幾何概型常見題型歸納

聶森林

如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型。求解幾何概型的概率問題，一定要正確確定試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，正確選擇合理的測度，進而利用概率公式求解。^_^天體運動，萬有引力定律核心考點研讀■安徽

張北春（特級教師）

《天體運動、萬有引力定律》是高中物理的重要章節(jié)。主要考點有：開普勒定律、天體運動、萬有引力定律、估算天體的質(zhì)量和密度、揭示天體運行規(guī)律等。近幾年高考試題中的天體運動問題多為勻速圓周運動模型，大多數(shù)試題可直接運用開普勒第三定律進行分析或計算，有些試題則需運用牛頓第二定律與萬有引力定律、“黃金代換”等分析計算。下面通過典型例題解讀這些核心考點，希望對同學們的學習有所幫助。

考點1：開普勒定律

【考點研讀】開普勒行星運動定律具體表述如下。第一定律：所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上。第二定律：對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等時間內(nèi)掃過相等的面積。第三定律：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的二次方的比值都相等。

溫馨提示：古人把天體的運動看得十分神圣，他們認為天體的運動不同于地面物體的運動，天體做的是最完美、最和諧的勻速圓周運動。開普勒則認為行星做橢圓運動。他發(fā)現(xiàn)假設(shè)行星做勻速圓周運動，計算所得的數(shù)據(jù)與觀測數(shù)據(jù)不符，只有認為行星做橢圓運動，才能解釋這一差別。

溫馨提示：我們預(yù)期太陽對行星的引力與太陽到行星的距離有關(guān)，希望通過行星繞太陽做勻速圓周運動需要的向心力求出這個引力，通過兩次數(shù)學代換得到了太陽對行星的引力與太陽到行星的距離相關(guān)的數(shù)學表達式；通過類比得到了行星對太陽的引力與太陽到行星的距離相關(guān)的數(shù)學表達式；綜合概括得到了太陽與行星間引力的數(shù)學表達式。

例2（2014年新課標全國卷I）太陽系各行星幾乎在同一平面內(nèi)沿同一方向繞太陽做圓周運動。對于地球恰好運行到某地外行星和太陽之間，且三者幾乎排成一條直線的現(xiàn)象，天文學稱為“行星沖日”。據(jù)報道，2014年各行星沖日時間分別是：1月6日木星沖日；4月9日火星沖日；5月11日土星沖日；8月29日海王星沖日；10月8日天王星沖日。已知地球及各地外行星繞太陽運動的軌道半徑如下表所示，則下列判斷正確的是（

）。

本題考查萬有引力知識，開普勒行星第三定律，天體追及問題。分析時應(yīng)把行星繞太陽的橢圓運動簡化為勻速圓周運動，抓住行星繞太陽做勻速圓周運動需要向心力，這個向心力是由太陽對行星的引力提供的。

例3 如圖1所示，在火星與木星軌道之間有一小行星帶。假設(shè)該帶中的小行星只受到太陽的引力，并繞太陽做勻速圓周運動。下列說法正確的是（

）。

A.太陽對小行星的引力相同

B.各小行星繞太陽運動的周期小于一年

C.小行星帶內(nèi)側(cè)小行星的向心加速度值大于小行星帶外側(cè)小行星的向心加速度值

D.小行星帶內(nèi)各小行星圓周運動的線速度值大于地球公轉(zhuǎn)的線速度值

溫馨提示：圓周運動是天體主要的運行方式，天 體做圓周運動是萬有引力提供向心力，地球繞太陽 運動如此，其他行星繞母星運動也是如此。

例6 （2014年北京卷）萬有引力定律揭示了天體運行規(guī)律與地上物體運動規(guī)律具有內(nèi)在的一致性。

（1）用彈簧秤稱量一個相對于地球靜止的小物體的重量，隨稱量位置的變化可能會有不同的結(jié)果。已知地球質(zhì)量為M，自轉(zhuǎn)周期為T，萬有引力常量為G。將地球視為半徑為R、質(zhì)量均勻分布的球體，不考慮空氣的影響。設(shè)在地球北極地面稱量時，彈簧秤的讀數(shù)是F0。