利用拓?fù)鋬?yōu)化法解決設(shè)計(jì)優(yōu)化問(wèn)題

黃自豪，陳勁杰，田紹興

（上海理工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，上海 200093）

1 拓?fù)鋬?yōu)化

拓?fù)鋬?yōu)化技術(shù)是結(jié)構(gòu)優(yōu)化技術(shù)中非常有創(chuàng)新性，有前景的一項(xiàng)技術(shù)。具體是指：在給定空間內(nèi)找到最佳的材料分布或者傳力的路徑，在滿足各種性能的前提下可以得到重量最輕的設(shè)計(jì)，從而得到最優(yōu)化方法中需求的最優(yōu)解。

產(chǎn)品設(shè)計(jì)分為三個(gè)層次：結(jié)構(gòu)尺寸優(yōu)化。形狀優(yōu)化和拓?fù)鋬?yōu)化，尺寸優(yōu)化與形狀優(yōu)化已經(jīng)得到充分的發(fā)展，但它們卻存在著不能變更結(jié)構(gòu)拓?fù)涞娜毕荩谶@樣的背景下，人們開(kāi)始研究拓?fù)鋬?yōu)化。拓?fù)鋬?yōu)化的基本思想是將尋求結(jié)構(gòu)的最優(yōu)拓?fù)鋯?wèn)題轉(zhuǎn)化為在給定的設(shè)計(jì)區(qū)域內(nèi)尋求最有材料分布的問(wèn)題，拓?fù)鋬?yōu)化的基本原理是在滿足結(jié)構(gòu)體積縮減量的前提下使結(jié)構(gòu)柔度最小，極小化的柔度換言之就是結(jié)構(gòu)的最大剛度。尋求一個(gè)最佳的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)形式有兩種基本意愿：一種是退化原理，另一種是進(jìn)化原理。退化原理的基本思想是在優(yōu)化前將結(jié)構(gòu)所有桿單元或所有材料都加上，然后構(gòu)造適當(dāng)?shù)膬?yōu)化模型，通過(guò)一定的優(yōu)化方法逐步刪減那些不必要的結(jié)構(gòu)元素，直至最終得到一個(gè)最優(yōu)化的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)形式。進(jìn)化原理的基本思想是適者生存的生物進(jìn)化原理的基本思想，即把適者生存的生物進(jìn)化論思想引入結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化，它通過(guò)模擬適者生存、物競(jìng)天擇、優(yōu)勝劣汰等自然機(jī)理來(lái)獲得最優(yōu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

相比結(jié)構(gòu)優(yōu)化，拓?fù)鋬?yōu)化具有不需要人工定義優(yōu)化參數(shù)，而是自動(dòng)將材料分布當(dāng)著優(yōu)化參數(shù)，在應(yīng)用中我們只需要給出結(jié)構(gòu)的參數(shù)（材料特性、模型、載荷等）和要省去的材料百分比的特點(diǎn)。在進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化分析時(shí)，同其他分析一樣定義幾何結(jié)構(gòu)、有限元模型、載荷與邊界條件等，然后定義優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，從定義約束參數(shù)。拓?fù)鋬?yōu)化的目標(biāo)即目標(biāo)函數(shù)是在滿足給定的實(shí)際約束條件下（如體積減小）需要極大或極小化的參數(shù)，通常采用的目標(biāo)函數(shù)是結(jié)構(gòu)柔度能量極小化和基頻最大等。目前常使用的拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)方法可以分為兩大類：退化法和進(jìn)化法。退化法即傳統(tǒng)的拓?fù)鋬?yōu)化方法，一般通過(guò)求目標(biāo)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)或一系列迭代計(jì)算過(guò)程求最優(yōu)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。目前常用于拓?fù)鋬?yōu)化的退化法有基結(jié)構(gòu)方法、均勻化方法、變密度法等，需要強(qiáng)調(diào)的是本次研究運(yùn)用變密度法以機(jī)床頭架為例來(lái)分析優(yōu)化。

變密度法的基本算法及相關(guān)解釋：

式中，V為優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)體積；V0為結(jié)構(gòu)的初始體積；f為體積約束參數(shù)；K、C（x）、C′（x）分別為 RAMP模型的剛度矩陣、柔度函數(shù)和靈敏度函數(shù)。

在目標(biāo)函數(shù)以及約束條件中，x是設(shè)計(jì)變量，N為劃分的單元數(shù)目，C為結(jié)構(gòu)的柔度，C′為結(jié)構(gòu)的靈敏度，［K］為結(jié)構(gòu)的總剛度矩陣，［Ki］為第i個(gè)單元的單元?jiǎng)偠染仃嚕鸘｝為結(jié)構(gòu)的位移向量，｛Ui｝為第i個(gè)單元的位移向量，｛F｝為載荷向量。

在RAMP模型中，x和p是每個(gè)結(jié)構(gòu)單元的彈性模量的控制參數(shù)。當(dāng)x取不同值的時(shí)侯，中間密度單元不同會(huì)導(dǎo)致單元彈性模量參數(shù)有逼近0或E0的趨勢(shì)。

2 拓?fù)鋬?yōu)化實(shí)例解決優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題

下面將以機(jī)床頭架上的后蓋板零件為例解決優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。對(duì)于機(jī)床來(lái)說(shuō)，頭架是非常重要的部件，頭架的靜、動(dòng)態(tài)性能直接影響著機(jī)床加工精度，因此提高機(jī)床頭架的特性，對(duì)機(jī)床的加工精度，加工效率和加工質(zhì)量都有著十分重要的意義。由于頭架的設(shè)計(jì)都是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)，因此頭架的性能并沒(méi)有得到充分地開(kāi)發(fā)，使得頭架在設(shè)計(jì)時(shí)并沒(méi)有考慮材料的分布，結(jié)構(gòu)的合理性。通過(guò)計(jì)算分析，頭架的設(shè)計(jì)趨于保守，有著很大的優(yōu)化空間，在滿足加工所需要的強(qiáng)度、剛度和精度的條件下，對(duì)頭架進(jìn)行輕量化設(shè)計(jì)。材料的減少雖然會(huì)降低頭架的剛度，但會(huì)使得立柱的應(yīng)力分布均勻，工作中更加地穩(wěn)定，精度也得到了提高。這也是我們?cè)诮鉀Q最優(yōu)化問(wèn)題時(shí)的局部最優(yōu)解。

首先對(duì)零件進(jìn)行前處理，將后蓋板零件的Solidworks中得到的三維模型導(dǎo)入HyperMesh軟件中得到圖1所示的效果。

圖1 后蓋板模型圖

在HyperMesh軟件中完成單元網(wǎng)格的劃分如圖2所示，并且完成網(wǎng)格質(zhì)量的檢測(cè)如圖3所示，需要強(qiáng)調(diào)的是此軟件中可自動(dòng)檢測(cè)單元網(wǎng)格的質(zhì)量，顯示綠色為合格。

圖2 后蓋板單元網(wǎng)格劃分圖

圖3 后蓋板零件網(wǎng)格質(zhì)量檢測(cè)圖

在得到已經(jīng)劃分好單元網(wǎng)格的零件后，對(duì)其賦予密度，材料，泊松比以及楊氏彈性模量等材料特性。接著依據(jù)零件的受力計(jì)算得到圖4所示的集中力作用值，同時(shí)確定其約束情況；在完成拓?fù)鋮?shù)的創(chuàng)建后，進(jìn)行體積響應(yīng)與位移響應(yīng)的創(chuàng)建，其中前者為拓?fù)鋬?yōu)化計(jì)算中的目標(biāo)，而后者為拓?fù)鋬?yōu)化計(jì)算中的約束。

圖4 后蓋板零件施加約束載荷圖

然后進(jìn)行后處理，即為計(jì)算部分，由于此部分可由計(jì)算機(jī)自動(dòng)完成，因此可以直接得到計(jì)算結(jié)果如圖5，圖6，圖7所示。其中圖5是由ABAQUS軟件得到應(yīng)力應(yīng)變?cè)茍D，用于與拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果的對(duì)比分析。

圖5 后蓋板零件應(yīng)力應(yīng)變?cè)茍D

圖6 后蓋板零件拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果1

圖7 后蓋板零件拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果2

由應(yīng)力應(yīng)變?cè)茍D和拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果圖可以分析出，在應(yīng)力應(yīng)變較大的地方即施加載荷的圓孔周圍，其相應(yīng)材料密度也是較大的，因此顯示為紅色部分，為需要加強(qiáng)區(qū)域；而在應(yīng)力應(yīng)變較小的部分云圖也顯示為藍(lán)色部分，為可以去除部分。最終得到分析優(yōu)化后的效果圖如圖7所示，注：四周紅色為施加約束區(qū)域，為不可去除的區(qū)域，所得到結(jié)果是優(yōu)化計(jì)算的最優(yōu)解。

3 總結(jié)與討論

經(jīng)濟(jì)的高速發(fā)展導(dǎo)致了各行各業(yè)競(jìng)爭(zhēng)越來(lái)越激烈，所以在產(chǎn)品的研發(fā)和設(shè)計(jì)中，最優(yōu)化方法運(yùn)用越來(lái)越廣泛。因此，多種新的設(shè)計(jì)優(yōu)化方法應(yīng)運(yùn)而生。

本文將最優(yōu)化方法中的有限元法應(yīng)用于機(jī)床頭架零件，對(duì)其進(jìn)行拓?fù)鋬?yōu)化，從而達(dá)到減輕頭架質(zhì)量的目的。主要做了一下幾個(gè)方面的工作：

（1）介紹了拓?fù)鋬?yōu)化的定、產(chǎn)生背景及特點(diǎn)；（2）利用Solideworks軟件與HyperMesh軟件的無(wú)縫連接，將三維實(shí)體導(dǎo)入后者中，在從HyperMesh完成網(wǎng)格劃分的工作，變成網(wǎng)格模型完成前處理的工作。（3）運(yùn)用HyperMesh軟件與ABAQUS軟件的無(wú)縫連接，將網(wǎng)格模型導(dǎo)入后者，在應(yīng)用ABAQUS軟件得到應(yīng)力應(yīng)變圖。在HyperMesh中對(duì)頭架零件模型零件進(jìn)行拓補(bǔ)優(yōu)化工作：以降低零件重量為總體目標(biāo)，且能滿足頭架的強(qiáng)度、剛度和耐磨性，使頭架零件的材料分布更加合理，最終得到頭架零件的優(yōu)化模型，從而最終解決了最優(yōu)設(shè)計(jì)的問(wèn)題，為電子產(chǎn)品、重型機(jī)械、微機(jī)電系統(tǒng)、汽車工業(yè)、航空航天等工業(yè)領(lǐng)域的零部件設(shè)計(jì)優(yōu)化提供了依據(jù)。

［1］ 王鈺棟，金 磊.HyperMesh＆HyperView應(yīng)用技巧與高級(jí)實(shí)例［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2010.

［2］ 洪清泉，趙 康.OptiStruct＆HyperStudy理論基礎(chǔ)與工程應(yīng)用［M］.北京：機(jī)械工業(yè)出版社，2010.

［3］ 劉鴻文.簡(jiǎn)明材料力學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2007.