簡述可變?nèi)切螜E圓規(guī)

（河北省邢臺市第十二中學054000）

簡述可變?nèi)切螜E圓規(guī)

秦麗雅（河北省邢臺市第十二中學054000）

一、設(shè)計思路

在上解析幾何課時，由于沒有相關(guān)教具，一般只能徒手畫橢圓，也畫不標準，即使使用傳統(tǒng)的直桿式橢圓規(guī)，也只能定性地畫橢圓，不能定量地根據(jù)橢圓的標準方程畫出確定長、短半軸的橢圓。

我在直桿式橢圓規(guī)基礎(chǔ)上進行改進，所設(shè)計的可變?nèi)切螜E圓規(guī)，以有機玻璃為材質(zhì)，解決了以上問題，并且具有體積小、重量輕、易攜帶、操作簡單、效果好等優(yōu)點。背面采用吸盤固定以適用不同材質(zhì)的黑板。

通常能見到的橢圓規(guī)主要由兩部分組成：在一塊平面金屬板上刻有兩條相互垂直的十字槽，在一直尺上裝有兩個固定滑塊，分別在縱橫槽中滑動，在直尺端點裝上筆，使直尺轉(zhuǎn)一周，就畫出一個橢圓，這種橢圓規(guī)稱為直桿式橢圓規(guī)。

首先，我發(fā)現(xiàn)適當改變直尺上兩滑塊和筆孔的位置，就改變了所畫橢圓的長、短半軸，從而就可畫出大小“扁”度不同的橢圓。

其次，進一步考慮，如果把筆孔放在直尺以外，使兩滑塊與筆孔呈一個三角形，利用三角形結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，應該也會畫出橢圓。經(jīng)過推導證明是完全可以的。再變化三角形三條邊長，就會畫出更多的橢圓。這樣的橢圓規(guī)更具有一般性，而原來的橢圓規(guī)只是一個特例而已。根據(jù)這種思路我自行設(shè)計并制作成現(xiàn)在的可變?nèi)切螜E圓規(guī)。

二、基本構(gòu)造

如圖所示，在平整木板上刻上兩條相互垂直的平滑槽，用三節(jié)帶有若干孔（或空槽）的直尺組成一個可變邊長的三角形。在三角形的兩個頂點上裝上與十字槽相匹配的滑塊，并在第三個頂點裝上筆，使整個三角形轉(zhuǎn)動時，兩滑塊自然分別在其槽內(nèi)滑動，轉(zhuǎn)動一周，就可以畫出一個橢圓。適當改變?nèi)龡l邊長，就可以相應地畫出不同的橢圓。

三、原理推導

如圖，以十字槽為直角坐標系的坐標軸，△ABM的頂點A、B分別在x、y軸上，第三頂點M的坐標為（x，y），設(shè)∠OAB＝θ，則x＝acos（B－θ）, y＝bsin［180－（A＋θ）］＝bsin（A＋θ），利用和角公式得

x/a=cosBcosθ+sinBsinθ

y/b=sinAcosθ+cosAsinθ

消去參數(shù)θ，可得（x／a）2－2（x／a）（y／b）sinα＋（y／b）2＝cos2α

這正好是一般橢圓方程。

為了消除x、y項，用坐標旋轉(zhuǎn)變換

x=x'cosφ-y'sinφ，y=x'sinφ+y'cosφ

只需取懸轉(zhuǎn)角φ=1/2arccot[（a2-b2）／2absina]，就可使上邊的一般方程化為x'2/a'2+ y'2/b'2=1。

四、討論

為了說明該橢圓規(guī)更具有一般性，有更高的境界，僅討論幾個特例：

1.當∠α=π時，M點落在線段AB上，分線段AB為a、b，此時畫出的橢圓，其方程為x2/ a2+y2/b2=1，特別，M在線段AB中點時，畫出的就是圓。

2.當∠α=O時，AB、AM與BM三線重合，M點落在AB線段的延長線上，此時的橢圓規(guī)就是通常所見的“直桿式”橢圓規(guī)。

3.當∠α=π/2時，該橢圓規(guī)畫出的橢圓退化為一直線，其方程為x/a=y/b。

4.△ABC為等腰三角形，即a＝b時，坐標軸只需旋轉(zhuǎn)φ＝l／2arccot＝π／4，畫出的橢圓，其方程為：x＇2／2a2sin2（α／2＋π／4）＋y＇2／2a2cos2（α／2＋π／4）＝1。

5.當∠A=π/2，∠B=π/6，∠α=π/3時b=2a，旋轉(zhuǎn)角φ≈49°此時畫出的橢圓方程為x'2/a'2+ y'2/b'2=1，其中a'，b'可近似計算出來。

總之，只要適當調(diào)整變化三角形的邊長，該可變?nèi)切螜E圓規(guī)就可畫出需要的橢圓。

（責編 趙建榮）