淺論方波激勵下RC電路的響應(yīng)

張 偉，葉雁群，邢 亮

(江南大學(xué)物聯(lián)網(wǎng)工程學(xué)院電子工程系，江蘇無錫214122)

在“電路理論”和“電子技術(shù)”等課程中，方波激勵下的RC電路的響應(yīng)是一個教學(xué)難點。以往的教學(xué)大部分以時域的推導(dǎo)為主，而且涉及到的暫態(tài)波形無法直接讓學(xué)生觀察到，學(xué)生對于不同參數(shù)導(dǎo)致不同的輸出波形理解不夠深刻[1-2]。針對上述問題，本文從時域和頻域兩個方面對RC電路進行了討論，利用Multisim給出了方波激勵下不同參數(shù)RC電路的輸出仿真結(jié)果，并對結(jié)果進行了說明。

已知RC電路如圖1(a)所示，假設(shè)輸入信號ui為1 KHz的方波信號，周期為 2T，T=0.5 ms，波形如圖1(b)所示。試分析當(dāng)時間常數(shù)不同時，輸出波形的特點。

在0＜t＜T時，可認為是直流電源的一階零狀態(tài)響應(yīng)，根據(jù)微分方程或一階電路的三要素法，可得

圖1 一階RC電路

1 一階RC電路的時域分析

由式(1)可知，輸出電壓隨時間從零開始按指數(shù)規(guī)律上升趨向于Us，在t=4τ時，輸出電壓與其穩(wěn)態(tài)值相差1.8%，工程上一般可認為已經(jīng)充電完畢。因此，τ越小，電容充電所用的時間越少。由于τ=RC≈T，可認為t=T(在第一個1/2周期)時，電容電壓就已經(jīng)達到穩(wěn)態(tài)值，即uo=Us。

在T＜t＜2T區(qū)間可認為是外加激勵為零的一階RC電路的零輸入響應(yīng)。利用解微分方程或三要素法可求出輸出電壓為

在后面的周期過程中，重復(fù)上述充放電過程。

當(dāng) R=100 Ω，C=0.47 μF，τ =RC≈T/10 時，輸出波形如圖2(a)所示，充放電的過程呈現(xiàn)指數(shù)形式。因為時間常數(shù)比較小，所以過渡時間比較快，在1/2個周期內(nèi)到達穩(wěn)態(tài)。

當(dāng) R=100 Ω，C=470 μF，τ=RC≈T/10 時，輸出波形如圖2(b)所示。輸入輸出可近似為積分關(guān)系，所以輸出波形為三角波[1]。這是因為時間常數(shù)很大，在指數(shù)函數(shù)的初期可以近似為線性波形。

當(dāng) R=100 Ω，C=470 μF，τ=RC≈T/10 時，輸出波形如圖2(c)所示。輸出與輸入波形基本相同，近似為方波。這是因為時間常數(shù)非常小，很快就達到穩(wěn)態(tài)。所以過渡過程不容易觀察出來。該電路在實際中得到廣泛的運用，如在傳輸信號過程中，平行雙線由于分布電容大，這些電容與平行雙線的分布電阻可組成RC電路。因為時間常數(shù)比較長，若傳輸高頻率的數(shù)字信號，容易失真。而雙絞線的分布電容比較小，時間常數(shù)小，能夠傳輸高速數(shù)字信號。

圖2 時間常數(shù)不同時的電容電壓輸出波形圖

當(dāng)RC電路的輸出為電阻電壓時，不同RC取值對應(yīng)的輸出波形如圖3所示。當(dāng)τ=RC=2T時，波形如圖3(a)所示，近似為方波。當(dāng)τ=RC=20T/T時，波形如圖3(b)所示，此時波形失真很小。當(dāng)τ=RC=0.2T≈T時，波形如圖3(c)所示。因為時間常數(shù)很小，輸入輸出可近似的認為是微分關(guān)系[1]。該電路可用于波形變換，可用作數(shù)字電路中的觸發(fā)信號。該電路的分析與前述電路的分析類似，波形產(chǎn)生的原因亦可從時間常數(shù)的角度加以說明。

圖3 時間常數(shù)不同時電阻電壓輸出波形圖

2 一階RC電路的頻域分析

對于上述RC電路也可以從頻域角度分析，方波信號可以展開成傅立葉級數(shù):

從式中可以看出，一個方波含有基波成分和高次諧波，而其前后沿是否陡峭與所含高次諧波分量的多少有關(guān)，所含高次諧波愈多，其前后沿就越陡峭，信號的失真就越小。而一個方波的頂部是否平坦，和其所含低次諧波(主要是基波)有關(guān)。所以判斷一個RC電路的輸出波形可以從頻域角度來分析。

圖1所示電路的傳遞函數(shù):

電路的幅頻特性如圖4(a)所示，該電路為低通電路。當(dāng)RC時間常數(shù)τ由小變大時，fH值變小，高頻特性變差。

當(dāng)τ=RC/T時，因為fH=1/2πRC的值很小，電路的通頻帶較窄，方波中的高頻分量被濾除了，其上升沿和下降沿由很陡變緩，即為電容C充電的指數(shù)函數(shù)的起始部分，成為近似的三角波。

而實際中，在分布參數(shù)的電路或放大器中，元器件和連接線之間(或與地之間)均存在較大的分布電容，這是電路或放大器的上限頻率fH不能提高的一個重要原因。減小元件連接線之間的分布參數(shù)在電路設(shè)計、版圖設(shè)計和安裝調(diào)試中是一個重要課題。

當(dāng)τ=RC≈T/10時，因為 fH==1/(2πRC)的值很大，電路的通頻帶較寬，能讓方波中的高頻分量通過，所以信號能不太失真的通過本電路。

若RC電路的輸出為電阻的電壓時，電路的幅頻特性如圖4(b)所示，該電路為高通電路。當(dāng)RC時間常數(shù)由小變大時，fL值變小，低頻特性變好。

當(dāng) R=100 Ω，C=10 μF，時間常數(shù) τ=RC=2T時，因為fL的值比較低，方波中的低頻分量仍然有一部分能通過，所以信號能不太失真地通過電路，輸出近似為方波。

圖4 RC電路幅頻特性圖

當(dāng)電路的 R=100 Ω，C=100 μF，時間常數(shù) τ =RC=20T/T時，因為fL的值很低，方波中的低頻分量大部分都通過電路輸出了，所以信號基本不失真，仍然為方波。

當(dāng) R=100 Ω，C=1 μF，時間常數(shù) τ =RC=0.2T≈T時，因為fL的值比較高，方波中的基波及低次諧波分量被濾除了，所以方波的波頂迅速下降為0，而高頻分量的上升沿、下降沿仍保持陡峭。此電路可以作為微分電路使用，將方波信號轉(zhuǎn)換成正負尖頂脈沖輸出，這一點在時域的分析中也有說明?？梢?，從頻域和時域的角度分析得出的結(jié)果是一樣的。

3 結(jié)語

RC電路在實際中具有廣泛的應(yīng)用。當(dāng)R和C的參數(shù)不同時，電路所實現(xiàn)的功能也不同。本文從時域和頻域兩個方面對RC電路在方波激勵下的響應(yīng)進行了詳細的討論，給出了不同參數(shù)下輸出波形的仿真結(jié)果，討論了微分電路和積分電路應(yīng)該滿足的條件。利用Multisim軟件，結(jié)果比較直觀，大大方便了教學(xué)，加深了學(xué)生對基本概念的理解。

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