負(fù)二項(xiàng)分布在風(fēng)險(xiǎn)管理中的運(yùn)用

李高遠(yuǎn)

摘 要：風(fēng)險(xiǎn)管理中理賠次數(shù)的分布一直是學(xué)者研究的課題，但由于理賠次數(shù)數(shù)據(jù)量不大，對(duì)分布的研究造成了一定的阻礙，因此現(xiàn)實(shí)研究中我們有必要找到一個(gè)合適的模型來進(jìn)行擬合，負(fù)二項(xiàng)分布能夠比較理想的擬合這種分布，本文主要研究這種分布特性，以便在風(fēng)險(xiǎn)管理中很好的運(yùn)用他們。

關(guān)鍵詞：負(fù)二項(xiàng)分布；風(fēng)險(xiǎn)管理；建議

負(fù)二項(xiàng)分布有一個(gè)很重要的性質(zhì)即方差大于均值，依據(jù)這一性質(zhì)，學(xué)者就可以把負(fù)二項(xiàng)分布運(yùn)用的風(fēng)險(xiǎn)管理中，如果利用負(fù)二項(xiàng)分布計(jì)算出的值中方差越大，均值越小，那么，風(fēng)險(xiǎn)集合中存在的非同質(zhì)性越嚴(yán)重，反之，非同質(zhì)性比較平穩(wěn)。

例如，如果我們?cè)O(shè)某次風(fēng)險(xiǎn)的索賠次數(shù)服從參數(shù)為λ的泊松分布即Pk=λke-λk?。╧=1，2，L），而風(fēng)險(xiǎn)集Θ的結(jié)構(gòu)函數(shù)服H（λ）從參數(shù)為（α，β）的Γ分布，則其密度函數(shù)為：

那么，從風(fēng)險(xiǎn)集合Θ中隨機(jī)抽取的風(fēng)險(xiǎn)其索賠次數(shù)的分布為

從上邊可以看出，上述分布p（x=k）=∫∞0λke-θk！·β（α）e-βλθα-1Γ（α）dλ的參數(shù)為α，1β+1，均值和方差分別為αβ和αβα，1β+1，依據(jù)負(fù)二項(xiàng)分布的定義上述分布不服從負(fù)二項(xiàng)分布，因此對(duì)于初始投保人，其索賠頻率可以初步估計(jì)為αβ，假如得到該投保人n年索賠次數(shù)的觀察值（k1，k2，L，kn），求取調(diào)整后的后驗(yàn)估計(jì)，由Bayes公式可知的后驗(yàn)密度函數(shù)為

根據(jù)Γ分布的密度函數(shù)，λ的后驗(yàn)概率分布為f（λ|k1，k2，L，kn）服從Γ分布，其參數(shù)為（k+α，n+β），均值和方差分別為k+αn+β，k+α（n+β）2.因此.當(dāng)知道投保人n年的索賠次數(shù)觀察值（k1，k2，L，kn），其索賠概率估計(jì)值可以調(diào)整為k+αn+β，當(dāng)觀察時(shí)間n→∞時(shí)，索賠頻率k+αn+β趨近于投保人的真試索賠頻率kn，其方差k+α（n+β）2也趨近于零.

索賠次數(shù)之間是存在正向傳染性的，即每當(dāng)發(fā)生一次索賠下次發(fā)生索賠的概率是增加且是線性的，也可以說未來的索賠次數(shù)是依賴以前的索賠次數(shù)的.用符號(hào)表示就是λn=a+b（n-1）（b>0），其中（n-1）為已經(jīng)發(fā)生的索賠頻率強(qiáng)度次數(shù)，相應(yīng)的，λn表示第n次索賠頻率強(qiáng)度次數(shù)。.

我們知道，當(dāng)λn和以前的索賠概率存在線性關(guān)系，則轉(zhuǎn)移機(jī)率

pn，n+k（h）=e-λn+k-1k·λn+1Lλn+kb·（2b）L（kb）·（ebh-1）k

其中pn，n+k（h）表示當(dāng)已經(jīng)發(fā)生n次索賠時(shí)，經(jīng)過一定時(shí)間h發(fā)生k次索賠的概率，令p（h）=e-bhαn=λn+1b

則有pn，n+k（h）=e-λn+1k·e-kbh·

λn+1（λn+1+b）L[λn+1+（k-1）b]bk·k！·ekbh[1-p（n）]k

=λn+1b·λn+1b+1Lλn+1b+（k-1）k！·e-λn+2h[1-p（n）]k

=αn+k-1k[p（h）]2n[1-p（h）]k

由此可知，在時(shí)間長(zhǎng)度h為的區(qū)間內(nèi)發(fā)生k次索賠的概率服從參數(shù)為（αk，p（h））的負(fù)二項(xiàng)分布.

得出這一結(jié)論是符合我們期望的，它進(jìn)一步說明了附二項(xiàng)分布在擬合風(fēng)險(xiǎn)管理索賠次數(shù)中的合理性，根據(jù)負(fù)二項(xiàng)分布，如果某一個(gè)觀察值即投保人發(fā)生了索賠，那么我們有理由認(rèn)為其再一次發(fā)生索賠的概率增大，相應(yīng)的我們就應(yīng)當(dāng)適當(dāng)?shù)恼{(diào)整資費(fèi)，這就是某些險(xiǎn)資機(jī)構(gòu)調(diào)整資費(fèi)的依據(jù)，在這一制度下，如果當(dāng)年投保人有保費(fèi)需求后，我們可以適當(dāng)?shù)恼{(diào)整其保費(fèi)來維持風(fēng)險(xiǎn)管理公司的正常運(yùn)轉(zhuǎn)，從結(jié)論可以看出，投保人索賠次數(shù)越多，那么其保費(fèi)也相應(yīng)的提高，這就為險(xiǎn)資機(jī)構(gòu)或者是保險(xiǎn)公司提供了依據(jù)，為維護(hù)公司利益打下基礎(chǔ)。