基于分形的左手材料設(shè)計(jì)

陳華等

摘 要： 為了尋找一種設(shè)計(jì)出特異媒質(zhì)單元結(jié)構(gòu)的可行方法，利用分形理論中的文法構(gòu)圖法，采用不同的公理和改寫規(guī)則，設(shè)計(jì)出兩種全新的分形圖案，之后將其周期性地分別蝕刻在介質(zhì)板兩面，通過電磁仿真軟件HFSS得到其散射參數(shù)的幅值和相位，利用等效參數(shù)提取軟件提取其等效參數(shù)，成功構(gòu)造出特異媒質(zhì)中的一類，即左手材料，且在5.5～6 GHz頻率下其等效介電常數(shù)和等效磁導(dǎo)率均為負(fù)。利用分形理論構(gòu)造特異媒質(zhì)單元結(jié)構(gòu)的方法是方便可行的，且圖形有無窮可能性。

關(guān)鍵詞： 分形； 左手材料； 等效介電常數(shù)； 等效磁導(dǎo)率

中圖分類號(hào)： TN82?34 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 1004?373X（2015）08?0096?03

Left?handed metamaterials design based on fractal geometry

CHEN Hua1， JIA Jia2， JIA Yuan?yuan1， CHEN Zhe?si3

（1. Center of Disease Control and Prevention， Chengdu Military Region， Chengdu 610021， China；

2. The information Center of Comprehensive Plan Office of Air Force Equipment Department， Beijing 100843， China；

3. Department of Rehabilitation Medicine， General Hospital of Chengdu Military Region， Chengdu 610083， China）

Abstract： To find a feasible way to design metamaterial structure， by using different axioms and rewriting rules， two kinds of new fractal pattern were designed， and then periodically etched in the medium plate on both sides respectively. The amplitude and phase of scattering parameter were obtained with electromagnetic simulation software HFSS. The equivalent parameter is extracted with the equivalent parameter extraction software. The left?handed metamaterial in peculiar medium was successfully constructed， whose equivalent dielectric constant and equivalent permeability are both negative under 5.5～6 GHz frequency. The method to construct metamaterial structure by using fractal theory is convenient and feasible， and the graphics have infinite possibility.

Keywords： fractal； left?handed metamaterial； effective permittivity； effective permeability

0 引 言

“Metamaterials”是本世紀(jì)物理學(xué)領(lǐng)域出現(xiàn)的一個(gè)新的學(xué)術(shù)詞匯，國內(nèi)稱為特異媒質(zhì)，或是電磁超材料，其是指一些具有天然材料所不具備的超常物理性質(zhì)的人工復(fù)合結(jié)構(gòu)或復(fù)合材料[1]。其典型代表有左手材料（LHMs）、零折射率材料（ZIMs）、光子晶體（EBG）等[2?4]。左手材料是指其等效介電常數(shù)和等效磁導(dǎo)率同時(shí)為負(fù)值的特異媒質(zhì)，由于其具有諸如如負(fù)折射現(xiàn)象[5]、逆多普勒效應(yīng)、逆Cerenkov輻射[6]等不同尋常的物理性質(zhì)，因此在微波平板聚焦透鏡、帶通濾波器、耦合器、天線以及隱身衣等方面具有廣泛的應(yīng)用前景。未來，左手材料將會(huì)在無線通信的發(fā)展中起到不可忽略的作用。

分形（Fractal），源于拉丁詞語fractus，意思是不規(guī)則支離破碎形。其概念由法國數(shù)學(xué)家B.Mandelbrot提出，用以描述人們?cè)谘芯孔匀缓涂茖W(xué)實(shí)驗(yàn)中遇到的無法用傳統(tǒng)歐式幾何描述，卻具有某種自相似特性（局部形態(tài)與整體形態(tài)相似）的不規(guī)則結(jié)構(gòu)和現(xiàn)象[7]。利用分形原理，可以設(shè)計(jì)出大量形狀各異的分形圖案。

目前，大部分特異媒質(zhì)的設(shè)計(jì)為由平面單元組成的周期性結(jié)構(gòu)，但在工程運(yùn)用中，如何設(shè)計(jì)特異媒質(zhì)卻一直是一個(gè)難點(diǎn)，本文正是探索利用分形圖案設(shè)計(jì)特異媒質(zhì)中的左手材料。

1 兩種新的分形圖案設(shè)計(jì)

分形理論是當(dāng)今十分風(fēng)靡和活躍的新理論。其最基本的特點(diǎn)是用分形分維的數(shù)學(xué)工具來描述研究客觀事物。構(gòu)造分形的方法很多：迭代函數(shù)法、文法構(gòu)圖法、逃逸時(shí)間算法等。本文采用文法構(gòu)圖法來構(gòu)造分形，字符串替換是此法的核心思想[8]。可以理解為：若一個(gè)字符串由字母a和b組成（a和b可能出現(xiàn)多次），每一個(gè)字母對(duì)應(yīng)一個(gè)改寫規(guī)則，如a→b，b→ab。假設(shè)初始字符串（稱為公理）僅由字母aab組成，那么經(jīng)過兩次改寫后，字符串變成了aab→bbab→ababbab，以此類推，這種做法用來表示生長過程是很有意義的。之后，再將每一種字符賦予不同的操作，就能生成各種圖形。例如生成三階Koch曲線時(shí)，只要設(shè)置公理為F，改寫規(guī)則為F→F+F--F+F，迭代次數(shù)為3即可，之后規(guī)定字符代表的操作為：遇到“F”，向前移動(dòng)一步并畫線，步長為d；遇到“+”，逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°；遇到“-”，順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°。這樣三階Koch曲線便可以生成。如圖1所示為Koch曲線的生成過程。

圖1 Koch曲線生成過程

利用此方法，本文設(shè)計(jì)的第一種分形圖形為“箭頭”形，采用公理為M+++M+++M+++M，改寫規(guī)則為M→M++++A--A--A--A--A++++M，其中字母M代表向前畫一條長度為M的線段，字母A代表向前畫一條長度為A的線段，“+”代表逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30度，“-”代表順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°，經(jīng)過一次改寫后，生成的圖形如圖2所示。

圖2 “箭頭”形分形圖案

設(shè)計(jì)的第二種分形圖形為“十”字形，采用公理為H-H-H-H，規(guī)則為H→H-H--H-H-H--H-H。字母H代表向前畫一條長度為F+K，寬度為K 的矩形條，“+”代表逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，“-”代表順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°。經(jīng)過一次改寫后，生成的圖形如圖3所示。

2 等效參數(shù)提取軟件的正確性驗(yàn)證

等效參數(shù)提取軟件是一款基于Smith方法而自行開發(fā)的軟件，其原理是通過散射參數(shù)的幅度和相位計(jì)算出折射率和阻抗，之后再獲得等效介電常數(shù)和等效磁導(dǎo)率值的方法[9]。為了保證后期計(jì)算出來數(shù)據(jù)的可靠性，首先對(duì)等效電磁參數(shù)提取軟件的正確性進(jìn)行驗(yàn)證。

圖3 “十”字形分形圖案

驗(yàn)證采用的模型是著名的Srr?Rod結(jié)構(gòu)，將開口諧振環(huán)（Srr）和金屬細(xì)線（Rod）分別印刷在微波基板兩面，具體結(jié)構(gòu)如圖4（a）所示，根據(jù)文獻(xiàn)[10]中的數(shù)據(jù)，單元結(jié)構(gòu)尺寸分別為：矩形環(huán)外環(huán)邊長w=3 mm，矩形環(huán)條帶寬度c=0.25 mm，內(nèi)外環(huán)間距d=0.5 mm，矩形環(huán)開口寬度g=0.5 mm，金屬細(xì)線寬度g=0.5 mm，金屬細(xì)線長度a=5 mm，單元間距4.8 mm，微波基板的介電常數(shù)為3.84，損耗角正切為0.018，長度和寬度均為5 mm，厚度0.25 mm。圖4（b）為仿真模型俯視圖，波沿x方向傳播。

圖4 Srr?Rod單元結(jié)構(gòu)示意圖和Srr?Rod模型俯視圖

經(jīng)過仿真計(jì)算之后得到的散射參數(shù)幅值和相位如圖5所示。用等效參數(shù)提取軟件提取出等效介電常數(shù)和等效磁導(dǎo)率的實(shí)部和虛部，之后分別與參考文獻(xiàn)中得出的等效參數(shù)結(jié)果對(duì)比，如圖6所示，可以發(fā)現(xiàn)兩者結(jié)果十分吻合。

3 設(shè)計(jì)模型的參數(shù)提取

在介電常數(shù)2.65，邊長L=12 mm，厚度1 mm的微波基板兩側(cè)分別蝕刻如圖2、圖3所示的“箭頭”形和“十”字形兩種分形圖形。其中，參數(shù)M=4.3 mm，A=2.4 mm，F(xiàn)=1.1 mm，K=1.2 mm，電磁波沿z軸垂直介質(zhì)板入射。之后利用該軟件對(duì)此基于分形設(shè)計(jì)出來的模型進(jìn)行參數(shù)提取。

圖5 S參數(shù)幅值和相位

圖6 等效介電常數(shù)實(shí)部和虛部

根據(jù)仿真計(jì)算的散射參數(shù)幅值和相位結(jié)果，得到了此材料的等效介電常數(shù)、等效磁導(dǎo)率以及折射率的實(shí)部和虛部具體值。結(jié)果表明，在5.5～6 GHz頻率范圍內(nèi)，此模型的等效介電常數(shù)、等效磁導(dǎo)率及折射率均為負(fù)，即呈現(xiàn)左手材料性質(zhì)，如表1所示。

表1 模型在5.5～6.0 GHz處的等效電磁參數(shù)實(shí)部和虛部數(shù)據(jù)

圖7為該左手材料的等效介電常數(shù)、等效磁導(dǎo)率以及折射率的實(shí)部和虛部曲線圖。

圖7 左手材料實(shí)部和虛部

4 結(jié) 語

特異媒質(zhì)的單元結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)一直是個(gè)難點(diǎn)。但在本文中，利用分形理論中文法構(gòu)圖法，一種新型左手材料被成功設(shè)計(jì)出來，表明此方法是有效可行的。更多特異媒質(zhì)結(jié)構(gòu)，如零折射率材料，EBG結(jié)構(gòu)等都可嘗試?yán)么朔ㄟM(jìn)行設(shè)計(jì)。

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