高等數(shù)學(xué)課程應(yīng)用性模式教學(xué)探究

董銀麗 張俊麗

【摘要】本文分析了高等數(shù)學(xué)課程內(nèi)容及教學(xué)在以應(yīng)用型為教育目標(biāo)的前提下存在的問題，隨后從注重?cái)?shù)學(xué)思想及其實(shí)際應(yīng)用價(jià)值、課程內(nèi)容配置的應(yīng)用性與啟發(fā)性、培養(yǎng)采用多種方式闡述問題的能力等方面，利用一些實(shí)際案例給出建議。

【關(guān)鍵詞】應(yīng)用型 數(shù)學(xué)思想 闡述問題的能力

應(yīng)用型本科教育對(duì)于滿足中國(guó)經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展，對(duì)高層次應(yīng)用型人才需要以及推進(jìn)中國(guó)高等教育大眾化進(jìn)程起到了積極的促進(jìn)作用。進(jìn)入20世紀(jì)80年代以后，國(guó)際高教界逐漸形成了一股新的潮流，那就是普遍重視實(shí)踐教學(xué)、強(qiáng)化應(yīng)用型人才培養(yǎng)。因?yàn)槿藗円言絹碓角逍训恼J(rèn)識(shí)到，實(shí)踐教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力的重要環(huán)節(jié)，也是提高學(xué)生社會(huì)職業(yè)素養(yǎng)和就業(yè)競(jìng)爭(zhēng)力的重要途徑。在應(yīng)用型本科教育的形勢(shì)下，高等數(shù)學(xué)課程應(yīng)用性模式教學(xué)研究顯得尤為重要。

在以應(yīng)用型為目標(biāo)的本科教育理念下，對(duì)高等數(shù)學(xué)課程的批評(píng)大多是缺少應(yīng)用性。隨著時(shí)代的發(fā)展，教學(xué)目標(biāo)除了傳統(tǒng)的目標(biāo)，沒有建立新形勢(shì)下的教育目標(biāo)；應(yīng)采用什么樣的教學(xué)方式、課程內(nèi)容以及評(píng)價(jià)方式，提升學(xué)生的邏輯推理和問題解決能力，并對(duì)此能力的提升作出綜合評(píng)價(jià)等。本文就下面提出的課程問題進(jìn)行探討。

一、高等數(shù)學(xué)課程存在的問題

1、在講授數(shù)學(xué)課程時(shí)存在的問題是過于重視方法的訓(xùn)練，注重法則和過程的介紹，忽略數(shù)學(xué)本質(zhì)及其實(shí)際價(jià)值。

2、教學(xué)中的許多例題、習(xí)題，多樣性較差，具有實(shí)際應(yīng)用背景的問題就更少，導(dǎo)致學(xué)生不會(huì)運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)對(duì)一些實(shí)際問題進(jìn)行分析。評(píng)價(jià)的方法也存在問題，設(shè)計(jì)的考試題型僅僅是選擇題、簡(jiǎn)答題，這樣學(xué)生便會(huì)采取“死記硬背”的方法應(yīng)付考試，學(xué)生的分析技能并未獲得實(shí)質(zhì)性的進(jìn)步。

3、闡述問題的方式有四種，包括幾何圖形、數(shù)值規(guī)律、解析表達(dá)式和語(yǔ)言敘述。在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，對(duì)于這四種方式并不是給予同等的重視對(duì)于解析表達(dá)式給予更多的重視，像數(shù)值規(guī)律、語(yǔ)言敘述很少涉及。

4、在教學(xué)中注重強(qiáng)調(diào)邏輯推理，既注重?cái)?shù)字游戲和應(yīng)用公式如何計(jì)算，很少結(jié)合不同的數(shù)學(xué)軟件，例如繪圖儀等，來幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)思維。

總之，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課程模式過于重視方法的訓(xùn)練而忽視了其他品格的養(yǎng)成；教學(xué)方式還是采用填鴨式講授法，考試只注重事實(shí)性知識(shí)的記憶，缺少批判性思維的考查；課程內(nèi)容設(shè)置使學(xué)生感受不到有助于提高分析問題和批判性思考能力的發(fā)展，學(xué)生在很大程度上不會(huì)使用數(shù)理推理的方式解決實(shí)際問題。

二、高等數(shù)學(xué)課程應(yīng)用性教學(xué)的幾點(diǎn)建議

1、注重?cái)?shù)學(xué)思想及其實(shí)際應(yīng)用價(jià)值

數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)課程教學(xué)的精髓。數(shù)學(xué)課程固然應(yīng)該教會(huì)學(xué)生許多必要的結(jié)論，但絕不僅僅以教會(huì)定理、公式和計(jì)算程序、解題方法為目標(biāo)，更重要的是讓學(xué)生在學(xué)習(xí)這些結(jié)論的過程中獲得數(shù)學(xué)思維。

例如，在講解定積分時(shí)，曲邊梯形的面積通過分割，近似代換，求和，取極限的積分思想而得到，學(xué)生也可以通過微積分基本公式求解定積分，介紹的應(yīng)用大多是幾何方面的應(yīng)用，很少涉及其實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的介紹。

類似地，像利用積分的思想求函數(shù) 在區(qū)間 上的平均值，二元函數(shù)的的等值線圖在天氣圖，地形圖，某地區(qū)農(nóng)作物受當(dāng)?shù)乜偨涤炅亢推骄鶜鉁赜绊懙漠a(chǎn)量等方面的應(yīng)用。通過數(shù)學(xué)思想在實(shí)際應(yīng)用中的案例介紹，有助于激發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生將數(shù)學(xué)思想創(chuàng)新性的應(yīng)用于自己的工作和生活中。

2、課程內(nèi)容配置的應(yīng)用性與啟發(fā)性

在教學(xué)中，應(yīng)借鑒國(guó)外優(yōu)秀數(shù)學(xué)教材的內(nèi)容編排，提升課程內(nèi)容的應(yīng)用性和啟發(fā)性。力求做到：對(duì)重要概念都盡可能介紹實(shí)際背景；重要結(jié)果都盡可能地舉出應(yīng)用實(shí)例。設(shè)計(jì)與課程目標(biāo)緊密相關(guān)的平時(shí)作業(yè)和測(cè)驗(yàn)；及時(shí)給予學(xué)生反饋，以幫助學(xué)生了解自己的學(xué)習(xí)進(jìn)展以及還需要做什么。

習(xí)題的配置應(yīng)具有多樣性，給學(xué)生所布置的作業(yè)，不能只是通過尋找“已經(jīng)做好的”例題來完成。以文獻(xiàn) 5 為例 該教材除了配置大量的練習(xí)題外 還配置了四種類型的小課題 它們是應(yīng)用課題（ applied project），探索課題 （Discovery project），實(shí)驗(yàn)課題 （Laboratory project）和寫作課題（Writing project）。

例如，在研究導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，求函數(shù)在某一區(qū)間的拐點(diǎn)時(shí)，給出了求解及判斷方法，我們還應(yīng)進(jìn)一步讓學(xué)生了解其應(yīng)用性。即研究類似下面的問題：

圖2表明某個(gè)種群向極限人口L增長(zhǎng)，人口達(dá)到L/2的點(diǎn)為圖像的拐點(diǎn)，拐點(diǎn)說明人口的什么特征？

通過這樣問題的學(xué)習(xí)，學(xué)生不但知道如何求解拐點(diǎn)，而且理解拐點(diǎn)給函數(shù)帶來怎樣的變化。

下面氣壓與海拔的例子，不但具有探索性，也具有實(shí)驗(yàn)課的特性，同時(shí)通過完成這種問題，也有助于培養(yǎng)學(xué)生的自我表達(dá)能力。

例如：海平面的氣壓是30英寸汞柱，在海拔 的高度上，氣壓P（單位：英寸汞柱）為

（a）畫P關(guān)于h的草圖

（b）求在h=0的切線

（c）旅游者們的一條經(jīng)驗(yàn)法則是海拔高度每上升1000ft，氣壓下降1英寸汞柱，請(qǐng)寫出這條經(jīng)驗(yàn)法則所確定的氣壓公式。

（d）（b）和（c）的答案之間有何聯(lián)系，請(qǐng)說明經(jīng)驗(yàn)法則為什么有效。

（e）經(jīng)驗(yàn)法則所做的預(yù)測(cè)是過大還是過小，為什么？

3、注重培養(yǎng)采用多種方式闡述問題的能力

學(xué)生掌握算術(shù)、數(shù)據(jù)、計(jì)算機(jī)、建模、統(tǒng)計(jì)學(xué)、概率、推理等方面的內(nèi)容同時(shí)，并強(qiáng)調(diào)要將其運(yùn)用于社會(huì)實(shí)踐。若以此為目標(biāo)，則在教學(xué)中，老師需在概念、模型和技巧間做出合理的安排，盡可能的培養(yǎng)學(xué)生在面對(duì)不同問題時(shí)，采用適當(dāng)?shù)姆绞疥U述問題。

函數(shù)的表現(xiàn)形式有四種方式，在介紹一些概念、對(duì)一些公式進(jìn)行解讀及對(duì)一些實(shí)際問題進(jìn)行描述時(shí)，學(xué)會(huì)運(yùn)用四種方式相結(jié)合的形式來描述，通過這幾種方式相結(jié)合，我們可以從不同的角度對(duì)概念、實(shí)際問題有清楚的認(rèn)知。

學(xué)生可能會(huì)產(chǎn)生這樣的問題，數(shù)學(xué)模型所用的公式是如何產(chǎn)生的？事實(shí)上，我們所使用的大部分公式是利用數(shù)據(jù)擬合得到的。

例如：隨著對(duì)稀缺資源的關(guān)注，對(duì)人口的準(zhǔn)確預(yù)測(cè)變得越來越重要。美國(guó)每10年通過人口普查記錄人口，下表給出1790～2000年人口普查數(shù)據(jù)：

問題：根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)分析美國(guó)人口的增長(zhǎng)情況，并給出其增長(zhǎng)的函數(shù)表達(dá)式。

問題的求解應(yīng)該完成以下幾方面的工作：（1）將表中數(shù)據(jù)利用散點(diǎn)圖描繪出來，可初步觀察出人口的增長(zhǎng)變化情況，并進(jìn)一步結(jié)合數(shù)據(jù)說明；

（2）根據(jù)人口增長(zhǎng)散點(diǎn)圖，選用合適的數(shù)學(xué)函數(shù)模型，并利用最小二乘擬合可得到其函數(shù)模型中的參數(shù)值；

（3）分析擬合的誤差。

在上面問題中，確定美國(guó)人口合適的數(shù)學(xué)函數(shù)模型時(shí)，人口增長(zhǎng)的散點(diǎn)圖表明，在1860年以前，人口增長(zhǎng)速度較快，圖形為上凹形狀，在1860年以后，人口增長(zhǎng)速度變慢，圖形為下凹形狀，人口由于受到社會(huì)、自然等多種因素的影響，會(huì)趨于一個(gè)較穩(wěn)定的數(shù)量，這些特征要求所選的函數(shù)模型也應(yīng)具有這些特性，具有這種特性的人口學(xué)函數(shù)是Logistic函數(shù)。

在教學(xué)不能只停留在給出數(shù)學(xué)函數(shù)公式，應(yīng)更加注重強(qiáng)調(diào)公式的性質(zhì)、圖形特征，分析其參數(shù)對(duì)圖形的影響，對(duì)于特殊點(diǎn)處的含義給出解釋。通過教會(huì)學(xué)生將闡述問題的四種方式結(jié)合應(yīng)用，可以使學(xué)生學(xué)會(huì)用文字說明想法，用圖形解釋答案。

在信息化時(shí)代，數(shù)學(xué)教學(xué)的信息化也不容忽視，利用不同的數(shù)學(xué)軟件工具，例如，例如繪圖儀等，幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)思維，提升對(duì)問題的認(rèn)識(shí)。

要大力推進(jìn)數(shù)學(xué)應(yīng)用型教學(xué)的改革，包括教學(xué)理念、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、考試方法和學(xué)生評(píng)價(jià)方法的改革。否則，我們的教學(xué)就始終停留在灌輸知識(shí)的層面，而很難形成學(xué)生的能力和素質(zhì)。只有使學(xué)生獲得對(duì)微積分知識(shí)的真實(shí)理解，才能創(chuàng)造性地使用微積分。

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