VaR和CVaR風(fēng)險度量方法及最優(yōu)再保模型

程乃偉　劉曉雙

摘 要：目前，VaR（value-at-risk）和CVaR（conditional value-at-risk）方法是各領(lǐng)域進(jìn)行風(fēng)險管理的主要度量工具。本文將VaR、CVaR與傳統(tǒng)方差方法進(jìn)行比較，從是否符合一致性公理來體現(xiàn)VaR和CVaR方法的優(yōu)越性。并介紹了該兩種方法在保險領(lǐng)域的應(yīng)用，給出了再保險方面的基于VaR和CVaR風(fēng)險度量的最優(yōu)再保險模型。

關(guān)鍵詞：風(fēng)險度量；VaR；CVaR；一致性公理；最優(yōu)再保險

1.引言

投資專家學(xué)者曾提出了很多不同的風(fēng)險度量模型。傳統(tǒng)的方差度量方法也曾被Markowitz提出并作為風(fēng)險度量指標(biāo)。由于該模型需要假設(shè)投資組合的各項(xiàng)資產(chǎn)的收益率的聯(lián)合分布為正態(tài)分布，其實(shí)用性受到眾多的批評和質(zhì)疑。

20世紀(jì)90年代初，VaR風(fēng)險度量方法一經(jīng)提出，便受到了各界的歡迎。但隨著其在金融領(lǐng)域的應(yīng)用，缺陷也逐漸暴露。尤其是在1999年Artzner等人提出了一致性風(fēng)險度量公理后，VaR的缺陷更加明顯。而CVaR風(fēng)險度量的提出在一定程度上解決了VaR方法遇到的問題。它比VaR方法求解效果更好，并滿足一致性公理，得到了學(xué)術(shù)界的一致認(rèn)可。

2.VaR、CVaR的定義

VaR的基本含義是在某一特定的持有期內(nèi)，在給定的置信水平下，給定的資產(chǎn)或資產(chǎn)組合可能遭受的最大損失值，體現(xiàn)了VaR度量模型技術(shù)的綜合性。定義為如下：

定義1在置信水平為β（0<β<1）下，一組非負(fù)的隨機(jī)變量X的VaR值定義為：

VaRβ（X）Δinf{x≥0|P（X>x）≤1-β}

對某資產(chǎn)或資產(chǎn)組合，在給定的持有期和給定的置信水平下，VaR給出了其最大可能的預(yù)期損失值。此外，由于風(fēng)險的度量更多的是在對金融風(fēng)險的研究時所提出的，所以學(xué)者對VaR有更為具體的定義，其中J.P.Morgan將VaR定義為：VaR是在既定資金被沖銷或重估前可能發(fā)生的市場價值最大損失的估計(jì)值；而Jorion則把VaR定義為：“給定置信區(qū)間的一個持有期內(nèi)的最壞的預(yù)期損失”。

其實(shí)，計(jì)算VaR的主要涉及兩個因素：目標(biāo)時段和置信水平。目標(biāo)時段是指計(jì)算的未來多長時間內(nèi)的VaR，它的確定主要取決于投資組合中資產(chǎn)的流動性，一般取為1天，1周，10天或1月；置信水平的確定主要取決于該投資組合中風(fēng)險管理者的風(fēng)險要求，一般取90%～99.9%。從VaR的定義中，我們不難發(fā)現(xiàn)，VaR僅僅給出了在一定的置信水平的條件下，投資收益分布的最大可接受值，但絲毫未提對于超出這個值之外的可能性，這也正是VaR模型的主要缺陷之一。

CVaR最早由Rockafellar和Uryasev 2000年引入，即條件在險價值，定義如下：

定義2 在置信水平為β（0<β<1）下，一組非負(fù)的隨機(jī)變量X的CVaR值定義為：CVaRβ（X）=E[X|X≥VaRβ（X）]這也說明，CVaR方法能彌補(bǔ)VaR方法尾部風(fēng)險不可測的缺陷問題。

根據(jù)上述定義，可知CVaR代數(shù)式為CVaRβ（X）=11-β∫1-β0VaRs（X）ds

隨著進(jìn)一步的研究，Pflug在此定義的基礎(chǔ)上通過一個最優(yōu)化問題定義CVaR為：

CVaRβ（X）=infC{C+11-βE[X-C]+}這里E[X-C]+=max{X-C，0}

在投資組合中，可用如下表達(dá)式表示：CVaRβ（X）=E[f（x，r）|f（x，r）≥VaRβ（X）]

其中，x=（x1，x2，…，xn）T：投資組合中某種資產(chǎn)占總資產(chǎn)的比率；r=（r1，r2，…，rn）T：投資組合中某種資產(chǎn)收益率的隨機(jī)向量；f（x，r）：投資組合的預(yù)期損失函數(shù)。

根據(jù)E（x+C）=E（x）+C，C為常數(shù)，可知

CVaRβ（X）=VaRβ（X）+E[f（x，r）-VaRβ（X）|f（x，r）≥VaRβ（X）]由此可以知CVaRβ（X）≥VaRβ（X）

下面是度量CVaR的另一個數(shù)學(xué)公式，該公式更為精確，也可以稱為過量損失的預(yù)期值的分布函數(shù)：Ψ（x，a）=∫f（x，r）≤ap（r）dr它是關(guān)于a的非增、右連續(xù)函數(shù)。

則對于任意置信度的β∈（0，1），VaRβ（X）=min{a∈R：Ψ（x，a）≥β}

于是：CVaRβ（X）=11-β∫f（x，r）≥VaRβ（X）f（x，r）p（r）dr

3.VaR、CVaR及方差模型的優(yōu)缺點(diǎn)比較

根據(jù)方差模型、VaR模型以及CVaR模型的定義可證明得出，傳統(tǒng)方差方法完全不滿足一致性公理，這說明某種程度上來說，利用方差方法來度量風(fēng)險在是極不可靠的。而VaR方法雖然滿足一致性公理的正其次性、單調(diào)性以及平移不變性，但是其不滿足次可加性。這說明VaR方法與投資上要求的分散化可以降低風(fēng)險的性質(zhì)不符。并且由于VaR不滿足次可加性，易證其不滿足凸性，表示作為投資組合的函數(shù)存在多個局部極值，無法通過優(yōu)化技術(shù)來有效的尋找基于VaR風(fēng)險度量的最優(yōu)投資組合。

CVaR方法完全符合一致性公理，該方法具有良好的數(shù)學(xué)性質(zhì)，滿足次可加性，即該方法符合投資上要求的分化可降低風(fēng)險的性質(zhì)。而且CVaR模型是凸性的，可以求得全局最優(yōu)解，這意味著不論投資者的回報是否為正態(tài)分布，它的優(yōu)化問題計(jì)算簡單，能夠便于處理大樣本事件，并且存在有效的最優(yōu)解。這滿足了風(fēng)險度量方法的直觀且易操作的有效性，很好的達(dá)到了應(yīng)用到風(fēng)險管理的實(shí)踐中的要求。

4.VaR和CVaR的最優(yōu)再保險模型

改革開放以來，我國經(jīng)濟(jì)飛速發(fā)展，保險業(yè)自入市之后保費(fèi)與日俱增。能夠合理而有效地運(yùn)用巨額保險資金，找出科學(xué)的風(fēng)險度量方法管理并控制保險資金投資的風(fēng)險已成為當(dāng)前的首要任務(wù)。在再保險的模型的研究中，可以應(yīng)用VaR和CVaR風(fēng)險度量方法，從而得出優(yōu)化的再保險模型。

如果X表示由保險公司承擔(dān)的最初的損失（即在沒有再保險）。假設(shè)X是一個非負(fù)的隨機(jī)變量的累積分布函數(shù)FX（x）=P（X≤x）和E[X]<∞。最優(yōu)再保險問題涉及到在X=f（X）+Rf（X）時，X在f（X）和Rf（X）中的最優(yōu)分割。該f（X），滿足0≤f（X）≤X的虧損部分被分出給再保險公司，而Rf（x）是保險公司（保人）所自留的剩余損失。因此，f（x）被稱為分出損失函數(shù)，而Rf（x）表示作為自留損失函數(shù)。

根據(jù)再保險安排，保險公司的風(fēng)險敞口不再由X所引起。事實(shí)上，保險公司總風(fēng)險敞口是自留損失和再保險保費(fèi)的總和。使用Tf（X）代表保險公司的再保險的存在時的總風(fēng)險，有：TfX=RfX+∏fX。

一個合理的標(biāo)準(zhǔn)，確定最優(yōu)分出損失函數(shù)可以表示為一個適當(dāng)選擇的風(fēng)險最小化測量Tf（X）。

基于這兩個風(fēng)險度量方法的定義，以風(fēng)險度量為基礎(chǔ)的最優(yōu)再保險模型如下 VaR-優(yōu)化：VaRβTf*X=minf∈CVaRβTfX

CVaR-優(yōu)化： CVaRβTf*X=minf∈CCVaRβTfX

這里C是可容許的分出損失函數(shù)的集合，f*∈C是生成的最優(yōu)分出損失函數(shù)。

從上述兩種基于風(fēng)險度量的最優(yōu)再保險模型的進(jìn)一步分析，可以求出最優(yōu)的分出損失函數(shù)，從而選擇一個風(fēng)險最小的測量Tf（X）。

根據(jù)上述最優(yōu)再保險模型，求出的最優(yōu)分出損失函數(shù)的結(jié)論為：

對于VaR-最優(yōu)再保險模型有（i）在分出損失函數(shù)為增凸函數(shù)時，賠付率超賠再保險是最優(yōu)的；（ii）當(dāng)分出及自留的損失函數(shù)的限制放寬，為增函數(shù)時，有上限的賠付率超賠再保險是最優(yōu)的；（iii）在一般的遞增和左連續(xù)的自留損失函數(shù)下，截斷的賠付率超賠再保險是最優(yōu)的。然而，CVaR-最優(yōu)再保險模型，賠付率超賠再保險總是最優(yōu)的。

5.結(jié)論

目前，對于風(fēng)險度量方法來說，VaR和CVaR方法在各個性質(zhì)上均優(yōu)于傳統(tǒng)方差方法，已成為各個領(lǐng)域中非常流行的度量風(fēng)險的方法。在數(shù)學(xué)意義上，CVaR體現(xiàn)的是一個條件期望，是大于VaR的極端損失的平均值，即當(dāng)損失超過VaR值時，可能遭受的平均潛在損失的大小，體現(xiàn)了更好的數(shù)學(xué)性質(zhì)，更直觀的對潛在的風(fēng)險價值做出了估計(jì)。（作者單位：沈陽航空航天大學(xué)安全工程學(xué)院）

參考文獻(xiàn)：

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