基于張量分解的互質(zhì)陣MIMO雷達目標(biāo)多參數(shù)估計方法

樊勁宇顧 紅蘇衛(wèi)民陳金立

①(南京理工大學(xué)電子工程與光電技術(shù)學(xué)院 南京 210094)

②(南京信息工程大學(xué)電子與信息工程學(xué)院 南京 210044)

基于張量分解的互質(zhì)陣MIMO雷達目標(biāo)多參數(shù)估計方法

樊勁宇*①顧 紅①蘇衛(wèi)民①陳金立②

①(南京理工大學(xué)電子工程與光電技術(shù)學(xué)院 南京 210094)

②(南京信息工程大學(xué)電子與信息工程學(xué)院 南京 210044)

該文提出了一種基于雙基地互質(zhì)陣列(CPA)多輸入多輸出(MIMO)雷達的多目標(biāo)波離方向角(DOD)、波達方向角(DOA)和多普勒頻率估計算法。收發(fā)陣列各由兩個滿足互質(zhì)結(jié)構(gòu)的稀疏均勻子線陣組成。時域的快拍序列同樣由兩個互質(zhì)的稀疏均勻采樣構(gòu)成。算法利用張量因子分解得到分別包含DOD, DOA和多普勒頻率信息的3個流形矩陣，再從中構(gòu)造出具有范德蒙德矩陣結(jié)構(gòu)的虛擬流形矩陣。為了提高估計精度，還提出了一種基于特征值分解的誤差抑制算法，并通過旋轉(zhuǎn)不變子空間算法(ESPRIT)求取各目標(biāo)的3個待估參數(shù)。與傳統(tǒng)算法相比，該算法通過構(gòu)造均勻虛擬陣列和虛擬快拍提高參數(shù)估計性能，且不會產(chǎn)生模糊，避免了譜峰搜索和額外的配對過程。仿真實驗驗證了該算法有效性。

雙基地MIMO雷達；互質(zhì)數(shù)對；張量分解；Swerling-I模型

1 引言

由無線通信中多輸入多輸出(MIMO)技術(shù)發(fā)展而來的的MIMO雷達近些年來引起了人們的廣泛關(guān)注，文獻[1]首次提出這一概念。與相控陣?yán)走_相比，該雷達具有更大的陣列孔徑、更高的陣列自由度和更好的低截獲性能[2?4]。得益于發(fā)射端的波形分集特性，雙基地MIMO雷達可以同時估計多個目標(biāo)的波離方向角(Direction Of Departure, DOD)和波達方向角(Direction Of Arrival, DOA)，從而實現(xiàn)交叉定位。文獻[5]將2維多重信號分類(2 Dimension-MUltiple SIgnal Classification, 2D-MUSIC)技術(shù)引入雙基地MIMO雷達，能夠同時估計多個目標(biāo)的DOD和DOA，并提出了一種降維MUSIC算法降低2維譜峰搜索的運算量。文獻[6]通過2次獨立的旋轉(zhuǎn)不變子空間參數(shù)估計(Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Techniques, ESPRIT)算法分別估計目標(biāo)DOD和DOA，算法避免了譜峰搜索，但需要進行額外的參數(shù)配對。文獻[7]對其做出了改進，提出一種自動配對的ESPRIT算法。文獻[8]將回波數(shù)據(jù)構(gòu)造成測量張量，利用張量因子分解得到目標(biāo)的各個流形矩陣，再通過傳統(tǒng)子空間算法(如ESPRIT等)求得目標(biāo)的DOD和DOA。在目標(biāo)雷達截面積(Radar Cross Section, RCS)滿足Swerling-I模型的條件下還可求得各目標(biāo)的多普勒頻率，且這些參數(shù)均自動配對。上述算法要求陣元間距滿足半波長限制，且脈沖重復(fù)頻率(Pulse Recurrence Frequency, PRF)大于2倍多普勒頻率，否則估計的參數(shù)會存在模糊。為了在相同陣元個數(shù)下得到更大的陣列孔徑，非均勻陣列被引入MIMO雷達信號處理領(lǐng)域。

非均勻線陣的各陣元間距組成一個特定序列，且均為半波長的整數(shù)倍。常見的非均勻線陣有：最小冗余陣列[9](Minimum Redundancy Array, MRA)、嵌套陣列[10](Nested Array, NA)和互質(zhì)陣列[11](Co-Prime Array, CPA)等。文獻[12]將非均勻線陣應(yīng)用于雙基地MIMO雷達，從匹配濾波輸出數(shù)據(jù)的自相關(guān)矩陣中構(gòu)造出虛擬MIMO陣列的導(dǎo)向矢量。再通過2維空間平滑算法估計出各目標(biāo)的DOD和DOA。該算法提高了MIMO雷達的角度估計精度且可以實現(xiàn)估計參數(shù)的自動配對。當(dāng)物理陣元個數(shù)較多時形成的虛擬陣元數(shù)將大大增加，此時2維空間平滑算法得到的2維虛擬陣列流形矩陣過于龐大不利于后續(xù)運算。此外，自相關(guān)運算會導(dǎo)致運算過程中丟失時域信息，因而無法估計目標(biāo)的多普勒頻率。

本文提出了一種基于非均勻線陣的目標(biāo)參數(shù)估計算法。選用了互質(zhì)陣作為收發(fā)陣列，并對文獻[8]中均勻采樣的快拍序列做出改進，僅對其中構(gòu)成互質(zhì)序列的若干非均勻快拍進行采樣。從而將非均勻陣列角度估計算法拓展到了非均勻快拍下的多普勒頻率估計中。算法首先將匹配濾波后數(shù)據(jù)構(gòu)造成三階張量，并利用張量分解從中求取互質(zhì)結(jié)構(gòu)下的收發(fā)陣列流形矩陣和多普勒信息矩陣。然后通過矩陣的Khatri-Rao乘積運算估計出均勻虛擬收發(fā)線陣各自的陣列流形矩陣和均勻虛擬快拍下的多普勒信息矩陣。針對運算過程中誤差放大問題提出了一種利用特征值分解進行誤差抑制的方法。最后利用ESPRIT算法從誤差抑制后的3組導(dǎo)向矢量中逐一估計出各目標(biāo)的DOD, DOA和多普勒頻率。算法利用非均勻線陣形成的虛擬陣列獲得更高的角度估計性能，通過構(gòu)造數(shù)量遠(yuǎn)高于實際采樣快拍數(shù)的均勻虛擬快拍提高了多普勒頻率估計精度，并降低了接收端信號處理的存儲成本。該算法能夠?qū)崿F(xiàn)參數(shù)間自動配對，且適用于MRA等其他非均勻陣列，文中僅以互質(zhì)陣為例是為了便于非均勻陣列和非均勻快拍序列的構(gòu)造。

2 系統(tǒng)模型

雙基地MIMO雷達的收發(fā)陣列分別為N和M個陣元的非均勻線陣。M路正交窄帶發(fā)射信號S=[s1,s2,…,sm]T∈?M×P滿足SSH=IM，其中(·)T表示轉(zhuǎn)置，(·)H表示共軛轉(zhuǎn)置，P為每個脈沖的采樣點數(shù)，IM為M維單位矩陣。假設(shè)有K個不相關(guān)的遠(yuǎn)場目標(biāo)，收發(fā)陣列流形矩陣分別為Ar=[ar1, ar2,…,arK]和At=[at1,at2,…,atK]，其中ark和atk分別為第k個目標(biāo)的接收和發(fā)射導(dǎo)向矢量。則接收端第q個快拍的輸出信號可以表示為其中Λq是以λkq=ckqej2πfdk(q?1)T(k=1,2,…,K)為對角元素的K維對角矩陣，ckq和fdk分別為第k個目標(biāo)在第q個快拍的RCS和多普勒頻率，T為脈沖重復(fù)周期。Nq為零均值加性高斯白噪聲，Q為每個相干處理間隔(Coherent Processing Interval, CPI)內(nèi)的快拍數(shù)。假設(shè)發(fā)射陣列由兩個具有互質(zhì)結(jié)構(gòu)的子線陣構(gòu)成，具有圖1所示結(jié)構(gòu)。陣元間距較大的子陣用●表示，陣元間距較小的子陣用○表示，兩個子陣共用的最左端參考陣元用?表示，陣元個數(shù)分別為2Mt和Nt(Mt＜Nt)，陣元間距分別為Mtλ/2和 Mtλ/2。其中λ為信號波長，Mt和Nt為兩個互質(zhì)的正整數(shù)，即Mt和Nt不含1以外的公約數(shù)，且滿足總陣元數(shù)M=2Mt+Nt?1。

圖1 互質(zhì)發(fā)射陣列結(jié)構(gòu)

設(shè)第k個目標(biāo)的DOD為φtk∈[0,2π)，其發(fā)射導(dǎo)向矢量可以表示為集合IM,N包含兩個子陣所有陣元位置。該導(dǎo)向矢量不滿足范德蒙德結(jié)構(gòu)，無法使用常規(guī)的角度估計算法。因此構(gòu)造矩陣Rtk=atka，其元素可以表示為。根據(jù)互質(zhì)數(shù)性質(zhì)，由p=im?in組成的集合?包含了區(qū)間[?MtNtMtNt]上的所有整數(shù)[13]。去除Rtk中冗余和非均勻的元素即可構(gòu)造向量

其等效于位于[?MtNtMtNt]處陣元間距為λ/2的均勻虛擬線陣的導(dǎo)向矢量，再利用ESPRIT算法即可估計出目標(biāo)發(fā)射角。綜上所述，虛擬陣列技術(shù)可以利用2Mt+Nt?1個陣元的稀疏互質(zhì)陣列構(gòu)造出2MtNt+1個陣元的虛擬滿陣。同理，在接收端可以得到2MrNr+1個陣元的虛擬接收陣列。

將上述互質(zhì)陣列的思想拓展到目標(biāo)多普勒頻率估計中，假設(shè)目標(biāo)滿足Swerling-I模型，其RCS在一個CPI內(nèi)保持不變，即ckq≡ck(q=1,2,…,Q)。通過將式(1)中Yq列向量化得到y(tǒng)q=vec(Yq)，令Y = [y1,…,yQ]，即可以構(gòu)造出整個CPI內(nèi)Q個快拍的數(shù)據(jù)矩陣。

其中⊕表示Khatri-Rao乘積。矩陣ΛT的第q列為矩陣Λq的對角線元素構(gòu)造成的列向量λq=[λ1q,…,λkq,…,λKq]T。N=[vec(N1),…,vec(Nq),…,vec(NQ)], vec(·)表示矩陣的列向量化。當(dāng)q取[1 Q]上的均勻序列，且相鄰兩快拍間隔滿足奈奎斯特采樣條件T≤1/(2fd)時，即可利用ESPRIT算法從矩陣Λ的第k個列向量λk中得到該目標(biāo)多普勒頻率的不模糊估計。為了降低數(shù)據(jù)存儲成本，僅采樣L個快拍的數(shù)據(jù)，快拍序列具有類似于收發(fā)陣列的互質(zhì)結(jié)構(gòu)，滿足lm,n∈LM,N={nlMl,0≤nl≤Nl?1}∪{mlNl, 0≤ml≤2Ml?1}，Ml和Nl為一對互質(zhì)數(shù)。此時，式(4)中矩陣Y的維數(shù)降低為(MN)×L，但仍可從2MlNl+1個連續(xù)的虛擬快拍中估計目標(biāo)的多普勒頻率。

基于上述回波模型，3.1節(jié)提出了一種在非均勻陣列以及非均勻快拍條件下估計目標(biāo)DOD, DOA和多普勒頻率的算法，并在3.2節(jié)中進行優(yōu)化以降低估計誤差。

3 互質(zhì)陣MIMO雷達參數(shù)估計算法

3.1 目標(biāo)多參數(shù)估計

為了從式(4)中得到tA,Ar和Λ的估計，在此引入張量分解算法。文獻[14]給出了張量的矩陣表示法。

定義1[14]N階張量X∈?I1×I2×…×IN的P模式展開矩陣X(P)可以表示為

其中A(1)～A(N)稱為張量X的N個因子矩陣。由上述定義可得，式(4)中矩陣Y為三階張量的二模式展開矩陣，該張量包含3個因子矩陣At,Ar和Λ。因此可將矩陣Y重構(gòu)成三階張量Y∈?M×N×L，其元素滿足ymnl=[Y](m?1)·N+n,l, [·]a,b表示矩陣第a行第b列的元素?？梢妝mnl表示第m路發(fā)射信號經(jīng)過多目標(biāo)散射在第n個接收陣元處得到的第l個快拍的輸出數(shù)據(jù)，因此可以改寫為

其中[·]a表示向量的第a個元素，emnl為噪聲張量中的相應(yīng)元素。

定義2[14]若張量X∈?I1×I2×…×IN為N個向量的外積，即張量的每個元素等于這N個向量相應(yīng)元素的乘積，則X為秩1張量。

根據(jù)上述定義和式(6)，張量Y可以表示為K個秩1張量的和：

“°”表示向量外積。atk,ark和λk分別為矩陣At,Ar和Λ的第k列。張量分解的目的就是從具有式(7)結(jié)構(gòu)的張量Y中得到3個因子矩陣的估計,和Λ?。交替最小二乘算法(Alternating Least Squares, ALS)可以求解這一問題[15]。求得的矩陣與At的列向量存在幅度和順序上的模糊。記為=AtΓ1Γ2, Γ1為列置換矩陣，Γ2=diag(c1,…,ck,…,cK)為列加權(quán)矩陣，ck為隨機復(fù)常數(shù)。為了構(gòu)造形如式(3)的虛擬導(dǎo)向矢量，令

其中Πt為(2MtNt+1)×(2Mt+Nt?1)2維選擇矩陣，使得選取后的矩陣 等效于[?MtNtMtNt]處虛擬發(fā)射陣列的陣列流形。令Πt1,Πt2分別為矩陣Πt的前2MtNt行和后2MtNt行，[·]fr和[·]lr分別表示矩陣的第一行和最后一行，由式(3)可得

滿足Πt2=Πt1·Φt,Φt是以(e?jπcosφt1,…, e?jπcosφtk,…,e?jπcosφtK)為對角元素的對角矩陣。則第k個目標(biāo)的DOD可以利用ESPRIT算法求得

其中arg[·]表示取復(fù)數(shù)幅角，(·)+表示矩陣偽逆。以此類推，可以利用估計得到的因子矩陣和構(gòu)造出形如式(3)的向量和，求得第k個目標(biāo)的DOA和多普勒頻率

討論1 均勻快拍下的目標(biāo)多普勒頻率估計算法要求發(fā)射信號PRF滿足奈奎斯特采樣條件fPRF≥2fdk。本文采用的非均勻快拍序列由2個均勻稀疏快拍序列構(gòu)成，具有類似圖的互質(zhì)結(jié)構(gòu)。其PRF分別為fPRF1=fPRF/Ml和fPRF2=fPRF/Nl，均不滿足上述采樣條件，常規(guī)算法下得到的速度估計會存在周期性模糊。但得益于Ml和Nl的互質(zhì)關(guān)系，構(gòu)造出的2MlNl+1個虛擬快拍均勻分布，其PRF滿足=fPRF。因此，僅要求≥2fdk即可解決由非均勻稀疏快拍造成的速度模糊問題。

3.2 改進的參數(shù)估計算法

由式(7)可知，在噪聲環(huán)境下通過ALS算法得到3個因子矩陣的估計t,r和存在一定誤差。令tk=ck(atk+σntk)，其中σntk為該導(dǎo)向矢量的估計誤差，且σ?1。虛擬均勻發(fā)射線陣的導(dǎo)向矢量的估計值為

?表示kronecker積，該運算使得張量分解產(chǎn)生的估計誤差被放大，從而影響式(10)中DOD估計精度。針對這一問題，提出了一種基于特征值分解的誤差抑制算法。

其中0a×b表示a×b維全零矩陣，0≤i≤MtNt。由式(3)和式(13)可以構(gòu)造：

討論2 張量分解參數(shù)估計算法的最大可估目標(biāo)數(shù)由張量因子矩陣的秩決定。當(dāng)目標(biāo)個數(shù)K滿足2K+2≤kAt+kAr+kΛ時，式(7)中張量Y分解出的K個秩1張量是唯一的。其中ktA,kAr和kΛ分別表示式(4)中矩陣tA,rA和Λ的秩。每個秩1張量僅包含單一目標(biāo)的待估參數(shù)信息，因此式(10)式(11)估得的參數(shù)不需要額外的配對算法。3.2節(jié)中的優(yōu)化算法同樣也是基于單個秩1張量的運算，所以式(16)中的各估計值也是一一對應(yīng)的。

討論3 由式(9)和式(10)可知旋轉(zhuǎn)不變因子ηtk=ej?=ej2πdtcosφtk /λ的估計誤差影響了方向余弦utk=cosφtk的估計精度，從而決定了算法的角度估計性能。而ηtk的估計值又由相鄰兩虛擬陣元的信號相位誤差Δ?和陣元間距誤差Δd決定，即= ej2π(dt+Δd)utk /λ+Δ?。不難得到方向余弦utk的估計誤差為

可見參數(shù)估計誤差將不再僅僅受到回波噪聲的影響。而3.2節(jié)所提改進算法主要作用是抑制加性噪聲，因此本文需要建立在兩項測量誤差Δ?和Δd均為0，僅存在加性高斯白噪聲時的理想情況下。

表1列出了算法的基本步驟。

4 仿真實驗

本節(jié)通過蒙特卡羅實驗驗證算法有效性，并對比了文獻[8]，文獻[12]，本文3.1節(jié)和本文3.2節(jié)所提算法的估計性能。文獻[8]采用均勻線型收發(fā)陣列，文獻[12]和本文算法采用相同結(jié)構(gòu)的非均勻互質(zhì)線陣。文獻[8]和文獻[12]采用均勻采樣，快拍數(shù)為Q，本文算法采樣的快拍序號服從第2節(jié)所述的互質(zhì)結(jié)構(gòu)，共計L個快拍。雷達工作載頻為1 GHz，發(fā)射信號為正交的Hadamard編碼信號，脈沖內(nèi)編碼數(shù)為128，脈沖重復(fù)周期均為100 μs。3個遠(yuǎn)場不相關(guān)目標(biāo)的DOD, DOA和多普勒頻率分別為：φt= {70.2738°,65.4826°,55.5839°},φr={65.2485°,55.3847°, 44.3847°}和fd={2 kHz, 3.5 kHz, 1.5 kHz}。噪聲為獨立零均值加性高斯白噪聲。假設(shè)收發(fā)陣列結(jié)構(gòu)相同，定義角度估計均方根誤差(Angle Root Mean Square Error, ARMSE)和多普勒頻率估計均方根誤差(Doppler Root Mean Square Error, DRMSE)為

表1 算法基本步驟

實驗次數(shù)Nm=100。各圖中短虛線、長虛線、實線和點畫線分別表示本文3.1節(jié)、本文3.2節(jié)、文獻[12]和文獻[8]算法的仿真數(shù)據(jù)。

圖2為4種算法估計誤差隨信噪比變化曲線。文獻[8]和文獻[12]算法的快拍數(shù)為20，本文所提2種算法的快拍序列具有互質(zhì)結(jié)構(gòu)，互質(zhì)數(shù)對為Ml=5和Nl=11，實際采樣的快拍數(shù)也等于20。文獻[8]采用6陣元均勻收發(fā)陣列，陣元間距為λ/2。文獻[12]和本文2種算法均采用圖1結(jié)構(gòu)的收發(fā)陣列，互質(zhì)數(shù)對為Mt=2和Nt=3。信噪比變化范圍為[0 dB, 30 dB]。由圖2(a)可知，本文及文獻[12]由于收發(fā)陣列的互質(zhì)結(jié)構(gòu)形成了更多的虛擬陣元，獲得了比文獻[8]中均勻線陣更高的角度估計精度。本文3.1節(jié)的算法由于運算過程中誤差被放大，角度估計精度低于文獻[12]中的2維空間平滑算法。經(jīng)過本文3.2節(jié)算法的優(yōu)化，最終的估計精度略高于文獻[12]所述算法。由圖2(b)可知，文獻[12]的算法無法估計目標(biāo)的多普勒頻率。得益于快拍序列的互質(zhì)結(jié)構(gòu)，本文3.1節(jié)算法具有比文獻[8]更高的多普勒估計精度。并且在3.2節(jié)算法優(yōu)化后估計誤差進一步減小。

圖3為4種算法估計誤差隨實際采樣的快拍數(shù)變化曲線。收發(fā)陣列結(jié)構(gòu)同上一實驗相同，信噪比為0 dB。實際采樣快拍數(shù)的變化范圍為[20, 100]。本文2種算法快拍序號具有互質(zhì)結(jié)構(gòu)，為了保證同文獻[8]和文獻[12]的快拍數(shù)相同，互質(zhì)數(shù)對分別為Ml={5,10,15,20,25}和Nl={11,21,31,41,51}。由圖3(a)可知，本文3.2節(jié)的算法可以獲得遠(yuǎn)高于文獻[8]且略高于文獻[12]角度估計精度，這一優(yōu)勢在低快拍條件下仍然保持。由圖3(b)可知，在低快拍下本文3.2節(jié)的算法可以利用虛擬快拍提高多普勒頻率估計精度，且提升效果隨著快拍數(shù)的增加而增大。

5 結(jié)束語

本文提出了一種基于非均勻線型收發(fā)陣列的雙基地MIMO雷達目標(biāo)DOD, DOA和多普勒頻率估計算法。收發(fā)陣列均采用非均勻互質(zhì)線陣，且一個CPI內(nèi)采樣的快拍序號也具有互質(zhì)結(jié)構(gòu)。算法首先利用張量分解從測量張量中求取3個因子矩陣，從中構(gòu)造出虛擬均勻線陣的陣列流形矩陣和虛擬均勻采樣的多普勒信息矩陣。然后構(gòu)造虛擬導(dǎo)向矢量的自相關(guān)矩陣，通過特征值分解得到誤差抑制后的虛擬導(dǎo)向矢量。最后通過ESPRIT算法求得目標(biāo)的DOD, DOA和多普勒頻率。仿真結(jié)果表明算法在相同陣元數(shù)和快拍數(shù)條件下能得到比普通MIMO雷達更高的參數(shù)估計精度，且各參數(shù)間無需額外的配對算法。

圖2 估計誤差與信噪比關(guān)系曲線

圖3 估計誤差與快拍數(shù)關(guān)系曲線

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樊勁宇： 男，1985年生，博士生，研究方向為MIMO雷達陣列信號處理、目標(biāo)定位等.

顧 紅： 男，1967年生，博士，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向為噪聲雷達、MIMO雷達信號處理、雷達成像、目標(biāo)識別等.

蘇衛(wèi)民： 男，1959年生，博士，教授，博士生導(dǎo)師，研究方向為陣列信號處理、雷達成像等.

Co-prime MIMO Radar Multi-parameter Estimation Based on Tensor Decomposition

Fan Jin-yu①Gu Hong①Su Wei-min①Chen Jin-li②

①(School of Electronic Engineering and Optoelectronic Technology, Nanjing University of Science and Technology, Nanjing 210094, China)

②(Colllege of Electronic and Information Engineering, Nanjing University of Information Science and Technology, Nanjing 210044, China)

A novel algorithm for estimation of Direction Of Departure (DOD), Direction Of Arrival (DOA), and Doppler frequency based on bistatic MIMO radar with Co-Prime Array (CPA) is presented. The transmit and receive arrays are both composed of a pair of sparse uniform subarrays. Similarly, a pair of snapshot sequences with co-prime intervals constitutes the sampling of temporal. Three manifold matrices which contain multi-targets' DODs, DOAs and Doppler frequencies respectively are estimated through tensor decomposition. From which a group of Vandermonde matrices of virtual manifold are constructed. To improve the estimation accuracy, an error depressing algorithm based on eigenvalue decomposition is proposed. Finally, the above three parameters are estimated by an Estimation of Signal Parameters via Rotation Invariant Techniques (ESPRIT) algorithm. The proposed algorithm offers better performance through virtual array and virtual snapshot without parameter ambiguous. It requires neither peak searching nor pairing processes, and the simulation results are presented to verify the effectiveness of the proposed algorithm.

Bistatic MIMO radar; Co-prime pair; Tensor decomposition; Swerling-I model

TN958

： A

：1009-5896(2015)04-0933-06

10.11999/JEIT140826

2014-06-23收到，2014-11-06改回

國家部委基金，教育部博士點基金(20113219110018)，中國航天科技集團公司航天科技創(chuàng)新基金(CASC04-02)，國家自然科學(xué)基金(61302188)和江蘇省自然科學(xué)基金(BK20131005)資助課題

*通信作者：樊勁宇 chisame904@gmail.com