P型間斷有限元方法求解奇異攝動初值問題

陶 霞, 王湘紅

(1. 湖南理工學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院, 湖南 岳陽 414006; 2. 武潭鎮(zhèn)天灣小學(xué), 湖南 桃江 413407)

P型間斷有限元方法求解奇異攝動初值問題

陶 霞1, 王湘紅2

(1. 湖南理工學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院, 湖南 岳陽 414006; 2. 武潭鎮(zhèn)天灣小學(xué), 湖南 桃江 413407)

首先介紹p型間斷有限元方法, 設(shè)計求解奇異攝動初值問題的p型間斷有限元數(shù)值格式. 然后算例結(jié)果表明, p型間斷有限元解的數(shù)值通量在節(jié)點處具有一致的指數(shù)收斂性質(zhì).

p型間斷有限元方法; 奇異攝動初值問題; 指數(shù)收斂

考慮如下奇異攝動初值問題:

其中0＜ε?1為小參數(shù), 0＜α≤a( t ), f( t)和k( t, s)充分光滑.

奇異攝動Volterra積分微分方程來源于許多物理和生物問題, 如擴散耗散過程、流行病動力學(xué)、同期控制系統(tǒng)、更新過程和拉伸纖維等[1～6]. 當(dāng)小參數(shù)0ε→時, 解析解在很窄的邊界層中會發(fā)生非常大的梯度變化, 通常被稱為邊界層現(xiàn)象. 另一方面, 由于該問題具有帶記憶性質(zhì), 因而必須考慮系統(tǒng)對過去經(jīng)歷的記憶效應(yīng), 使得計算存儲量過大. 這樣, 設(shè)計求解(1)的穩(wěn)定有效且高精度的數(shù)值格式尤其困難. 一般來說,解決邊界層現(xiàn)象有如下兩種途徑: 第一種是運用局部加密網(wǎng)格策略, 如Shishkin網(wǎng)格、等級網(wǎng)格等, 得到擬最優(yōu)一致誤差估計, 即所謂的h-version方法; 第二種是通過提高多項式次數(shù)的方法, 得到指數(shù)收斂性,即所謂的p-version或者hp-version方法.

求解奇異攝動Volterra積分微分方程的數(shù)值方法研究已有一些工作, 如差分方法、指數(shù)型有限差分方法、隱Runge-Kutta方法、張力樣條配置方法、有限元方法以及間斷有限元方法等. 在局部加密網(wǎng)格下, 文[12]運用h型間斷有限元方法求解奇異攝動Volterra積分微分方程初值問題. 數(shù)值結(jié)果表明: 在Shishkin網(wǎng)格下, 間斷有限元解的數(shù)值通量在節(jié)點處具有21p+階的一致超收斂性質(zhì).

間斷有限元方法采用完全間斷分片多項式空間對數(shù)值解和試驗函數(shù)進行離散, 具有更大的靈活性.最大優(yōu)點在于相鄰單元交界處不要求函數(shù)具有連續(xù)性, 可靈活地處理復(fù)雜邊值問題、界面問題以及奇異攝動問題等. 對奇異攝動對流擴散方程, Xie等在[7～10]中運用h型局部間斷有限元方法展開了一系列的研究工作, 不僅從數(shù)值結(jié)果上觀察到間斷有限元解的非物理震蕩性、在局部加密網(wǎng)格下數(shù)值通量具有與小參數(shù)無關(guān)的一致超收斂性質(zhì), 而且證明了數(shù)值通量具有21p+階超收斂性. 對于一維對流擴散方程邊值問題, Xie等在[10]中首次證明在Shishkin網(wǎng)格下, 間斷有限元解的數(shù)值通量在節(jié)點處具有21p+階的一致超收斂性. Brunner和Schotzau在[11]中運用hp型間斷有限元方法求解Volterra積分微分方程, 證明該方法具有指數(shù)收斂性. 受此啟發(fā), 本文首先介紹p型間斷有限元方法, 然后運用該方法求解奇異攝動Volterra積分微分方程初值問題. 數(shù)值結(jié)果表明, 間斷有限元解的數(shù)值通量在節(jié)點處具有一致的指數(shù)收斂性.

1 P型間斷有限元方法

取過渡點τ為

將區(qū)間[0,T]分成兩部分, 即邊界層區(qū)域[0,τ]和外部區(qū)域(τ,T]. 剖分節(jié)點為t0=0,t1=τ,t2=T, 剖分子區(qū)間為兩部分: 邊界層區(qū)域I1=(0,τ)和外部區(qū)域I2=(τ,T). 對應(yīng)的步長分別為h=τ和H=T-τ.定義次數(shù)不超過p次的多項式空間

對(1)兩邊乘以v∈V, 并在相應(yīng)區(qū)間上積分后, 得

間斷有限元方法為: 尋找U∈V, 使得

其中U?為數(shù)值通量. 這里選取的數(shù)值通量是:

P型間斷有限元方法為: 尋找U∈V, 使得

令為I1上次數(shù)不超過p次的基函數(shù). 那么(3)可寫為

同理, 當(dāng)n=2時, (2)可寫為

經(jīng)過一些簡單的線性變換, 將子區(qū)間I1和I2轉(zhuǎn)化到參考單元[-1,1]上, 從而得到參考單元上相應(yīng)于(4)式和(5)式的數(shù)值計算格式.

2 數(shù)值算例

對于奇異攝動Volterra積分微分方程初值問題(1), 取a=1,k( t, s)=exp(-(t-s )), T=1,初值為u(0)=1+exp(-1), 對應(yīng)的右端項為

真解為

在初始點t=0附近, 解的邊界層寬度為O(ε). 定義

當(dāng)小參數(shù)ε分別取10-6和10-8時, 表1和表2給出對應(yīng)的p型間斷有限元解數(shù)值通量的最大模誤差.圖1給出了數(shù)值解數(shù)值通量的最大模誤差曲線圖, 橫坐標(biāo)為自由度開平方. 從圖1可以觀察到 p型間斷有限元解的數(shù)值通量在節(jié)點處具有一致的指數(shù)收斂性.

表1 間斷有限元方法, τ=min(0.5,ε(2p+1)log(N +1)), ε=10-6

圖1 τ=min(0.5,ε(2p+1)log(N +1)), ||u-?||∞誤差曲線圖

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The p-version Discontinuous Galerkin Method For a Singularly Perturbed Initial Value Problem

TAO Xia1, WANG Xiang-hong2
(1. College of Mathematics, Hunan Institute of Science and Technology, Yueyang 414006, China; 2. Wutan Tianwan Elementary School, Taojiang 413407, China)

In this paper the p-version discontinuous Galerkin method was firstly introduced, and the numercial scheme of p-version discontinuous Galerkin method for a singularly perturbed initial value problem is designed. Then numercial results showed that the numerical flux of the p-version discontinuous Galerkin solution at nodes has the uniform exponential rate of convergence property.

the p-version discontinuous Galerkin method; singularly perturbed initial value problem; exponential rate of convergence

O241.8

A

1672-5298(2015)03-0009-03

2015-06-06

國家自然科學(xué)基金委數(shù)學(xué)天元基金資助項目(11426103); 湖南省重點學(xué)科建設(shè)項目; 湖南省高?？萍紕?chuàng)新團隊支持計劃

陶 霞(1982 - ), 女, 湖南湘陰人, 博士, 湖南理工學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院講師. 主要研究方向: 微分方程數(shù)值解