旋轉(zhuǎn)的奧秘

蔣明玉

同學(xué)們，我們生活在運(yùn)動(dòng)的世界里，風(fēng)吹樹梢動(dòng)，鳥兒飛翔翅膀動(dòng)。其實(shí)我們的數(shù)學(xué)世界也因?yàn)橛辛藙?dòng)而變得豐富多彩?，F(xiàn)在讓我們做實(shí)驗(yàn)來感受一下吧！

在課前蔣老師就讓同學(xué)們做了長(zhǎng)方形、直角三角形的小旗（如下圖）?！艾F(xiàn)在請(qǐng)大家將旗桿快速旋轉(zhuǎn)一周，看看，你發(fā)現(xiàn)了什么？”蔣老師問。

小明立刻說：“左邊長(zhǎng)方形的小旗旋轉(zhuǎn)一周能夠形成一個(gè)圓柱，圓柱的底面半徑是長(zhǎng)方形的長(zhǎng)，圓柱的高就是長(zhǎng)方形的寬?！?/p>

張寧接著說：“右邊直角三角形的小旗旋轉(zhuǎn)一周能夠形成一個(gè)圓錐，圓錐的底面半徑是直角三角形的一條直角邊，圓錐的高是直角三角形的另一條直角邊?！?/p>

蔣老師微笑著說：“對(duì)，一個(gè)長(zhǎng)方形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)可以形成圓柱體，一個(gè)直角三角形經(jīng)過旋轉(zhuǎn)可以形成圓錐體。那么如果左邊長(zhǎng)方形的小旗的長(zhǎng)是5厘米，寬是2厘米，你能求出旋轉(zhuǎn)出的那個(gè)圓柱的體積是多少嗎？”

蔣帥同學(xué)很快在黑板上寫出：3.14×5²×2=157（立方厘米）。

“看來同學(xué)們對(duì)圓柱體和圓錐體已經(jīng)很熟悉了，那接下來蔣老師可要考考大家了！”說完蔣老師在黑板上寫下題目。

如右圖，ABCD是直角梯形。以AB為軸將梯形旋轉(zhuǎn)一周，得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體；以CD為軸將梯形旋轉(zhuǎn)一周，也得到一個(gè)旋轉(zhuǎn)體。哪個(gè)旋轉(zhuǎn)體體積大一些？

小明不假思索就說：“我覺得以AB為軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體大一些?！?/p>

蔣帥則認(rèn)真地思考并計(jì)算起來：

以AB為軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體是由一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐組成的立體圖形，圓柱的體積是3.14×3²×3=84.78（立方厘米），圓錐的體積是1/2×3.14×3²×3=28.26（立方厘米），84.78+28.26=113.04（立方厘米）。以CD為軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體是一個(gè)圓柱和缺少一個(gè)圓錐的圓柱組成的，圓柱的體積是3.14×3²×3=84.78（立方厘米），缺少一個(gè)圓錐的圓柱的體積就是圓柱體積的2/3，算式為2/3×3.14×3²×3=56.52（立方厘米），84.78+56.52=141.3（立方厘米）。通過計(jì)算可知，以CD為軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積大一些。

“同學(xué)們，做數(shù)學(xué)題僅僅憑感覺是不行的，要憑事實(shí)說話?！笔Y老師說。

這時(shí)，愛思考的張寧急忙站起來，說：“若換一個(gè)角度想想，根本不用上面那樣煩瑣的計(jì)算，就很容易發(fā)現(xiàn)以CD為軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積大一些。以AB為軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體是由一個(gè)圓柱和一個(gè)圓錐組成的立體圖形，圓柱和圓錐等底等高，如果圓錐的體積看作1份，那么圓柱的體積就是3份，一共就有4份。而以CD為軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積，上面的旋轉(zhuǎn)體的圓柱挖去了一個(gè)圓錐（1份），所以上面余下部分的體積有2份，加上底下圓柱的體積3份，一共就有5份。所以，很容易知道以CD為軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積大一些?！?/p>

蔣老師贊許地向張寧點(diǎn)點(diǎn)頭，說：“同學(xué)們看，簡(jiǎn)單的動(dòng)就將這些平面圖形變成了我們熟悉的立體圖形，今后我們要多觀察、多操作，深入探索數(shù)學(xué)世界的奧秘！”