(hào)內(nèi)的z－1因子省略。由式（2）、（5）、（6）可得被控對(duì)象j步廣義預(yù)報(bào)方程：

取j＝1，2，……，N，將式（7）寫成向量矩陣形式：

其中：

考慮式（3）給出的性能指標(biāo)，寫成矩陣型式為：

注意到式（8）中E所代表的噪聲項(xiàng)全部來(lái)自將來(lái)時(shí)刻，采用期望算子，將式（8）代入式（9）中求偏導(dǎo)，可求得使式（9）最小的控制率增量的向量為：

在NCS中，如圖3所示，k時(shí)刻，控制器可以得到的數(shù)據(jù)為系統(tǒng)輸出y（k），y（k－1），…，及對(duì)應(yīng)的輸入數(shù)據(jù)u（k－d（k）），u（k－d（k）－1），…；無(wú)法得到的數(shù)據(jù)為系統(tǒng)輸出y（k＋1），…，y（k＋d（k）），及其對(duì)應(yīng)的輸入數(shù)據(jù)u（k－d（k）＋1），…，u（k）；需要預(yù)測(cè)并輸出的數(shù)據(jù)為u（k＋1），…，u（k＋N）。

圖3 NCS傳感器、控制器、執(zhí)行器時(shí)序圖

在式（10）中，F(xiàn)、H、G為參數(shù)矩陣，只和系統(tǒng)模型參數(shù)相關(guān)，Yr為輸出參考軌跡，Yb、Ub為k時(shí)刻可以得到的輸入輸出數(shù)據(jù)，通過(guò)這些已知數(shù)據(jù)可以計(jì)算得到U。向量U中（k－d（k）＋1｜k），…，（k｜k）為控制器對(duì)未知輸入信息的估計(jì)值，不需輸出給執(zhí)行器，（k＋1｜k），…，（k＋N｜k）為控制器對(duì)控制輸出的多步預(yù)測(cè)值，定義：

Kp為矩陣K的最后N行，則

ΔUp（k）即為控制器向執(zhí)行器傳送的預(yù)測(cè)控制序列。

2.2 基于Markov轉(zhuǎn)移矩陣的延時(shí)控制模型

NCS中的前向通道網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)延時(shí)以隨機(jī)變量τca來(lái)表示，τca的概率分布由 Markov鏈中的狀態(tài)給出。假設(shè)生成隨機(jī)變量τca的Markov鏈有s個(gè)狀態(tài)，即γk∈｛1，2，…，s｝，且假設(shè) Markov鏈的一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為Q＝｛qij｝，i，j∈｛1，2，…，s｝其中

Markov鏈的狀態(tài)概率為：

假設(shè)在k－n時(shí)刻，測(cè)得網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)延時(shí)為dr（k－n），則k時(shí)刻，網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)延時(shí)dr（k）的概率分布矢量為：

其中：

式中，m＝rank（Q），即π（k）為矩陣Qn的第dr（k－n）行。

網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)延時(shí)可以建模為Markov過(guò)程，而且其一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Q可以通過(guò)測(cè)試得到，且參數(shù)保持穩(wěn)定。當(dāng)Q確定后，即可由k－n時(shí)刻的網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)延時(shí)dca（k－n），得出k時(shí)刻的網(wǎng)絡(luò)誘導(dǎo)延時(shí)dca（k）的概率分布，進(jìn)而得到dcamax與dcamin。

在式（17）中，設(shè)置了容錯(cuò)區(qū)間β，β可以取0.05，β的設(shè)置能夠使dcamin增大，預(yù)測(cè)維度減小，如當(dāng)dca（kn）＝9，n＝4時(shí)，β取0時(shí)dcamin＝2，β取0.05時(shí)dcamin＝8，可以較大幅度減小數(shù)據(jù)傳輸量。但是，β的設(shè)置也會(huì)造成dca＜dcamin的情況，設(shè)該數(shù)據(jù)包到達(dá)執(zhí)行器的時(shí)刻為k，此時(shí)，包中的輸出預(yù)測(cè)序列不含有對(duì)k時(shí)刻的輸出值，在這種情況下，補(bǔ)償器將選擇使用以前時(shí)刻得到的輸出預(yù)測(cè)序列中對(duì)本時(shí)刻的預(yù)測(cè)值。這樣雖然帶來(lái)了一定的保守性，但由于該事件發(fā)生的概率很小，因此對(duì)控制性能影響甚微。

由2.1中假設(shè)（3），dca（k）可以使用dca（k）代替。為了得到dca（k），執(zhí)行期在每個(gè)采樣周期向控制器發(fā)送本地時(shí)間，控制器收到該數(shù)據(jù)的時(shí)刻為，控制器與執(zhí)行期已經(jīng)時(shí)鐘同步，因此時(shí)刻的延時(shí)，再利用式（15）、（16）、（17）計(jì)算dcamax（k）和dcamin（k），進(jìn)而計(jì)算出預(yù)測(cè)控制序列維數(shù)N。

Markov矩陣可以通過(guò)辨識(shí)得到，本文使用的網(wǎng)絡(luò)具有較強(qiáng)的Markov特性，其參數(shù)經(jīng)過(guò)一定時(shí)間辨識(shí)趨于穩(wěn)定，將此時(shí)的參數(shù)保存于控制器中，形成一個(gè)參數(shù)表?？刂破髟谏深A(yù)測(cè)序列前查表并運(yùn)算得到預(yù)測(cè)維數(shù)N（k）。

2.3 網(wǎng)絡(luò)延時(shí)補(bǔ)償器的設(shè)計(jì)

在2.1節(jié)中，控制器在每個(gè)采樣時(shí)刻k輸出一預(yù)測(cè)控制序列Up（k），該預(yù)測(cè)控制序列被封裝在一個(gè)數(shù)據(jù)包中，連同其時(shí)間戳k及參數(shù)d（k）一起發(fā)送至執(zhí)行器。在執(zhí)行器端，設(shè)置有一個(gè)延時(shí)補(bǔ)償器，它的功能是在已收到的數(shù)據(jù)包中找到含有對(duì)本時(shí)刻預(yù)測(cè)值的控制量。

假設(shè)在t時(shí)刻，執(zhí)行器從控制器端得到的預(yù)測(cè)序列共有m個(gè)，分別為：

則網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償器為：

按照以上規(guī)則，網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償器將從所有預(yù)測(cè)控制序列中找到由最后得到的傳感器數(shù)據(jù)計(jì)算出的對(duì)本時(shí)刻的預(yù)測(cè)值。

基于上述分析，給出如下的網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)控制系統(tǒng)的實(shí)現(xiàn)步驟，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)見圖4。

（1）建立被控系統(tǒng)的CARIMA模型。

（2）辨識(shí)出網(wǎng)絡(luò)的Markov狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。

（3）計(jì)算延時(shí)dac（k－n），并通過(guò) Markov狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算dcamax與dcamin。

（4）計(jì)算系統(tǒng)等效時(shí)延d（k）和預(yù)測(cè)控制序列維度N。

（5）根據(jù)式（10）計(jì)算控制輸出序列Um（k）。

（6）執(zhí)行器端設(shè)置網(wǎng)絡(luò)延時(shí)補(bǔ)償器，由式（19）計(jì)算控制輸出。

圖4 網(wǎng)絡(luò)化預(yù)測(cè)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)

3 直流電機(jī)的網(wǎng)絡(luò)化控制實(shí)驗(yàn)

針對(duì)上文所述的網(wǎng)絡(luò)化預(yù)測(cè)控制解決方案，在直流電機(jī)系統(tǒng)上進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)。實(shí)驗(yàn)涉及的硬件包括兩臺(tái)Netcon控制器，直流電機(jī)和驅(qū)動(dòng)器。一臺(tái)控制器與直流電機(jī)直接相連，作為網(wǎng)絡(luò)傳感器和網(wǎng)絡(luò)執(zhí)行器使用，位于北方工業(yè)大學(xué)，見圖5；另一臺(tái)控制器位于某研究所，它作為網(wǎng)絡(luò)化控制器使用。兩臺(tái)控制器基于無(wú)線網(wǎng)橋的IP網(wǎng)絡(luò)互相通訊。整個(gè)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)見圖6。

直流電機(jī)經(jīng)過(guò)辨識(shí)為一個(gè)含有純延時(shí)的一階系統(tǒng)，其模型為：

實(shí)驗(yàn)網(wǎng)絡(luò)經(jīng)過(guò)較長(zhǎng)時(shí)間的測(cè)試，基于無(wú)線網(wǎng)絡(luò)環(huán)境，辨識(shí)出了21階的一步Markov狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，見式（21）。

Z1，Z2分別為5×7、7×7階全0矩陣。

圖5 NetCon網(wǎng)絡(luò)化控制器與直流電機(jī)系統(tǒng)

圖6 網(wǎng)絡(luò)化控制實(shí)驗(yàn)結(jié)構(gòu)圖

預(yù)測(cè)控制序列生成器的最大前向預(yù)測(cè)長(zhǎng)度為20步，實(shí)際的預(yù)測(cè)長(zhǎng)度的均值為7.31步。比文獻(xiàn)［4］中采用的NPC方法的傳輸量減少了63.45%。當(dāng)發(fā)送數(shù)據(jù)維數(shù)為10時(shí)，控制程序運(yùn)行一個(gè)周期需要的時(shí)間為9 ms，當(dāng)發(fā)送數(shù)據(jù)維數(shù)為20時(shí)，控制程序運(yùn)行一個(gè)周期需要的時(shí)間為17 ms。預(yù)測(cè)長(zhǎng)度的縮小使系統(tǒng)能夠運(yùn)行于更高的采樣率下，使NPC方法能夠應(yīng)用于更快速的系統(tǒng)控制中。電機(jī)的階躍響應(yīng)曲線如圖7所示，可以看出使用本文中介紹的方法對(duì)于補(bǔ)償隨機(jī)網(wǎng)絡(luò)延時(shí)具有較好的效果。

4 結(jié) 論

本文針對(duì)無(wú)線網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)存在的延時(shí)，使用網(wǎng)絡(luò)化預(yù)測(cè)控制（NPC）方法，對(duì)延時(shí)進(jìn)行補(bǔ)償。針對(duì)以前文獻(xiàn)中NPC方法需要在網(wǎng)絡(luò)中傳送大規(guī)模預(yù)測(cè)序列，占用網(wǎng)絡(luò)帶寬大，運(yùn)算速度慢的缺點(diǎn)，對(duì)其進(jìn)行改進(jìn)。采用了維數(shù)自適應(yīng)的預(yù)測(cè)控制序列，基于Morkov過(guò)程對(duì)網(wǎng)絡(luò)建模，通過(guò)Markov狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣預(yù)測(cè)網(wǎng)絡(luò)延時(shí)情況，確定預(yù)測(cè)維度，有效減少了控制器發(fā)包的大小，使其能夠運(yùn)用于快速系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)化控制中。最后通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的可行性和有效性。

圖7 電機(jī)的階躍響應(yīng)曲線

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