基于粒子群優(yōu)化算法的無偏灰色模型

樊新啟

（三峽大學(xué) 電氣與新能源學(xué)院，湖北 宜昌 443000）

0 引 言

灰色預(yù)測是灰色系統(tǒng)理論的重要組成部分。在灰色預(yù)測中，應(yīng)用最廣泛的是鄧聚龍?zhí)岢龅腉M（1，1）模型［1］，被稱為傳統(tǒng) GM（1，1）。文獻［2］在傳統(tǒng) GM（1，1）的基礎(chǔ)上提出了灰色預(yù)測的無偏GM（1，1）模型。無偏灰色模型的性能普遍優(yōu)于傳統(tǒng)GM（1，1）模型［2，3］，但隨著發(fā)展系數(shù)的增大，性能逐漸變差［4］。受到基于PSO（Particle Swarm Optimization）優(yōu)化的灰色模型［5］的啟發(fā)，本文結(jié)合粒子群算法，針對無偏GM（1，1）進行優(yōu)化，結(jié)果顯示優(yōu)化后的無偏 GM（1，1）的精度有明顯改善。

1 無偏 GM（1，1）［2］

以上標(biāo)“（0）”表示原始序列，上標(biāo)“（1）”表示累加生成序列，GM（1，1）的建模與預(yù)測的步驟如下：

（1）給定原始序列：

（2）對原始序列作累加生成：

顯然有：

（3）建立相應(yīng)的微分方程為：

式中，a稱為發(fā)展灰數(shù)；b稱為內(nèi)生控制灰數(shù)；將公式中的微商用差商代替，并用兩點的平均值代替x（1），有：

（4）引入向量Y＝［x（0）（2），x（0）（3），…，x（0）（n）］T

以及矩陣

顯然應(yīng)使VTV取極小，由此作參數(shù)a、b最小二乘估計：

（6）建立原始數(shù)據(jù)序列模型

2 粒子群優(yōu)化算法

2.1 粒子群優(yōu)化算法基本原理

粒子群優(yōu)化算法是由Kennedy和Eberhart于1995年提出［6，7］，其源于對鳥群捕食的行為研究。PSO同遺傳算法類似，是一種基于迭代的優(yōu)化算法。系統(tǒng)初始化為一組隨機解，通過迭代搜尋最優(yōu)值，但是它沒有遺傳算法用的交叉以及變異，而是粒子在解空間追隨最優(yōu)的粒子進行搜索。

PSO中，每個優(yōu)化問題的解都是搜索空間中的一只鳥，我們稱之為“粒子”。所有的粒子都有一個由被優(yōu)化的函數(shù)決定的適應(yīng)值（fitness value），每個粒子還有一個速度決定它們飛翔的方向和距離，然后粒子們就追隨當(dāng)前的最優(yōu)粒子在解空間中搜索。

PSO初始化為一群隨機粒子，然后通過迭代找到最優(yōu)解。在每一次迭代中，粒子通過跟蹤兩個“極值”來更新自己。一個就是粒子本身所找到的最優(yōu)解，這個解叫做個體極值pbest，另一個極值是整個種群目前找到的最優(yōu)解，這個極值是全局極值gbest。

設(shè)初始群體的大小為N，維度為M的空間中第i個粒子的位置和速度可分別表示為：

評價每個粒子的適應(yīng)值，確定每一個粒子所經(jīng)過的最佳位置pbest以及群體所有粒子中所經(jīng)過的最佳位置gbest，分別記為：

選取f（x）為所求適應(yīng)值，在k次迭代中更新迭代中個體的最佳位置。

則群體中所有粒子所經(jīng)過的最佳位置為

在粒子群優(yōu)化算法的k次迭代中，各個粒子按照如下的公式來更新自己的速度和位置。

式中，w為慣性權(quán)因子，反應(yīng)粒子先前速度的慣性大小。w值較大時，全局搜索能力強，收斂速度快；w值較小時，局部搜索能力強，解的精度高。w取值通常在0.1到0.9之間，本文采用Shi提出的線性遞減慣性權(quán)因子［8］，隨著迭代次數(shù)的增加，為了增強局部搜索，w逐漸變小，最終從wmax變?yōu)閣min。具體公式為：

式中，Iter為當(dāng)前迭代次數(shù)；Itermax為最大迭代次數(shù)；w為每次速度和位置更新時采用的慣性權(quán)因子。

c1和c2為學(xué)習(xí)因子，通常在0～2間取值。c1主要是為了調(diào)節(jié)微粒向自身最佳位置飛行的步長，c2是為了調(diào)節(jié)微粒向全局最好位置飛行的步長。r1和r2是在［0，1］上兩個相互獨立的隨機數(shù)。

2.2 算法流程

步驟一：設(shè)置算法的參數(shù)，隨機初始化群體的位置和速度；

步驟二：選取目標(biāo)函數(shù)，評價各個粒子的適應(yīng)值，將各個粒子的位置和適應(yīng)值存于pbest，將pbest中最佳的位置和適應(yīng)值存于gbest中；

步驟三：根據(jù)公式更新群體中所有粒子的速度和位置；

步驟四：重新評價所有粒子的適應(yīng)值；

步驟五：將所有粒子當(dāng)前的適應(yīng)值與pbest比較，若當(dāng)前適應(yīng)值更優(yōu)，則存入pbestt中進行更新；

步驟六：將當(dāng)前所有的pbest和原有的pbest比較，若有優(yōu)于原有g(shù)best的，存入gbest，進行更新；

步驟七：若滿足精度要求或者達到最大迭代次數(shù)，輸出gbest及其適應(yīng)值并且停止迭代，否則返回步驟三。

3 基于PSO優(yōu)化的無偏GM（1，1）模型

優(yōu)化后的GM（1，1）模型通過PSO直接對參數(shù)和進行求解，得到負荷預(yù)測模型。避免背景值取的不當(dāng)而造成的誤差。算法流程如圖1所示。

圖1 優(yōu)化無偏GM（1，1）模型結(jié)構(gòu)

流程如下：

步驟一：將無偏 GM（1，1）模型的和看作群體中的粒子，n個粒子就有n個和，記為：

步驟二：選取目標(biāo)函數(shù)。以模型與實際負荷的誤差平方和最小為目標(biāo)函數(shù)。

式中，N為實際負荷中的個數(shù)；Yj表示第j個負荷值；j表示優(yōu)化后的GM（1，1）中對應(yīng)的負荷值；

步驟三：初始每個粒子的位置和速度；

步驟四：評價每個粒子的適應(yīng)值；

步驟五：得到每個粒子的pbest和總體的gbest；

步驟六：利用2.1節(jié)所給公式更新各個粒子的位置和速度；

步驟七：若滿足精度要求或者達到最大迭代次數(shù)，輸出gbest及其適應(yīng)值并且停止迭代，否則返回步驟三。

步驟八：將得到的和代入優(yōu)化后的無偏GM（1，1）模型中。

4 實 例

為驗證該方法的有效性，本文選取了文獻［5］中四種具有代表性的負荷序列對無偏GM（1，1）和基于PSO優(yōu)化的GM（1，1）進行考核。負荷數(shù)據(jù)如表1所示，如圖2可知負荷1、負荷2以及負荷3的數(shù)據(jù)都趨于指數(shù)函數(shù)，但增長率不一，負荷4呈非單調(diào)增長趨勢。選取表1的四種負荷作為原始負荷數(shù)據(jù)得到無偏GM（1，1）模型和基于PSO優(yōu)化的 GM（1，1）模型，分別對兩種模型進行驗差的檢驗，結(jié)果如表2所示。

后驗差比值c，即：真實誤差的方差同原始數(shù)據(jù)方差的比值。c值越小，精度越高。

表1 測試負荷數(shù)據(jù)

圖2 四種負荷曲線

分別用兩種模型進行預(yù)測，參數(shù)設(shè)置：

粒子數(shù)N＝40，wmin＝0.4，wmax＝0.9，c1＝c2＝2。結(jié)果如表2。

表2 仿真結(jié)果

5 結(jié) 論

采用PSO對無偏灰色模型的參數(shù)和直接進行求解，來構(gòu)建優(yōu)化后的無偏灰色模型，提高了模型的擬合和預(yù)測精度。將優(yōu)化后的GM（1，1）應(yīng)用于增長規(guī)律不同的四種電力負荷的預(yù)測問題中，預(yù)測精度優(yōu)于原有的無偏GM（1，1）。不僅適用于變化平穩(wěn)的歷史負荷序列和增長率大的負荷序列，也適用于非單調(diào)增長的負荷序列。

擴展了無偏GM（1，1）的適用性，具有一定的理論意義和使用價值。

［1］ 鄧聚龍.灰色預(yù)測與決策［M］.武漢：華中科技大學(xué)出版社，1988.

［2］ 吉培榮，黃巍松，胡翔勇.無偏灰色預(yù)測模型［J］.系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，2000，22（6）：6－7.

［3］ 吉培榮，黃巍松，胡翔勇.電網(wǎng)負荷預(yù)測的無偏灰色預(yù)測模型［J］.三峽大學(xué)學(xué)報，2001，23（1）：59－62.

［4］ 鄭文琛，吉培榮，羅賢舉.改進無偏GM（1，1）模型及其在中長期電力負荷預(yù)測中的應(yīng)用［J］.繼電器，2008，36（5）：41－43.

［5］ 周在陽，周步祥，詩玉東，鄭海濱.基于粒子群優(yōu)化的電力負荷灰色預(yù)測模型［J］.四川電力技術(shù)，2009，32（1）：32－35.

［6］ Kennedy J，Eberhart R C.Particle swarm optimization［C］.Proceeding of IEEE International Conference on Neural Networks.Perth，Australia，1995：1942－1948.

［7］ Eberhart R C，Kennedy J.A new optimizer using particle swarm theory［C］.Proc.6th Int.Sysposium on Micro Machine and Human Science.Nagoya，Japan ，1995：39－43.

［8］ Shi Y，Eberhart R C.Fuzzy adaptive particle swarm optimization［C］.Proceedings of the IEEE CEC，2001：101－106.