復(fù)合環(huán)境試驗(yàn)夾具靈敏度分析及多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)

李海峰，劉建波，鄧谷雨，王東升

（1.中國(guó)工程物理研究院 計(jì)算機(jī)應(yīng)用研究所，綿陽(yáng) 621999；2.中國(guó)工程物理研究院 總體工程研究所，綿陽(yáng) 621999）

0 引言

武器產(chǎn)品在使用過(guò)程中將遇到振動(dòng)、加速度、溫度、噪聲等惡劣環(huán)境，為保證使用可靠性，需要通過(guò)大量地面環(huán)境模擬試驗(yàn)來(lái)判斷、評(píng)估其環(huán)境適應(yīng)能力[1]。當(dāng)前，受限于技術(shù)水平，多數(shù)環(huán)境試驗(yàn)只針對(duì)某單一環(huán)境因素進(jìn)行，但在武器產(chǎn)品貯存、運(yùn)輸和使用過(guò)程中常常受到多種環(huán)境因素共同作用，并且不同環(huán)境因素之間相互影響，如高溫與振動(dòng)兩種環(huán)境同時(shí)作用會(huì)相互強(qiáng)化對(duì)方的影響。在許多情況下，多環(huán)境因素共同作用比其中任何一種單一環(huán)境因素對(duì)武器產(chǎn)品的影響更嚴(yán)重。隨著計(jì)算機(jī)、自動(dòng)控制技術(shù)的發(fā)展和武器產(chǎn)品研制的需求，工程上迫切需要開(kāi)展復(fù)合環(huán)境試驗(yàn)研究。

夾具是連接振動(dòng)臺(tái)和試件的過(guò)渡裝置，起著連接或固定試件、傳遞能量和運(yùn)動(dòng)的作用。夾具結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)是模擬環(huán)境試驗(yàn)中一個(gè)非常重要的環(huán)節(jié)，試驗(yàn)安全性、結(jié)果可信度與其結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、制造及安裝、使用水平密切相關(guān)。夾具特性對(duì)試件響應(yīng)的影響非常顯著，往往關(guān)系到試驗(yàn)?zāi)芊耥樌麑?shí)施、武器產(chǎn)品能否按規(guī)定的環(huán)境條件經(jīng)受考核。當(dāng)夾具發(fā)生共振時(shí)，輸入和輸出將不再保持相同的值，并且?jiàn)A具上各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)參數(shù)也不再保持一致，這將對(duì)試驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生很大影響[2]。因此，理想的夾具是在試驗(yàn)條件下不破壞、不出現(xiàn)共振，且具有足夠的剛度將振動(dòng)臺(tái)的能量傳遞給試件。

由于振動(dòng)平臺(tái)環(huán)境信息不足并且平臺(tái)動(dòng)力學(xué)特性設(shè)計(jì)難度大，目前國(guó)內(nèi)外工作重點(diǎn)仍關(guān)注于夾具結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，并以實(shí)現(xiàn)載荷傳遞為首要目標(biāo)[2]。在國(guó)內(nèi)環(huán)境試驗(yàn)中，大都采用經(jīng)驗(yàn)設(shè)計(jì)結(jié)合有限元方法進(jìn)行夾具設(shè)計(jì)，基本能滿足試驗(yàn)要求，但存在設(shè)計(jì)周期長(zhǎng)、改進(jìn)后性能提高小等缺點(diǎn)。因此，需要根據(jù)實(shí)際情況對(duì)夾具結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化并改進(jìn)設(shè)計(jì)，重點(diǎn)關(guān)注夾具結(jié)構(gòu)的質(zhì)心、強(qiáng)度、剛度、動(dòng)力及抗振特性、質(zhì)量及綜合性能，最終使夾具滿足試驗(yàn)要求，做到設(shè)計(jì)工作周期短、質(zhì)量高、效率高、成本低。

本文根據(jù)工程實(shí)際，從安全角度角度出發(fā)，提出了對(duì)某振動(dòng)—加速度復(fù)合環(huán)境試驗(yàn)夾具結(jié)構(gòu)尺寸進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)的方法。以結(jié)構(gòu)固有振動(dòng)頻率和承載時(shí)應(yīng)力為響應(yīng)，以尺寸為設(shè)計(jì)變量，由響應(yīng)面法[3]得到各響應(yīng)與設(shè)計(jì)變量的函數(shù)關(guān)系，求出其靈敏度。根據(jù)目標(biāo)重構(gòu)法[4]將各單目標(biāo)響應(yīng)耦合，用約束非線性最優(yōu)化方法[5]，引入約束條件尋優(yōu)，求得夾具結(jié)構(gòu)響應(yīng)多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果。其目的是在滿足夾具質(zhì)量和外形尺寸約束條件下，如何設(shè)計(jì)在慣性載荷與振動(dòng)載荷聯(lián)合作用下動(dòng)態(tài)特性最優(yōu)的試驗(yàn)夾具。

1 夾具結(jié)構(gòu)

該復(fù)合環(huán)境試驗(yàn)夾具呈“U”型結(jié)構(gòu)，由底板、立板、側(cè)板、加筋板及試驗(yàn)件（圓柱1與圓柱2組成）組成，其結(jié)構(gòu)對(duì)稱，如圖1所示。夾具結(jié)構(gòu)底板處通過(guò)螺栓與振動(dòng)臺(tái)連接，立板夾持放置試驗(yàn)件，加筋板固定支撐立板。夾具結(jié)構(gòu)各板件長(zhǎng)寬已定，厚度取值可變。

圖1 夾具與試件結(jié)構(gòu)示意圖

夾具主要承受垂直于底板平面的加速度慣性荷載。其約束條件為設(shè)計(jì)變量約束和質(zhì)量約束，設(shè)計(jì)變量約束需要滿足一定的取值范圍，質(zhì)量約束為夾具結(jié)構(gòu)總質(zhì)量不超過(guò)某限定值。

為盡量避免發(fā)生共振，需要夾具結(jié)構(gòu)上下振動(dòng)固有振動(dòng)頻率盡可能高；為滿足強(qiáng)度條件在加載時(shí)夾具結(jié)構(gòu)不至破壞，需要夾具結(jié)構(gòu)底板、立板最大應(yīng)力盡可能小，不超過(guò)材料屈服應(yīng)力或最大許用應(yīng)力。在對(duì)該結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，首先使單方面的要求得到最大程度的滿足，這需要對(duì)頻率、底板最大應(yīng)力、立板最大應(yīng)力分別進(jìn)行單目標(biāo)優(yōu)化分析。實(shí)際上，各響應(yīng)單目標(biāo)尋優(yōu)過(guò)程中設(shè)計(jì)變量的變化趨勢(shì)、變化幅度一般并不一致，甚至存在沖突，即在某單目標(biāo)優(yōu)化達(dá)到最優(yōu)時(shí)，另一單目標(biāo)優(yōu)化并不在最佳狀態(tài)。為綜合考慮各目標(biāo)的優(yōu)化效果，使夾具結(jié)構(gòu)總體安全性能達(dá)到最優(yōu)，在進(jìn)行各單目標(biāo)優(yōu)化之后，然后將各單目標(biāo)響應(yīng)按某種方式進(jìn)行耦合，進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化分析。

2 夾具結(jié)構(gòu)響應(yīng)數(shù)學(xué)模型

2.1 響應(yīng)數(shù)學(xué)模型

根據(jù)夾具結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)要求，確定了夾具結(jié)構(gòu)的三個(gè)響應(yīng)：上下振動(dòng)頻率f、底板最大應(yīng)力Sb、立板最大應(yīng)力Ss；結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)變量分別為底板厚度x1、立板厚度x2、加筋厚度x3，其變量響應(yīng)關(guān)系記為。

2.2 響應(yīng)數(shù)據(jù)源

建立夾具結(jié)構(gòu)的有限元模型，通過(guò)模態(tài)分析和靜力分析獲得不同設(shè)計(jì)變量取值下結(jié)構(gòu)的頻率、應(yīng)力取值。底板、立板、側(cè)板、加筋板采用四邊形殼單元建模，試驗(yàn)件采用六面體實(shí)體單元建模。

設(shè)變量x1、x2、x3的取值范圍，分別為通過(guò)對(duì)設(shè)計(jì)變量取值范圍線性插值的方法獲取工況樣本，如將各變量最大增量等分，變量取值如所示，則各變量取值組合共有n3種工況，分別計(jì)算此n3種工況獲得夾具振動(dòng)頻率和底板、立板最大應(yīng)力隨變量變化的數(shù)據(jù)源，記為。

2.3 擬合公式

其中，xi為各工況的變量取值，yi為計(jì)算所得與變量對(duì)應(yīng)的響應(yīng)值。顯然，Q是以為變量的多元函數(shù)，式（3）為多元函數(shù)的極值問(wèn)題。

由多元函數(shù)極值必要條件，有：

即：

即為最小二乘擬合問(wèn)題的法方程組。

P(x)為所求的最小二乘擬合，即式（1）中的(x)。

根據(jù)以上思路與方法，可以得到夾具結(jié)構(gòu)上下振動(dòng)頻率、底板與立板最大應(yīng)力關(guān)于變量x1、x2、x3的完整的擬合公式如式（8）～式（11）所示。

3 夾具結(jié)構(gòu)靈敏度方程的建立與求解

夾具結(jié)構(gòu)靈敏度分析是研究夾具結(jié)構(gòu)的三個(gè)響應(yīng)（上下振動(dòng)頻率f、底板最大應(yīng)力S1、立板最大應(yīng)力S2）對(duì)三個(gè)設(shè)計(jì)變量（底板厚度x1、立板厚度x2、加筋厚度x3）變化的敏感程度，靈敏度的高低反應(yīng)了夾具結(jié)構(gòu)在參數(shù)改變時(shí)對(duì)設(shè)計(jì)函數(shù)的影響，可用來(lái)評(píng)價(jià)夾具結(jié)構(gòu)優(yōu)化的可行性，識(shí)別夾具結(jié)構(gòu)的臨界值、極限值或破壞值，確定夾具結(jié)構(gòu)最優(yōu)解的搜索方向。

約束條件下，令響應(yīng)的靈敏度函數(shù)均等于零，獲得響應(yīng)的靈敏度方程組，該方程組的解的意義為：夾具結(jié)構(gòu)在滿足設(shè)計(jì)約束時(shí)，響應(yīng)取得極值或駐值。為將約束條件引入響應(yīng)的靈敏度方程組，需采用拉格朗日乘子法[7]。

已知夾具結(jié)構(gòu)的約束條件為質(zhì)量約束，即其質(zhì)量不大于某定值M，可表示為式（12）的形式。

的函數(shù)。

引入松弛變量x4，將夾具結(jié)構(gòu)的質(zhì)量不等式約束式（12）轉(zhuǎn)化為等式約束：

該方程組為非線性方程組，可用牛頓迭代法進(jìn)行求解，其迭代公式為：

牛頓迭代法的收斂結(jié)果即為方程組（14）的數(shù)值解，排除駐值，將響應(yīng)的極值與下面單目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果做對(duì)比，可驗(yàn)證響應(yīng)單目標(biāo)優(yōu)化的精確性。

4 夾具結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

4.1 夾具結(jié)構(gòu)單目標(biāo)優(yōu)化

本文單目標(biāo)優(yōu)化的目標(biāo)分別是：上下振動(dòng)固有頻率最大；底板最大應(yīng)力最小；立板最大應(yīng)力最小。當(dāng)將該固有頻率的負(fù)值最小作為優(yōu)化目標(biāo)時(shí)，其單目標(biāo)優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型可統(tǒng)一表示為：

其中，響應(yīng)y可表示夾具結(jié)構(gòu)固有頻率、底板最大應(yīng)力和立板最大應(yīng)力。

采用增廣拉格朗日乘子法，引入松弛變量將式（17）轉(zhuǎn)化為等式約束問(wèn)題：

引入罰因子T≥0和拉格朗日乘子λ，以為λ的k次迭代，定義增廣拉格朗日函數(shù)：

即：

設(shè)允許誤差ε＞0，當(dāng)有時(shí)，迭代終止，為式（22）的最優(yōu)解，即式（17）的最優(yōu)解。其計(jì)算迭代過(guò)程可通過(guò)MATLAB編程實(shí)現(xiàn)，優(yōu)化結(jié)果如表4所示。

4.2 夾具結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化

該夾具結(jié)構(gòu)優(yōu)化具有兩個(gè)特點(diǎn)：各設(shè)計(jì)變量為連續(xù)變化的實(shí)數(shù)；各單目標(biāo)優(yōu)化的層次相同且優(yōu)化順序沒(méi)有先后之分。結(jié)合多目標(biāo)優(yōu)化各方法的特點(diǎn)，本文采用重構(gòu)目標(biāo)法[4]中的理想點(diǎn)法。

理想點(diǎn)法的理論基礎(chǔ)為：在可行域中，絕對(duì)最優(yōu)點(diǎn)一般是不存在的，但是對(duì)于分目標(biāo)函數(shù)卻容易找到其各自的最優(yōu)解，如果使各分目標(biāo)函數(shù)盡可能接近于各自的最優(yōu)解，就可以求出較好的優(yōu)化結(jié)果。

理想點(diǎn)法構(gòu)造的單目標(biāo)函數(shù)為：

其中，iα表示權(quán)重，反映了各單目標(biāo)函數(shù)在整個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題中的重要程度。

據(jù)此，本夾具結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型中，其多目標(biāo)優(yōu)化方程將轉(zhuǎn)化為如下單目標(biāo)函數(shù)：

式中：x為設(shè)計(jì)變量組成的向量；f為擬合所得頻率公式；S1為擬合所得底板最大應(yīng)力公式；S2為擬合所得立板最大應(yīng)力公式分別為對(duì)應(yīng)的單目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果數(shù)值（如表4所示）。

夾具結(jié)構(gòu)的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求該目標(biāo)函數(shù)取最小值的問(wèn)題，可用單目標(biāo)優(yōu)化的方法來(lái)求解。

5 優(yōu)化算例

形如圖1所示的夾具結(jié)構(gòu)，其各板尺寸如表1所示，材料參數(shù)如下：密度ρ為2.80x10-9t/mm3、彈性模量E為70000MPa、泊松比μ為0.33、材料屈服極限sσ為220MPa。圓柱尺寸如表2所示，總質(zhì)量為1.3t，關(guān)于X—Z面前后對(duì)稱，關(guān)于Y—Z面左右對(duì)稱，其中心軸與x軸平行，在Z向的垂直高度為855mm。

表1 夾具結(jié)構(gòu)底板、立板和加筋尺寸

表2 圓柱1、2尺寸

設(shè)計(jì)變量x1、x2、x3的初始數(shù)值為50、50、30mm，其取值范圍限定為[30,90]、[30,90]、[10,50]。采用本文方法進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化，得到各個(gè)設(shè)計(jì)變量取值如表3所示。初值計(jì)算結(jié)果、多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)束時(shí)各響應(yīng)取值、各響應(yīng)單目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果及各響應(yīng)靈敏度方程組的零解對(duì)應(yīng)的響應(yīng)極值如表4所示。同時(shí)，本文給出各響應(yīng)的Nastran單目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果做為參考。

表3 夾具結(jié)構(gòu)多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果

表4 夾具結(jié)構(gòu)單、多目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果比較

從表3、表4可看出，各響應(yīng)的靈敏度方程組零解對(duì)應(yīng)的極值與單目標(biāo)優(yōu)化值完全吻合，與Nastran單目標(biāo)優(yōu)化值十分接近，說(shuō)明本文方法具有可行性和較高的精確度；多目標(biāo)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)值與單目標(biāo)優(yōu)化值相當(dāng)接近，最大相對(duì)誤差5.10%，說(shuō)明取得較好的優(yōu)化結(jié)果。

6 結(jié)論

1）本文研究了某振動(dòng)-加速度復(fù)合環(huán)境試驗(yàn)夾具結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)，提出了一種該類夾具結(jié)構(gòu)的單目標(biāo)和多目標(biāo)優(yōu)化的理論方法。

2）以承載時(shí)夾具結(jié)構(gòu)上下振動(dòng)固有頻率和關(guān)注部位最大應(yīng)力為響應(yīng)，提出了用響應(yīng)面法建立夾具結(jié)構(gòu)的三個(gè)響應(yīng)與設(shè)計(jì)變量間的函數(shù)關(guān)系，建立了響應(yīng)靈敏度的計(jì)算公式，對(duì)其靈敏度方程組及其解法進(jìn)行了研究。

3）給出了實(shí)現(xiàn)和驗(yàn)證響應(yīng)單目標(biāo)優(yōu)化的方法，利用多維有約束非線性優(yōu)化法理論實(shí)現(xiàn)單目標(biāo)優(yōu)化，采用拉格朗日函數(shù)法求解響應(yīng)靈敏度方程組的方法驗(yàn)證單目標(biāo)優(yōu)化結(jié)果。

4）基于目標(biāo)重構(gòu)法將各單目標(biāo)響應(yīng)耦合，建立了多目標(biāo)優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)，將夾具結(jié)構(gòu)的多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求該目標(biāo)函數(shù)最小值的問(wèn)題，并進(jìn)行求解。算例結(jié)果表明，該多目標(biāo)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)兼顧了各單目標(biāo)優(yōu)化的影響，具有良好的優(yōu)化效果，本文提出的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法是合理、可行、有效的。

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