泰勒公式及其應(yīng)用

閆艷

【摘 要】泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要公式，它能將一些復(fù)雜的函數(shù)近似地表示成簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù)。本文主要探討了泰勒公式在極限運(yùn)算、近似計(jì)算、不等式的證明、級(jí)數(shù)斂散性的判斷等方面的應(yīng)用。

【關(guān)鍵詞】泰勒公式 極限 不等式 收斂性

一、泰勒公式

泰勒公式是一元微積分的一個(gè)重要內(nèi)容，不僅在理論上占有重要地位，在近似計(jì)算、極限計(jì)算、函數(shù)性質(zhì)的研究等方面都有著重要的應(yīng)用。泰勒公式的一般形式為：

其中為拉格朗日余項(xiàng)或皮亞諾型余項(xiàng)。

若令，則泰勒公式變?yōu)辂溈藙诹止?，即?/p>

二、泰勒公式的應(yīng)用

1.利用泰勒公式求極限

為了簡(jiǎn)化極限運(yùn)算，有時(shí)可用某項(xiàng)的泰勒展開(kāi)式來(lái)代替該項(xiàng)，使得原來(lái)函數(shù)的極限轉(zhuǎn)化為類似多項(xiàng)式有理分式的極限，就能簡(jiǎn)捷地求出。

例如求極限 ，此為型極限，若用羅比塔法則很麻煩。這時(shí)可將和分別用其泰勒展開(kāi)式代替，則可簡(jiǎn)化此比式，求得

==.

注：用泰勒公式計(jì)算極限的實(shí)質(zhì)是利用等價(jià)無(wú)窮小的替代來(lái)計(jì)算極限。我們知道，當(dāng)時(shí)， 等，這種等價(jià)無(wú)窮小其實(shí)就是將函數(shù)用泰勒公式開(kāi)至一次項(xiàng)，有些問(wèn)題用泰勒公式和我們已經(jīng)熟知的等價(jià)無(wú)窮小法相結(jié)合，問(wèn)題又能進(jìn)一步簡(jiǎn)化。

2. 利用泰勒公式判斷函數(shù)的極值

討論函數(shù)極值通用的方法是：當(dāng)且（或）時(shí)，是的極?。ù螅┲?。但如果此時(shí)，此方法不能判別 是否為極值點(diǎn)，可用泰勒公式。

3. 泰勒公式判斷廣義積分的收斂性

為一正值函數(shù)，要判定的收斂性，如果能找到恰當(dāng)?shù)模?，使，由比較判別法的極限形式可判別出無(wú)窮積分的收斂性。這里的問(wèn)題也是如何選取，才能應(yīng)用判別法則呢？運(yùn)用泰勒公式通過(guò)研究的階，就可以解決這類問(wèn)題。

4. 利用泰勒公式近似計(jì)算和誤差估計(jì)

泰勒定理：若函數(shù)在的某鄰域內(nèi)有直到n+1階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對(duì)內(nèi)的任一點(diǎn)，存在相應(yīng)的，使得

=+…

+）

5.利用泰勒公式證明不等式

在高等數(shù)學(xué)中，常常要證明一些不等式，而且證明不等式的方法很多。泰勒公式除了上面介紹的一些應(yīng)用外，在證明不等式時(shí)也很方便。在欲證的不等式（或題設(shè)）中含有一階以上的導(dǎo)數(shù)，一般可以利用泰勒公式。應(yīng)用的關(guān)鍵在于根據(jù)題設(shè)的條件如何選擇要展開(kāi)的函數(shù)、在哪一點(diǎn)的鄰域?qū)⒑瘮?shù)展開(kāi)、展開(kāi)的階次及余項(xiàng)形式。

綜上可知，一般當(dāng)問(wèn)題涉及二階以上導(dǎo)數(shù)時(shí)， 可考慮利用泰勒公式求解。把 看成定點(diǎn)， 看成動(dòng)點(diǎn)，通過(guò)定點(diǎn) 處的函數(shù)值 及導(dǎo)數(shù)值， ，… 來(lái)表達(dá)動(dòng)點(diǎn) 處的函數(shù)值。在解題中，只要注意分析研究題設(shè)條件及其形式特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)剡x擇函數(shù)、點(diǎn) 、展開(kāi)的階次n 及余項(xiàng)形式，并把握上述處理原則， 就能比較好地掌握利用泰勒公式解題的技巧。