巧用軌跡，輕松解題

魯倩

縱觀近幾年高考試卷中的解析幾何題目，其涉及面廣、綜合性強(qiáng)、背景新穎、靈活多樣，解題策略較多，滲透著多種數(shù)學(xué)思想和方法。其中軌跡法是解決解析幾何問題一種重要的方法，巧妙地利用軌跡法，可以有效地避開解析幾何中繁瑣的計(jì)算問題。我們經(jīng)常用到的軌跡有直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線，本文就針對具體案例談一下常用軌跡在解題中的巧妙應(yīng)用。

一、挖掘隱性軌跡——直線

所以點(diǎn)P到原點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為原點(diǎn)到直線3x+4y-11—O距離，此時(shí)求得點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最小值為11/5。

本解法主要由條件PE=PD出發(fā)挖掘點(diǎn)P的隱性軌跡——直線，巧妙地將點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離，問題易于解決。

二、挖掘隱性軌跡——圓

本題由條件MA=2MO去挖掘點(diǎn)M的軌跡為圓，這也是同學(xué)們比較熟悉的阿波羅尼斯圓，從而將本題巧妙地轉(zhuǎn)化為兩圓的位置關(guān)系，避開繁瑣計(jì)算，問題易于解決。

三、挖掘隱性軌跡——橢圓

四、挖掘隱性軌跡——雙曲線

以上兩題利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，巧妙地利用軌跡解決問題，但同學(xué)們要考慮全面，相應(yīng)的點(diǎn)的軌跡可能不是完整的圓錐曲線，而是圓錐曲線的一部分，要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化。

五、挖掘隱性軌跡——拋物線

本題的解法比較新穎，用幾何方法解決代數(shù)問題，滲透著數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，但也要注意等價(jià)轉(zhuǎn)化，點(diǎn)M的軌跡為拋物線的一部分，轉(zhuǎn)化為直線與拋物線的位置關(guān)系，問題易于解決。

以上案例，同學(xué)們可以體會(huì)到軌跡法給解題帶來的方便性，所以對于一些問題，巧妙地利用條件，挖掘其中的隱性軌跡，問題會(huì)迎刃而解。