掃描模式下海雜波的多分形布朗運(yùn)動(dòng)模型

孫 康金 鋼王超宇馬超偉錢衛(wèi)平高梅國

①(北京跟蹤與通信技術(shù)研究所 北京 100094)

②(北京理工大學(xué)信息與電子學(xué)院 北京 100081)

③(中國空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心 綿陽 621000)

④(電子科技大學(xué)自動(dòng)化工程學(xué)院 成都 611731)

⑤(南京理工大學(xué)電子工程與光電技術(shù)學(xué)院 南京 210094)

掃描模式下海雜波的多分形布朗運(yùn)動(dòng)模型

孫 康*①②金 鋼③④王超宇⑤馬超偉①②錢衛(wèi)平①高梅國②

①(北京跟蹤與通信技術(shù)研究所 北京 100094)

②(北京理工大學(xué)信息與電子學(xué)院 北京 100081)

③(中國空氣動(dòng)力研究與發(fā)展中心 綿陽 621000)

④(電子科技大學(xué)自動(dòng)化工程學(xué)院 成都 611731)

⑤(南京理工大學(xué)電子工程與光電技術(shù)學(xué)院 南京 210094)

為了提高航海雷達(dá)目標(biāo)檢測性能，該文主要研究多分形布朗運(yùn)動(dòng)在掃描模式下雷達(dá)海雜波分形建模中的應(yīng)用。該文驗(yàn)證實(shí)測海雜波數(shù)據(jù)具有非對稱和尖峰厚尾的非高斯統(tǒng)計(jì)分布，并且具有分形特性；同時(shí)也證實(shí)實(shí)測數(shù)據(jù)在一定的情況下滿足多分形布朗運(yùn)動(dòng)的假設(shè)條件。在此基礎(chǔ)上，利用多分形布朗運(yùn)動(dòng)對實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，計(jì)算得到隨時(shí)間變化的H?lder函數(shù)，結(jié)果顯示不同距離區(qū)域的H?lder指數(shù)是不同的，目標(biāo)處的H?lder指數(shù)大于海雜波處的H?lder指數(shù)。該文研究結(jié)果對后續(xù)目標(biāo)檢測方法的提出具有很大的幫助作用。

目標(biāo)檢測；海雜波；分形；多分形布朗運(yùn)動(dòng)；H?lder指數(shù)

1 引言

分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)(Fractional Brownian Motion, FBM)是一種自相似過程，對描述許多情況下出現(xiàn)的不規(guī)則信號(hào)具有很大的幫助。分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型已被大量用于海雜波特性分析和目標(biāo)檢測中。文獻(xiàn)[1]以分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)作為數(shù)學(xué)模型描述雷達(dá)回波信號(hào)，提取出海雜波和目標(biāo)回波的多種分形參數(shù)，并利用其固有的差異進(jìn)行海上目標(biāo)檢測，取得了較好的檢測效果。文獻(xiàn)[2]比較了海雜波與分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的特征，得出海雜波與分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)具有相似的增量統(tǒng)計(jì)特性。與傳統(tǒng)相干處理和分形變分法相比，基于FBM模型的分形方法能得到較好的處理結(jié)果。文獻(xiàn)[3,4]引入分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型對S波段雷達(dá)實(shí)測海雜波數(shù)據(jù)進(jìn)行了計(jì)算分析，證實(shí)了S波段雷達(dá)海面回波信號(hào)具有混沌分形特性，并在此基礎(chǔ)上提出了海雜波預(yù)測方法和海雜波背景下目標(biāo)檢測方法。文獻(xiàn)[5]對比分析了高頻雷達(dá)實(shí)測海雜波數(shù)據(jù)、分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型和多重分形模型的質(zhì)量指數(shù)函數(shù)和奇異指數(shù)。文獻(xiàn)[6]以海雜波分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型為基礎(chǔ)，初步解釋交叉標(biāo)度現(xiàn)象出現(xiàn)的機(jī)理～，提出基于標(biāo)度特性差異的目標(biāo)檢測算法。文獻(xiàn)[710]對海雜波頻域和分?jǐn)?shù)階傅里葉變換(FRactional Fourier Transform, FRFT)域的分形特性進(jìn)行了分析研究，證實(shí)了海雜波在頻域和FRFT域上滿足統(tǒng)計(jì)自相似條件，具有分形特性，并且提出了相應(yīng)的目標(biāo)檢測方法。文獻(xiàn)[11]將分段分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)引入到雷達(dá)海雜波分形建模中，從頻域角度對海雜波頻譜進(jìn)行分段描述。

然而，分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)模型要求在整個(gè)軌跡上的不規(guī)則特征是處處相同的。例如，當(dāng)FBM模型用于人工合成山脈地形時(shí)，假設(shè)前提是山脈地形的每一部分的不規(guī)則程度都是相同的。而實(shí)際由于侵蝕等因素的影響，自然中的山脈地形每一部分的粗糙度都是不同的，顯然假設(shè)條件與實(shí)際情況并不相符合。為了克服上述存在的局限，文獻(xiàn)[12,13]相繼獨(dú)立提出了多分形布朗運(yùn)動(dòng)(multifractional Brownian motion, mBm)。該模型的參數(shù)H是一個(gè)隨時(shí)間t變化的連續(xù)的β-H?lderian函數(shù)，滿足0＜inftH(t)≤suptH(t )＜min(1,β)。

目前，關(guān)于海雜波分形特性分析和目標(biāo)檢測方法的相關(guān)研究主要是針對高分辨雷達(dá)進(jìn)行的，并且不論是駐留模式還是掃描模式，使用的實(shí)測海雜波數(shù)據(jù)反映的都是同一片海域不同時(shí)刻經(jīng)海面反射雷達(dá)所接受到的回波信號(hào)，可以用一個(gè)時(shí)間的函數(shù)表示。而現(xiàn)階段使用的航海雷達(dá)所接受到的視頻信號(hào)表現(xiàn)為既是時(shí)間又是空間的函數(shù)形式。特別地，在雷達(dá)掃描線上的海面回波強(qiáng)度是空間距離的函數(shù)，并且由于采樣點(diǎn)數(shù)較少，限制了常用的分形方法在該情況下的研究和應(yīng)用。本文的主要工作是引入多分形布朗運(yùn)動(dòng)作為描述掃描模式下的雷達(dá)海雜波的數(shù)學(xué)模型。本文首先介紹了多分形布朗運(yùn)動(dòng)的概念及參數(shù)估計(jì)，然后從實(shí)際的觀測數(shù)據(jù)入手，分析了海雜波的統(tǒng)計(jì)特性和分形特性，最后利用多分形布朗運(yùn)動(dòng)對海雜波進(jìn)行分析建模。

2 多分形布朗運(yùn)動(dòng)

設(shè)(X,dX)和(Y,dY)是兩個(gè)度量空間。如果對任意x,y∈X，存在β＞0，使得當(dāng)dX(x,y)＜1，有

則稱函數(shù)f:X→Y是具有指數(shù)β的H?lder函數(shù)。

設(shè)H:[0,∞)→(0,1)是具有指數(shù)β＞0的H?lder函數(shù)，如果一個(gè)隨機(jī)過程BH(t)(t)對于t≥0，滿足則稱隨機(jī)過程是簡化的多分形布朗運(yùn)動(dòng)，其中W是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動(dòng)。依概率1, BH(t)(t)是t∈[0,∞)的連續(xù)函數(shù)。

對任意t≥0, 0＜H(t)＜min(1,β)，如果存在唯一的一個(gè)連續(xù)正值函數(shù)tσt，使得隨機(jī)過程連續(xù)，且具有性質(zhì)為

則稱該隨機(jī)過程為標(biāo)準(zhǔn)多分形布朗運(yùn)動(dòng)。

當(dāng)H(t)=H, t≥0，多分形布朗運(yùn)動(dòng)和分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)是等價(jià)的；對任意t≥0，多分形布朗運(yùn)動(dòng)是近似自相似的，即

由此可以看出，多分形布朗運(yùn)動(dòng)是分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的一種拓廣。因此，從某種意義上來說，多分形布朗運(yùn)動(dòng)損失了分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)本身原有的一些性質(zhì)：mBm的增量過程實(shí)際上是非平穩(wěn)的，mBm不再是自相似的。但是mBm的假設(shè)條件(即H是一個(gè)H?lder函數(shù))細(xì)化了mBm的連續(xù)性。

設(shè){Xi,n,i=1,2,…,n ?1}是mBm的離散形式，其在局部上(即適當(dāng)長度為δ的窗內(nèi))表現(xiàn)為給定H?lder指數(shù)的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)。于是，對部分K∈?+和H(·)∈(0,1]，可得到

其中j=i?δ,i?δ+1,…,i?q , i =δ+1,δ+2,…,n, q=1,2,…,δ。

基于此假設(shè)條件，文獻(xiàn)[14]在前人基礎(chǔ)上提出多分形過程的記憶函數(shù)的估計(jì)方法，得到一類H(t)的參數(shù)估計(jì)量，其表達(dá)式為

3 掃描模式下的海雜波分形特性分析

本文使用的海雜波數(shù)據(jù)是某船載導(dǎo)航雷達(dá)在航海過程中實(shí)時(shí)采集得到的，數(shù)據(jù)采集的范圍是以艦船為中心，半徑為10 km內(nèi)的海域。雷達(dá)發(fā)射信號(hào)脈沖重復(fù)頻率PRF為1300 Hz，接收機(jī)采樣率為60 MHz。雷達(dá)掃描一圈用時(shí)2.4 s，接收得到的一圈回波數(shù)據(jù)有大約3120條數(shù)據(jù)線，每條數(shù)據(jù)線約有4000個(gè)采樣點(diǎn)。圖1是某一圈掃描采集到的雷達(dá)回波圖像。圖2是圖1中某一條掃描線上的海面回波幅度值。從圖2中可以看出，在近距離處，入射到海面的雷達(dá)信號(hào)強(qiáng)度大，后向散射的回波信號(hào)強(qiáng)度也大。從近距離處到遠(yuǎn)距離處，回波信號(hào)的強(qiáng)度逐漸減弱。

3.1 海雜波的統(tǒng)計(jì)特性分析

通過計(jì)算實(shí)測數(shù)據(jù)的概率密度函數(shù)，得到其概率分布，其中某條掃描線實(shí)測數(shù)據(jù)的計(jì)算結(jié)果如圖3中實(shí)線所示。圖3中點(diǎn)劃線和虛線分別表示的是瑞利分布和與實(shí)測數(shù)據(jù)具有相同均值和方差的正態(tài)分布，可以看出，實(shí)測數(shù)據(jù)的分布函數(shù)與瑞利分布比較相近，而與正態(tài)分布不相符合；實(shí)測數(shù)據(jù)的分布不具有對稱性，有較長的拖尾，表明實(shí)測數(shù)據(jù)在時(shí)域上具有尖峰特性。

偏度γ1是衡量隨機(jī)變量對稱性的一個(gè)概率特征，刻畫了統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分布偏斜方向和程度。如果γ1＞0，意味概率密度函數(shù)右側(cè)的尾部比左側(cè)的長，分布的主體集中在左側(cè)，稱隨機(jī)變量具有正偏態(tài)分布；如果γ1＜0，意味概率密度函數(shù)左側(cè)的尾部比右側(cè)的長，分布的主體集中在右側(cè)，稱隨機(jī)變量具有負(fù)偏態(tài)分布；如果γ1=0，表示數(shù)值相對均勻地分布在平均值的兩側(cè)，稱隨機(jī)變量為對稱分布。正態(tài)分布屬于對稱分布。而峰度γ2是衡量隨機(jī)變量峰態(tài)的一個(gè)概率特征，刻畫了統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分布集中和分散的程度。如果γ2＞3，稱隨機(jī)變量服從尖峰態(tài)分布；如果γ2＜3，稱隨機(jī)變量服從低峰態(tài)分布。正態(tài)分布的峰度為3。通過計(jì)算實(shí)測數(shù)據(jù)得到，γ1=3.63, γ2=16.82。因此，實(shí)測數(shù)據(jù)具有非對稱性(正偏態(tài)分布)和尖峰特性(尖峰態(tài)分布)，故實(shí)測數(shù)據(jù)是非高斯的，與圖3的結(jié)論相符。

3.2 海雜波的長程相關(guān)特性分析

對數(shù)方差-時(shí)間圖法是判斷待測數(shù)據(jù)是否具有長程相關(guān)性的一種方法，利用該方法得到海雜波實(shí)測數(shù)據(jù)的log2var(xm)～log2m曲線，其中某條掃描線實(shí)測數(shù)據(jù)的計(jì)算結(jié)果如圖4所示，其中虛線表示的是斜率為?1的曲線。如果曲線的斜率大于?1，則被考察的信號(hào)序列具有長程相關(guān)性。顯然，實(shí)測數(shù)據(jù)的平均斜率大于?1，因此考察的海雜波數(shù)據(jù)具有長程相關(guān)性。

3.3 海雜波的分形特性分析

利用基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)和小波的兩種分形估計(jì)方法對海雜波距離向?qū)崪y數(shù)據(jù)進(jìn)行分析[15,16]。圖5和圖6分別是兩種方法的計(jì)算結(jié)果。從圖中可以看出，基于數(shù)學(xué)形態(tài)學(xué)的方法計(jì)算得到的log2(Ag(ε)/ε2)～log2(1/ε)曲線的斜率幾乎為1，而基于小波的方法計(jì)算得到的log2Γ(j)和分辨率j的曲線也近似于一條直線。從上面兩幅圖中的曲線特征，可以得出海雜波實(shí)測數(shù)據(jù)具有分形特性。

圖1 某一圈掃描采集到的雷達(dá)回波圖像

圖2 某一條掃描線上的海面回波幅度值

圖3 海雜波實(shí)測數(shù)據(jù)的概率分布函數(shù)擬合

圖4 海雜波實(shí)測數(shù)據(jù)的log2var(xm)～log2m 曲線

圖5 海雜波實(shí)測數(shù)據(jù)的log2(Ag(ε) /ε2)～log2(1/ε)曲線

圖6 海雜波實(shí)測數(shù)據(jù)的 log2Γ(j)～j 曲線

4 海雜波的多分形布朗運(yùn)動(dòng)建模

圖7是不同q值下的實(shí)測數(shù)據(jù)增量的概率分布，利用正態(tài)分布曲線對實(shí)測數(shù)據(jù)的概率分布曲線進(jìn)行擬合，擬合誤差結(jié)果如圖8所示。從圖7和圖8中可以看出，當(dāng)q=1時(shí)，海雜波的概率分布與正態(tài)分布存在較大差別；當(dāng)q=5時(shí)，兩者的差別有所減??；當(dāng)q=50時(shí)，海雜波的概率分布與正態(tài)分布近乎重合；當(dāng)q=100時(shí)，兩者的差別稍微有所增加。因此，在q的特定取值范圍內(nèi)，式(5)的假設(shè)對本文使用的實(shí)測數(shù)據(jù)是成立的。

(1)遠(yuǎn)距離區(qū)域和近距離區(qū)域回波信號(hào)的H?lder指數(shù)的分析：從圖2中可以看出，隨著距離由遠(yuǎn)及近，海雜波強(qiáng)度的變化是不一樣的。將整個(gè)回波數(shù)據(jù)分成近距離區(qū)域數(shù)據(jù)和遠(yuǎn)距離區(qū)域數(shù)據(jù)。根據(jù)第2節(jié)的參數(shù)估計(jì)方法，取δ=30, q=10, k=2，計(jì)算遠(yuǎn)、近距離區(qū)域的海雜波實(shí)測數(shù)據(jù)的逐點(diǎn)H?lder指數(shù)，結(jié)果如圖9所示。圖9(a)和圖9(b)分別是近距離區(qū)域和遠(yuǎn)距離區(qū)域海雜波數(shù)據(jù)的幅度波形和H?lder指數(shù)，從計(jì)算結(jié)果中可以得到：第一，對于近距離區(qū)域，H?lder指數(shù)小于某一數(shù)值，在本例中為0.6；第二，對于遠(yuǎn)距離區(qū)域，H?lder指數(shù)也小于某一數(shù)值，在本例中為0.3。因此，近距離區(qū)域和遠(yuǎn)距離區(qū)域的H?lder指數(shù)是不一樣的，前者的變化范圍要大于后者的變化范圍。分析認(rèn)為，海雜波可以看作是較大起伏表面疊加了一些快速變化的小起伏。當(dāng)觀測區(qū)域較近時(shí)，由于離雷達(dá)距離近，散射點(diǎn)分布豐富。某些散射點(diǎn)雖然相互間存在著細(xì)微的變化，但是它們處于同一個(gè)大的起伏表面，所在的區(qū)域具有一定的平滑作用，使得散射點(diǎn)回波不規(guī)則程度相對較弱，此時(shí)的H?lder指數(shù)較大；另一些散射點(diǎn)除了相互間具有細(xì)微變化，而且它們分別處于不同的起伏表面，散射點(diǎn)回波不規(guī)則程度較強(qiáng)，此時(shí)的 H?lder指數(shù)較小，所以，近距離區(qū)域存在較大范圍的H?lder指數(shù)變化；當(dāng)觀測區(qū)域較遠(yuǎn)時(shí)，信號(hào)的分形特征主要由相距較遠(yuǎn)的散射點(diǎn)之間的關(guān)系決定，同一起伏表面的平滑作用逐漸消失，散射點(diǎn)回波不規(guī)則程度較強(qiáng)，因此，遠(yuǎn)距離區(qū)域的H?lder指數(shù)變化范圍較小。

圖7 不同q值下的實(shí)測數(shù)據(jù)增量的概率分布

圖8 不同q值下的擬合誤差

圖9 海雜波實(shí)測數(shù)據(jù)的幅度波形和對應(yīng)的H?lder指數(shù)

(2)有目標(biāo)和無目標(biāo)回波信號(hào)的H?lder指數(shù)的分析： 圖10是第9圈含有目標(biāo)的掃描數(shù)據(jù)線的幅度波形和H?lder指數(shù)。從圖中可以得到：第一，近距離區(qū)域，目標(biāo)處的H?lder指數(shù)大于某一數(shù)值，在本例中為0.6；第二，遠(yuǎn)距離區(qū)域，目標(biāo)處的H?lder指數(shù)也大于某一數(shù)值，在本例中為0.3；第三，無論是近距離區(qū)域，還是遠(yuǎn)距離區(qū)域，相同區(qū)域內(nèi)目標(biāo)處的H?lder指數(shù)值大于同一區(qū)域內(nèi)雜波處的H?lder指數(shù)值，即。原因分析為，相對于海雜波，目標(biāo)表面光滑，散射點(diǎn)分布較均勻且差別很小，后向散射的回波強(qiáng)度變化微弱且緩慢，故H?lder指數(shù)較大；而由于海面起伏，散射點(diǎn)分布不均勻，海雜波具有較強(qiáng)的復(fù)雜性和不規(guī)則性，故H?lder指數(shù)較小。分形維數(shù)D與H?lder指數(shù)H有如下關(guān)系，即D=2?H，因此，海雜波處的分形維數(shù)值大于目標(biāo)處的分形維數(shù)值，這與前人的研究結(jié)果是一致的。

5 結(jié)束語

圖10 第9圈某掃描數(shù)據(jù)線的幅度波形和對應(yīng)的H?lder指數(shù)

本文介紹了多分形布朗運(yùn)動(dòng)及其參數(shù)估計(jì)，運(yùn)用統(tǒng)計(jì)和分形的計(jì)算方法，對掃描模式下的實(shí)測海雜波數(shù)據(jù)進(jìn)行了判定，證實(shí)了此種情況下的海雜波具有非對稱和尖峰厚尾的非高斯統(tǒng)計(jì)特性，同時(shí)也具有分形特性。本文利用多分形布朗運(yùn)動(dòng)對實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行建模，計(jì)算了隨時(shí)間變化的H?lder函數(shù)。研究發(fā)現(xiàn)：(1)近距離區(qū)域和遠(yuǎn)距離區(qū)域的海雜波實(shí)測數(shù)據(jù)的逐點(diǎn)H?lder指數(shù)是不同的，而且前者的變化范圍要大于后者的變化范圍。(2)目標(biāo)處的H?lder指數(shù)和海雜波處的H?lder指數(shù)存在較大差別，前者的H?lder指數(shù)值大于后者的H?lder指數(shù)值。該研究結(jié)果將有助于對海上目標(biāo)進(jìn)行有效檢測，后續(xù)將對海上目標(biāo)檢測方法和參數(shù)設(shè)置等問題做進(jìn)一步的研究。

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孫 康： 男，1985年生，博士后，研究方向?yàn)閷拵Ю走_(dá)信號(hào)處理、雷達(dá)海上目標(biāo)探測.

金 鋼： 男，1958年生，研究員，研究方向?yàn)樾畔⑴c信號(hào)處理、光學(xué)工程.

王超宇： 男，1985年生，博士生，研究方向?yàn)閴嚎s感知雷達(dá)目標(biāo)成像.

Modeling Sea Clutter in Radar Scanning Mode by Multifractional Brownian Motion

Sun Kang①②Jin Gang③④Wang Chao-yu⑤Ma Chao-wei①②Qian Wei-ping①Gao Mei-guo②

①(Beijing Institute of Tracking and Telecommunications Technology, Beijing 100094, China)

②(School of Information and Electronics, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China)

③(China Aerodynamics Research and Development Center, Mianyang 621000, China)

④(School of Automation, University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu 611731, China)

⑤(School of Electronic Engineering and Optoelectronic Technology, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China)

To improve the detection performance of marine radar, the application of multifractional Brownian motion to modeling the radar sea clutter in the scanning mode is studied. It is verified that real sea clutter data submit to a non-Gaussian distribution with asymmetry, high peak and heavy tail, and have fractal characteristics. In some cases the assumption of multifractional Brownian motion for the real data is satisfied. On the basis of this analysis, the real data are modeled by using the multifractional Brownian motion, and the time-dependent H?lder function of the real data is calculated. The results show that the H?lder exponents of different regions are not the same, and the H?lder exponent of target is significantly larger than that of the sea clutter. The research results are helpful to design a reliable detection method.

Target detection; Sea clutter; Fractal; Multifractional Brownian motion; H?lder exponent

TN959.72

： A

：1009-5896(2015)04-0982-07

10.11999/JEIT140730

2014-05-29收到，2014-09-03改回

*通信作者：孫康 sunkang_me@163.com