分析思維過程乃頭等大事

陳黎黎

相信很多同學(xué)心中都有一個問題會一直糾結(jié)：怎么就想不到老師需要的思路呢？其實作為老師，看到班上同學(xué)為課堂上的一道題琢磨半天終無所獲時，我自己也為他們感到焦急萬分。如何在短時間內(nèi)順利打開思路、如何讓思維變得敏捷，是我們復(fù)習(xí)時需要瞄準(zhǔn)的目標(biāo)。夯實基礎(chǔ)后，通過抓住兩條主線：通性通法和思想方法，系統(tǒng)有效地訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維，不拘泥于形式，但著重掌握其本質(zhì)，是我們應(yīng)該強(qiáng)化的方向，下面從分析思維過程的角度出發(fā)，選擇兩道數(shù)量積求值問題談?wù)勛约旱膶嵺`與反思。

1.通性通法唱主調(diào)

所渭的“通性通法”就是具有普遍性特點的方法，是對數(shù)學(xué)知識的概括與提煉。它的普適性決定了它的重要性。因此，我們在分析習(xí)題的思維過程之中，一定不能忘記通性通法這條主旋律，關(guān)于數(shù)量積的求值問題，其通性通法有定義法、基底法、坐標(biāo)法、投影法等。

分析1 結(jié)合已知條件，我們首先應(yīng)察覺到定義法不能用，因此可以考慮基底法與坐標(biāo)法，選取合適的坐標(biāo)系，容易得到所需點的坐標(biāo)，進(jìn)而得到所求數(shù)量積的坐標(biāo)表示，所得表示是二元一次函數(shù)，其限制條件是線性區(qū)域，所求問題即轉(zhuǎn)化為一個線性規(guī)劃問題。

值得注意的是，此題實質(zhì)上兩邊的最值恰巧都在邊界處取到，所以此法有其特殊性，值得我們回味。

2.思想方法一線通

掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與基本技能，即所謂的“雙基”，是對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的最低要求，是淺層的學(xué)習(xí)；而體會數(shù)學(xué)知識的生成背景、發(fā)生過程，并感悟隱藏其中的數(shù)學(xué)思想方法，這才進(jìn)入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的高層境界，高中數(shù)學(xué)的知識內(nèi)容豐富且深刻，要學(xué)好絕非易事，體會并學(xué)會應(yīng)用隱藏在其中的數(shù)學(xué)思想方法是必經(jīng)之路。

解法3 同上，直線與網(wǎng)有公共點，也可以轉(zhuǎn)化為方程組有解。

反思從坐標(biāo)法的角度出發(fā)，此題給了5種解法，這5種解法中滲透了豐富的數(shù)學(xué)思想方法。解析1中運(yùn)用了三角換元法，揭示了三角函數(shù)的網(wǎng)的本質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想。解析2與解析3將代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想，其中解析2直接從幾何角度探究，解析3則又轉(zhuǎn)化為方程有實根問題，蘊(yùn)含了函數(shù)與方程的思想.解析4運(yùn)用了基本不等式來處理，是函數(shù)、方程與不等式三者聯(lián)系的展現(xiàn)，仍屬函數(shù)思想.解析5轉(zhuǎn)化為距離處理，又是數(shù)形結(jié)合思想的體現(xiàn)。

筆者選擇兩道數(shù)量積求值習(xí)題的思維過程做了些闡述，目的是想為讀者開啟一道思維分析之門。在高中數(shù)學(xué)中，有很多習(xí)題值得我們?nèi)ゼ?xì)細(xì)研究，慢慢打磨解決它們的思路.有興趣的同學(xué)不妨在這方面作一些深入的探索，相信對大家的復(fù)習(xí)之路能有意想不到的幫助。