戴維寧—諾頓定理的推廣應(yīng)用

梁永清，韋東梅，韋忠海

(廣西大學(xué)電氣工程學(xué)院，廣西南寧530004)

等效電源定理(包括戴維寧和諾頓定理)是線性網(wǎng)絡(luò)分析中的一個(gè)重要定理，也是“電路理論”課程教學(xué)的重點(diǎn)。任何一個(gè)線性含源二端網(wǎng)絡(luò)，均可表示為電壓源或電流源模型。傳統(tǒng)的戴維寧和諾頓定理只限于單端口，而應(yīng)用于多端口網(wǎng)絡(luò)則較少。

本文主要討論等效電源定理在多端口網(wǎng)絡(luò)中的推廣應(yīng)用，又稱之為廣義戴維寧—諾頓定理?？勺鳛椤半娐防碚摗闭n程教學(xué)的補(bǔ)充，目的是擴(kuò)大學(xué)生知識面、提高其電路綜合分析能力。

1 廣義等效電源定理三種形式[1]

廣義等效電源定理:任何線性有源多端口網(wǎng)絡(luò)可等效為一個(gè)所有電源置零的無源網(wǎng)絡(luò)與多個(gè)等效獨(dú)立電源組合的線性模型。該模型與原網(wǎng)絡(luò)對接入端口的任意負(fù)載貢獻(xiàn)相同的電壓和電流。

以兩個(gè)端口的線性有源網(wǎng)絡(luò)為例說明。如圖1所示，Z1與Z2為端口負(fù)載。這里負(fù)載可以是短路或開路、有源或無源的。

圖1 線性有源雙口網(wǎng)絡(luò)

1)廣義戴維寧-諾頓定理

2)廣義戴維寧定理

設(shè)待求量為端口電流(i1、i2)，原網(wǎng)絡(luò)可等效為圖2(b)所示的廣義戴維寧電路模型。E1和E2為端口開路電壓。比較圖1與圖2(b)，對端口貢獻(xiàn)相同的電流i1和i2。

3)廣義諾頓定理

設(shè)待求量為端口電壓(u1、u2)，原網(wǎng)絡(luò)可等效為圖2(c)所示為廣義諾頓電路模型。J1和J2為端口短路電流。比較圖1與圖2(c)，對端口貢獻(xiàn)相同的電壓u1和 u2。

圖2 廣義等效電源定理求解模型

2 算例分析

[例1]電路如圖3所示。設(shè)R1、R2為端口負(fù)載，i1、u1、i2、u2分別為待求量。試運(yùn)用廣義等效電源定理三種形式進(jìn)行求解。

對于另一個(gè)代理變量APP的下載種類數(shù)量(新媒體使用廣度)來說，它對于新生代女性農(nóng)民工工作匹配的影響也存在一個(gè)適當(dāng)?shù)姆秶PP的下載種類數(shù)量也必須控制在一定的區(qū)間范圍之內(nèi)才能對新生代女性農(nóng)民工的工作匹配產(chǎn)生正向的影響。考慮到新生代女性農(nóng)民工的群體特點(diǎn)，本文認(rèn)為這里還有其特殊的原因。在實(shí)地調(diào)研訪談的過程中可以發(fā)現(xiàn)，新生代女性農(nóng)民工對征婚交友類網(wǎng)站 APP 的使用普遍增多。這些征婚交友類網(wǎng)站APP的出現(xiàn)在一定程度上滿足了新生代女性農(nóng)民工對于婚戀交友的需求，但是這種APP下載種類數(shù)量的增多對其工作匹配并不會產(chǎn)生積極的影響作用。具體結(jié)果如表5所示：

圖3 例1含獨(dú)立電源電路

1)計(jì)算u1和i2

u1和i2為端口電壓和電流，運(yùn)用廣義戴維寧—諾頓定理求解。

圖4 廣義戴維寧-諾頓電路求解模型

(1)選擇端口:圖3中R1為電壓端口，將其短接;R2為電流端口，將其斷開，如圖4(a)所示。

(2)求開路電壓E2和短路電流J1:由圖4(a)，列KCL和KVL方程:ix+3=iy，1×ix+2iy=4A得ix=-(2/3)A，iy=(7/3)A，E2=2iy－2 ×1=(8/3)V，J1=2/2+ix=(1/3)A。

(3)構(gòu)造廣義戴維寧—諾頓電路:將原電路(圖3)中有源網(wǎng)絡(luò)電源置零(電壓源短路、電流源開路)。端口反向接入J1和E2，得到圖4(b)所示的廣義戴維寧—諾頓定理等效電路，簡化后得圖4(c)。等效后對端口貢獻(xiàn)相同的電流和電壓，比較圖3和圖4(c)中u1和i2是相等的。

(4)根據(jù)簡化電路計(jì)算u1和i2:由圖4(c)解得u1=0.049 V，i2=0.73 A。

2)計(jì)算i1和i2

i1和i2均為端口電流，現(xiàn)運(yùn)用廣義戴維寧定理求解。

(1)選擇端口:原電路圖3中R1和R2為電流端口，將其斷開，如圖5(a)所示。

(2)求開路電壓 E1和 E2:由圖 5(a)，ix=

(3)構(gòu)造廣義戴維寧等效電路:將原電路(圖3)中有源網(wǎng)絡(luò)電源置零，端口反向接入E1和E2，如圖5(b)所示。

(4)簡化電路并計(jì)算i1和i2:圖5(c)為廣義戴維寧簡化電路。由圖解出結(jié)點(diǎn)電壓un=0.3 V，i1=0.049 A，i2=0.73 A。

圖5 廣義戴維寧電路求解模型

3)計(jì)算u1和u2

u1和u2均為端口電壓，現(xiàn)運(yùn)用廣義諾頓定理求解。

(1)選擇端口:原電路圖(3)中R1和R2為電壓端口，將其短接得圖6(a)。

(2)求短路電流J1和J2:由圖6(a)，結(jié)點(diǎn)電壓解出A。

(3)構(gòu)造廣義諾頓等效電路:將原圖3中有源網(wǎng)絡(luò)電源置零，端口反向接入J1和J2，如圖6(b)所示。

(4)簡化電路并計(jì)算u1和u2:圖6(c)為廣義諾頓簡化電路。結(jié)點(diǎn)電壓 uAO=1.46V，uBO=0.595V，uCO=0.546V;則 u1=uBO－ uCO=0.049V，u2=uAO=1.46V。

圖6 廣義諾頓電路求解模型

3 在含受控源電路中應(yīng)用舉例

對于含受控源電路，通常將受控源的控制量所在支路作為端口，將控制量作為待求量。構(gòu)造廣義等效電源電路。這樣求開路電壓和短路電流時(shí)就可將受控源消去，從而簡化求解過程。

[例2]求解圖7所示電路IA和UB

1)用廣義戴維寧-諾頓定理求解

圖7 例2含受控源電路

(1)選擇端口:圖7中R1與R2為端口負(fù)載，將R1斷開，將R2短接。IA=0，UB=0兩個(gè)受控源均為0，可將受控源消去，如圖8(a)所示。

(2)求開路電壓E1和短路電流J1:由圖8(a)，E1+15+15=0得 E1=-30V，J2=15/2－3=(9/2)A。

(3)構(gòu)造廣義戴維寧—諾頓電路:將原電路(圖7)中獨(dú)立電源置零(受控源保留)。R1端口用反向E1替代，端口用反向J1替代，得到圖8(b)等效電路。圖中IA和UB即為所求。

(4)簡化電路并計(jì)算IA和UB:由圖8(b)列寫+2(IA－6)=18IA，可解得 IA=2A。

圖8 廣義戴維寧-諾頓電路求解模型

2)用結(jié)點(diǎn)電壓法驗(yàn)證

如圖7，以5為參考點(diǎn)，列結(jié)點(diǎn)電壓方程為

式中，控制量用結(jié)點(diǎn)電壓表示:

IA=(u1－15/4);UB=15－u3

解方程得UB=3 V;IA=2A，結(jié)果與前一致。

4 結(jié)語

運(yùn)用廣義等效電源定理時(shí)，合理選擇端口同時(shí)使方程有解是求解的關(guān)鍵。選擇端口使有源網(wǎng)絡(luò)唯一可解的充要條件是存在一個(gè)樹，使得所有電壓源(包括受控的)為樹支，使得所有電流源(包括受控的)為連支。戴維寧端口的斷裂形成應(yīng)在獨(dú)立連支處，而諾頓端口的并接形成應(yīng)跨接獨(dú)立樹支[2]。本文將廣義戴維寧-諾頓定理應(yīng)用于多端口復(fù)雜電路的求解，通過算例分析，驗(yàn)證了該算法的正確性。實(shí)際運(yùn)用時(shí)，廣義等效電路應(yīng)比原電路簡單，通常不需列方程求解，只用KCL或KVL即可求解。

[1]梁永清，韋東梅，黃志強(qiáng).應(yīng)用廣義等效電源定理求解含受控源電路[J]北京:大學(xué)物理，2014，7:30-34

[2]黃炳華.廣義諾爾頓和戴維南定理的混合形式[J]北京:系統(tǒng)工程與電子技術(shù)1997，4:32-37

[3]胡釙.電路原理[M]北京:高等教育出版社，2011

[4]邱關(guān)源，電路[M]北京:高等教育出版社，2006

[5]邢麗冬.電路學(xué)習(xí)指導(dǎo)與習(xí)題精解(第二版)[M]北京:清華大學(xué)出版社，2008