電磁感應(yīng)中電路消耗的電功率與安培力做功功率的關(guān)系

王忠明

摘 要：利用“兩根導(dǎo)體棒以不同的速度做切割磁感線運(yùn)動(dòng)”“導(dǎo)體棒在運(yùn)動(dòng)磁場(chǎng)中做切割磁感線運(yùn)動(dòng)”“回路中動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)和感生電動(dòng)勢(shì)共存”三種情形來(lái)說(shuō)明“在高中階段，當(dāng)磁場(chǎng)不隨時(shí)間變化時(shí)，導(dǎo)體棒中動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)對(duì)應(yīng)的電功率與其所受的安培力的做功功率的絕對(duì)值相等”這一結(jié)論的準(zhǔn)確性。

關(guān)鍵詞：動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)；安培力做功；回路消耗的電功率

中圖分類號(hào)：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1003-6148（2015）4-0040-4

1 明確一個(gè)常用結(jié)論成立的條件

導(dǎo)體棒在磁場(chǎng)中做切割磁感線運(yùn)動(dòng)時(shí)，產(chǎn)生電流，受到磁場(chǎng)對(duì)其的作用力——安培力。在平時(shí)的教學(xué)中，經(jīng)常提及在該切割過(guò)程中存在相應(yīng)的功能關(guān)系：“導(dǎo)體棒切割磁感線以穩(wěn)定速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，電路獲得的電功率等于導(dǎo)體棒克服安培力做功功率?！痹摻Y(jié)論是否正確？如果有瑕疵，應(yīng)該如何修正？現(xiàn)對(duì)該結(jié)論作如下推導(dǎo)。

在圖1所示的電路中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直紙面向里，長(zhǎng)為L(zhǎng)的導(dǎo)體棒在外力F的作用下沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)。

當(dāng)導(dǎo)體棒的速度為v時(shí)，棒產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)為E=BLv。

設(shè)此時(shí)回路中的感應(yīng)電流為I，則此時(shí)導(dǎo)體棒受到的安培力F安=BIL，

則導(dǎo)體棒克服安培力做功的功率為

P克=F安×v=BIL×v=BLv×I=E×I=P電。

結(jié)論得證。

但這里有必要作相應(yīng)的說(shuō)明：

①圖1中的“用電器”不一定是電阻。它可以是電阻，亦可以是電容、電感，甚至可以里面包含電源。若如此，導(dǎo)體棒中的電流也不一定就是全部由導(dǎo)體棒切割磁感線產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)產(chǎn)生，所以導(dǎo)體棒中的電流方向不一定朝上或者朝下，當(dāng)然導(dǎo)體棒受到的安培力也就不一定是做負(fù)功。

②動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)為E=BLv，該式的磁感應(yīng)強(qiáng)度B，導(dǎo)體棒L，切割速度v，三者均是矢量，要使公式成立的條件是三者兩兩垂直。安培力F安=BIL成立的條件也要磁感應(yīng)強(qiáng)度B和導(dǎo)體棒L相互垂直。根據(jù)安培力規(guī)律，安培力一定跟磁感應(yīng)強(qiáng)度B和導(dǎo)體棒L決定的平面垂直。因此，在我們討論的這個(gè)“結(jié)論”的范圍內(nèi)，這根導(dǎo)體棒受到的安培力一定與它的切割速度在一條直線上，但方向可能相同，也可能相反。

③不論是動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)E=BLv中的速度，還是安培力的功率為P克=F安×v中的速度，它們均是瞬時(shí)速度。因此，上述等式成立的條件不需要導(dǎo)體棒作穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)。

④從上面的推導(dǎo)中，表面上看不要其他額外的條件等式一定成立。但仔細(xì)推敲，上述等式成立一定要有兩個(gè)條件。其一，電動(dòng)勢(shì)E=BLv中的速度是導(dǎo)體棒切割磁場(chǎng)的速度，這里隱含的意思是，這個(gè)速度的參照物是磁場(chǎng)（應(yīng)該是產(chǎn)生磁場(chǎng)的物體或者物質(zhì)）；而安培力的功率為P克=F安×v中速度的參照物沒(méi)有特別說(shuō)明的話就是地面。因此，要使等式BIL×v=BLv×I成立，這兩個(gè)速度除了要滿足方向關(guān)系外，還要是同一個(gè)參照系內(nèi)討論的兩個(gè)速度，或者說(shuō)磁場(chǎng)B相對(duì)地面是靜止的；其二，要使等式BLv×I=E×I成立，這個(gè)電動(dòng)勢(shì)E一定是導(dǎo)體棒切割磁感線產(chǎn)生的BLv，不能張冠李戴，因?yàn)樵陔娐分锌赡艽嬖谄渌碾娫?。如，可能是?dǎo)體棒切割磁感線產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)，也可能存在感生電動(dòng)勢(shì)，甚至存在其他電源。

2 利用三種情形來(lái)對(duì)上述結(jié)論作具體研究

情形1：兩根導(dǎo)體棒以不同的速度做切割磁感線運(yùn)動(dòng)

如圖2所示，兩根無(wú)限長(zhǎng)金屬導(dǎo)軌MN、PQ水平地平行放置，相距L，質(zhì)量均為m的光滑金屬棒ab、cd垂直置于導(dǎo)軌上。在導(dǎo)軌間的電阻均為R，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，整個(gè)裝置處在磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中（圖中未畫出）?，F(xiàn)對(duì)ab棒施加一個(gè)平行于導(dǎo)軌、方向水平向右的恒力F作用，cd棒會(huì)向右運(yùn)動(dòng)。設(shè)某一時(shí)刻ab棒的速度為v1，cd棒的速度為v2，求此時(shí)：

①安培力對(duì)cd棒做功的功率Pcd；

②ab棒克服安培力做功的功率；

③電路中產(chǎn)生的電功率P電。

討論

①因?yàn)镻電ab=P安1，所以電路中的電流不等于ab棒上產(chǎn)生的動(dòng)生電源單獨(dú)作用時(shí)產(chǎn)生的電流，但這不影響結(jié)論“作切割磁感線的棒中的動(dòng)生電源提供的電功率等于該棒克服安培力做功功率”的成立。當(dāng)然，對(duì)cd棒來(lái)說(shuō)也是如此。

②cd棒受到的安培力對(duì)cd棒做正功。而電流流過(guò)cd棒時(shí)，是由cd棒上感應(yīng)電源的正極流入，負(fù)極流出的，因此該電流是在給該電源“充電”，其“充電”的方式是通過(guò)增加該棒的動(dòng)能來(lái)實(shí)現(xiàn)的。可以設(shè)想，如果棒ab瞬間停止，cd棒將把它具有的動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為回路中的電能，電能再通過(guò)電流做功轉(zhuǎn)化為焦耳熱，以實(shí)現(xiàn)“充電”電能的轉(zhuǎn)化。

③根據(jù)上面分析，此時(shí)電路中焦耳熱的熱功率為：

可以看出ab棒上的動(dòng)生電源“提供”的電功率等于電路中的焦耳熱的熱功率與cd棒上的動(dòng)生電源“充電”的電功率之和，即

P電=P電ab=PQ+P電cd。

注意：不要誤把電路中的焦耳熱的熱功率等同于電路中產(chǎn)生的電功率，因?yàn)樵撾娐凡皇羌冸娮桦娐贰?/p>

情形2：導(dǎo)體棒在運(yùn)動(dòng)磁場(chǎng)中做切割磁感線運(yùn)動(dòng)

（2007年上海物理高考試題）如圖3（a）所示，光滑的平行長(zhǎng)直金屬導(dǎo)軌置于水平面內(nèi)，間距為L(zhǎng)、導(dǎo)軌左端接有阻值為R的電阻，質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒垂直跨接在導(dǎo)軌上。導(dǎo)軌和導(dǎo)體棒的電阻均不計(jì)，且接觸良好。在導(dǎo)軌平面上有一矩形區(qū)域內(nèi)存在著豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B。開始時(shí)，導(dǎo)體棒靜止于磁場(chǎng)區(qū)域的右端，當(dāng)磁場(chǎng)以速度v1勻速向右移動(dòng)時(shí)，導(dǎo)體棒隨之開始運(yùn)動(dòng)，同時(shí)受到水平向左、大小為f的恒定阻力，并很快達(dá)到恒定速度，此時(shí)導(dǎo)體棒仍處于磁場(chǎng)區(qū)域內(nèi)。

①求導(dǎo)體棒所達(dá)到的恒定速度v2；

②為使導(dǎo)體棒能隨磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)，阻力最大不能超過(guò)多少？

③導(dǎo)體棒以恒定速度運(yùn)動(dòng)時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)克服阻力所做的功和電路中消耗的電功率各為多大？

④若t=0時(shí)磁場(chǎng)由靜止開始水平向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)較短時(shí)間后，導(dǎo)體棒也做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，其v-t關(guān)系如圖3（b）所示，已知在時(shí)刻t導(dǎo)體棒的瞬時(shí)速度大小為vt，求導(dǎo)體棒做勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大小。

分析與解 該情形的①、②、④的分析與解略，我們重點(diǎn)分析問(wèn)題③。

假設(shè)導(dǎo)體棒以速度v2勻速運(yùn)動(dòng)。需要強(qiáng)調(diào)的是，導(dǎo)體棒切割磁感線的速度的參考系為磁場(chǎng)（更確切地講是產(chǎn)生該磁場(chǎng)的磁體，或載流體等）。因此，棒中感生電動(dòng)勢(shì)為E=BL（v1-v2）。導(dǎo)體棒中的電流為：

討論

①不論導(dǎo)體棒以恒定速度運(yùn)動(dòng)，還是以變速運(yùn)動(dòng)，也不論磁場(chǎng)是否做勻速運(yùn)動(dòng)，上述關(guān)于P電、PF安的計(jì)算結(jié)果均成立，因?yàn)橛?jì)算結(jié)果中的速度均是瞬時(shí)速度。當(dāng)然要使克服摩擦力的做功功率等于棒受到的安培力的功率，那導(dǎo)體棒必須做勻速運(yùn)動(dòng)。

②從上述分析中可以明顯看出導(dǎo)體棒提供的電功率不等于導(dǎo)體棒受到的安培力做功功率。原因就是因?yàn)樗矔r(shí)功率中的速度，它的參考系在沒(méi)有特別說(shuō)明的情況下是地面，而動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)中的速度的參考系就是磁場(chǎng)。當(dāng)兩個(gè)參考系發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，導(dǎo)體棒中動(dòng)生電源提供的電功率就不會(huì)等于該導(dǎo)體棒受到的安培力的做功功率。如果我們令v1=0，則可以看到兩個(gè)功率又會(huì)相等。而且是動(dòng)生電源功率為正，即電源在提供電功率；而安培力功率為負(fù)，說(shuō)明通過(guò)安培力做功正在將其他形式的能轉(zhuǎn)化為電能。

情形3：回路中動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)和感生電動(dòng)勢(shì)共存

如圖4所示，足夠長(zhǎng)的兩光滑導(dǎo)軌平行水平放置，兩條導(dǎo)軌相距為d，左端用阻值為R的導(dǎo)體MN相連，金屬棒ab可在導(dǎo)軌上滑動(dòng)，金屬棒ab及導(dǎo)軌的電阻不計(jì)。整個(gè)裝置處于豎直向下的均勻磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨時(shí)間均勻增加，B=kt，其中k為大于零的常數(shù)。t=0時(shí)，金屬棒ab與MN相距非常近，金屬棒ab在水平外力F的作用下，在t=t0時(shí)回路的面積為S，此時(shí)金屬棒的速度為v。求此時(shí)閉合回路消耗的電功率。

討論

①動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的產(chǎn)生原因是金屬導(dǎo)體中的電子在隨金屬棒運(yùn)動(dòng)時(shí)受到洛倫茲力而發(fā)生定向移動(dòng)，因此動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的非靜電力與洛倫茲力有關(guān)。而感生電動(dòng)勢(shì)的產(chǎn)生原因是變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生了感生電場(chǎng)，在感生電場(chǎng)的作用下回路中的電子作定向移動(dòng)，因此是電子受到的感生電場(chǎng)力充當(dāng)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的非靜電力。所以，動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)與感生電動(dòng)勢(shì)兩者的非靜力有明確的區(qū)別，洛倫茲力不做功，感生電場(chǎng)力做功。

②動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)是由金屬棒切割磁感線產(chǎn)生的，它分布“在金屬棒中”。而感生電動(dòng)勢(shì)是由感生電場(chǎng)產(chǎn)生的，它分布“在整個(gè)回路中”，而且即使沒(méi)有回路，感生電場(chǎng)依然存在。從上面的分析中可以看出金屬棒克服安培力的做功功率與回路中的電功率不相等。但如果將感生電動(dòng)勢(shì)kS去掉，即磁場(chǎng)不隨時(shí)間發(fā)生變化，那么兩個(gè)功率依然相等。

3 結(jié) 論

根據(jù)上面的分析得到以下結(jié)論：在高中階段，當(dāng)磁場(chǎng)相對(duì)地面靜止且不隨時(shí)間變化時(shí)（當(dāng)然，磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度可以隨空間發(fā)生變化），導(dǎo)體棒中動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)的電功率與其所受的安培力的做功功率的絕對(duì)值相等。

參考文獻(xiàn)：

[1]趙凱華，陳熙謀.電磁學(xué)[M].北京：高等教育出版社，2006.

[2]郭如松.安培力做功的“橋梁”作用及其引發(fā)的思考[J].物理教學(xué)探討，2009，（10）：42.

（欄目編輯 羅琬華）