淺談高中數學重要不等式的幾何直觀

王海燕

（遼寧省海城市海城高級中學）

不等式是高中數學教學中的重要內容，不等式的證明是高中數學的一個難點，也是歷屆高考中的熱點問題。新課程標準把不等式設置為專題選講內容，對本專題的設計特別強調不等式及其證明的幾何意義與背景，注重讓大多數學生通過不等式的幾何背景理解數學思想、認識數學本質，強調了不等式的幾何直觀，而淡化了證明不等式中比較復雜或過于技巧化的方法。

每一個幾何圖形中都蘊藏著一定的數量關系，而數量關系又常常可以通過圖形的直觀性作出形象的描述，代數公式的幾何直觀，給原本抽象的代數式賦予更本質、更易于理解和記憶的意義，也體現了數學中最重要也是最基本的思想方法之一——數形結合，體現了數學的本質特征。美國數學家斯蒂思曾說：如果一個特定的問題可以被轉化為一個圖形，那么，思想就整體地把握了問題，并且能創(chuàng)造性地思索問題的解法。法國數學家G.紹蓋曾說：一堆沒有實驗和直觀所支持的定義，不能開發(fā)智力，而只能關閉思路。直觀是創(chuàng)造活動和幾何學之間的連桿，思維想象則是另一重要連桿?？梢妿缀沃庇^在數學學習與研究中的廣泛應用和重要作用。

不等式的幾何直觀為解題提供思路和方法，幫助學生深刻理解、記憶代數公式的有效途徑，是證明不等式的簡捷方法。

一、絕對值不等式：

圖1

二、“濃度”不等式：

圖2

三、均值不等式

圖3

圖4

圖5

四、調和不等式

即調和中項≤幾何中項≤算數中項≤均方根

圖6

圖7

五、柯西不等式：（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2

圖8

通過以上一些重要不等式的幾何直觀，我們一定驚嘆于數與形結合的美感。這些重要的代數公式，都是通過一些淺顯的幾何事實得到的。這種數與形的轉化思想是值得我們在數學教學中重視和學習的。幾何直觀體現了數形結合的一方面，而數學教學和學習的過程都不能只側重某一方面，要培養(yǎng)學生嘗試且熟練將數與形結合起來，既要會“以形助數”，又要會“以數解形”。

在實際教學過程中，教師在講授以上代數公式時，可以通過這些代數公式的幾何直觀來創(chuàng)設情境，引導學生從直觀幾何圖形中發(fā)現相等或不等關系，進而得到代數等式或不等式，使學生通過幾何直觀對代數公式有初步認識，然后再進行嚴格的邏輯推理證明加深認識，促進學生抽象思維的進一步發(fā)展，同時培養(yǎng)學生數學邏輯的嚴密性。直觀與邏輯對我們來說缺一不可，但從發(fā)現真理培養(yǎng)意識與思維能力的角度看，直觀是第一位的。所以在講授這些代數公式的過程中，它們的幾何意義必不可少。

總之，幾何直觀可以以形象思維來彌補抽象思維的欠缺，可以有效地培養(yǎng)學生抽象思維和形象思維的協調能力，進而促進抽象思維的發(fā)展，最終達到理性思維的鍛煉和發(fā)展。幾何直觀會給學生解題帶來方便，可以培養(yǎng)學生自信心，增強學生數學學習的興趣。可見幾何直觀在數學學習與研究中是非常重要的，在教學過程中教師要時刻有意地滲透這種思想，加強學生的應用意識，使學生的數學素養(yǎng)得到提升。

［1］E.貝肯巴赫，R.貝爾曼.不等式入門［M］.北京大學出版社，1985.

［2］方初寶，陳兆禮，李葉明.數學猜想法淺談［M］.科學技術文獻出版社重慶分社，1988.

［3］余紅兵，嚴鎮(zhèn)軍.構造法解題［M］.中國科學技術大學出版社，1992.

［4］張奠宙，張廣祥.中學代數研究［M］.高等教育出版社，2006.