時(shí)域分析法的教學(xué)難點(diǎn)及應(yīng)對(duì)方法

駱 建，謝 榕

(華中科技大學(xué)電氣與電子工程學(xué)院，湖北武漢430074)

0 引言

“電路理論”是一門非常成熟的課程。但在教學(xué)上仍有改進(jìn)的必要。特別是對(duì)一些教學(xué)難點(diǎn)，即使學(xué)生課上能理解接受，課下仍難以應(yīng)用自如。由于教學(xué)大綱要求和課時(shí)等原因，在教學(xué)時(shí)往往對(duì)于有些重點(diǎn)內(nèi)容的深入探討一帶而過，對(duì)于大綱不作要求的一些教學(xué)難點(diǎn)更是無(wú)暇顧及。然而有些教學(xué)難點(diǎn)正是重要的教學(xué)內(nèi)容，解決不好會(huì)直接影響學(xué)生對(duì)課程的掌握。因此，熟悉和掌握相關(guān)的應(yīng)對(duì)方法，對(duì)教學(xué)是有益的。本文針對(duì)該課程中時(shí)域分析法這一教學(xué)難點(diǎn)，提出一些好學(xué)、好用的應(yīng)對(duì)方法，與同行交流。

1 階數(shù)判別

1.1 判別原則

時(shí)域分析法適合于一、二階電路，對(duì)于一階更為有效。如何辨別電路是一、二階還是高階，是決定是否采用時(shí)域分析法的第一步。一階電路直觀的辨別原則就是僅包含一個(gè)(等效)電容或一個(gè)(等效)電感的電路。否則，就是二階以上的電路。

實(shí)際上電路的階數(shù)決定于電路的齊次微分方程的階數(shù)，所謂齊次就是與外施激勵(lì)為零。因此，只要將外施激勵(lì)置零，即電壓源視為短路，電流源視為開路，簡(jiǎn)化電路的結(jié)構(gòu)關(guān)系，電路的階數(shù)就一目了然了。例如:在圖1(a)中，當(dāng)電源置零后即可知電路為一階RC電路，而且二個(gè)電容結(jié)構(gòu)關(guān)系是并聯(lián)，時(shí)間常數(shù)也隨之可定;在圖1(b)中當(dāng)電源置零后，就可以判斷電路大于二階，則該電路不適合用時(shí)域分析法來(lái)分析。

圖1 有關(guān)階數(shù)舉例用圖

1.2 應(yīng)對(duì)方法

電源置零簡(jiǎn)化電路結(jié)構(gòu)可以直觀方便地判別屬于時(shí)域分析法范疇的電路階數(shù)(一階或二階)，無(wú)需繁瑣的列方程等數(shù)學(xué)推導(dǎo)。如是一階電路，用此法同時(shí)也可以確定時(shí)間常數(shù)。使用時(shí)要注意獨(dú)立電源的類型和換路開關(guān)的動(dòng)作方向。當(dāng)然上述方法也適合二階電路的特征根的求解。

2 初始值的確定

初始值就是所求響應(yīng)在換路后的瞬時(shí)值(設(shè)換路時(shí)間t=0)，即t=0+時(shí)刻的值。它可由電容電壓和電感電流的初始值及0時(shí)的等效電路求得。而電容電壓和電感電流的初始值與其換路前一瞬間(t=0－)的值，即原始值有關(guān)，如換路時(shí)電容上電壓和電感電流不跳變，則電容電壓和電感電流的初始值等于其原始值，它們具有連續(xù)性;否則就須用電荷守恒或磁鏈?zhǔn)睾阍韥?lái)求出[1－3]。

2.1 連續(xù)性的問題

初始值求解首先碰到的問題就是動(dòng)態(tài)元件連續(xù)性的辨別問題。

在一般情況下，如電容有電阻串聯(lián)(或廣義串聯(lián))，或電感有電阻并聯(lián)(或廣義并聯(lián))，換路后一瞬間不會(huì)出現(xiàn)跳變問題。這是因?yàn)殡娮杵鹆司彌_作用(即電阻分壓或電阻分流)，使電容電壓連續(xù)或電感電流連續(xù)。在外施激勵(lì)有限的情況下，由于和電容串聯(lián)的電阻上電壓和電流有限，流過該電容的電流就不是沖激函數(shù)，即有電阻串聯(lián)的電容上的電壓就不會(huì)跳變;同理，有電阻并聯(lián)的電感的電流也不會(huì)跳變。

例如，在圖2(a)中，C1有電阻串聯(lián)，其電壓連續(xù)。C2和C3無(wú)電阻串聯(lián)，如果C2和C3的電壓原始值相加之和不等于電壓源US，換路時(shí)強(qiáng)行使C2和C3的電壓初始值之和等于US，則C2和C3電壓不連續(xù)。假如并于電壓源US的C2、C3路徑上有一個(gè)電阻串聯(lián)，或形成一個(gè)廣義的串聯(lián)，C2和C3電壓就連續(xù)了。C4電壓為US，不受換路影響。在圖2(b)中，L1有電阻并聯(lián)，其電流連續(xù)。L2和L3無(wú)電阻并聯(lián)，如果L2和L3的電流原始值之和不等于IS，換路時(shí)強(qiáng)行使L2和L3的電流初始值相加之和等于電流源IS，則流經(jīng)L2和L3的電流不連續(xù)。假如L2和L3支路節(jié)點(diǎn)上有一電阻支路并聯(lián)，或形成廣義的并聯(lián)，其電流就連續(xù)。L4電流為IS，不受換路影響。

圖2 有關(guān)連續(xù)性舉例用圖

2.2 應(yīng)對(duì)方法

動(dòng)態(tài)元件是否連續(xù)性的判別方法就是動(dòng)態(tài)元件是否有電阻“作伴”，即:電容有電阻串聯(lián)(或廣義串聯(lián))，或電感有電阻并聯(lián)(或廣義并聯(lián))，則具有連續(xù)性。它直觀方便地判別電容電壓或電感電流是否有跳變問題。如果電容電壓、電感電流連續(xù)，其初始值求解不難，為教學(xué)重點(diǎn)。如果不連續(xù)，則需用節(jié)點(diǎn)(割集)電荷守恒或回路磁鏈?zhǔn)睾阍韥?lái)求，屬教學(xué)難點(diǎn)。

3 三要素法

3.1 三要素法通式的理解

三要素法由線性時(shí)不變一階微分方程的通解和特解演變而來(lái)，對(duì)于典型的外施激勵(lì)(直流、正弦、非正弦周期)，無(wú)需列寫微分方程，直接可以通過三要素法的通式模型就可以求出符合初始條件的全解y(t)，這可視為“無(wú)條件”[1－3]。

三要素法的通式模型為

式中的 y∞(t)為 y(t)的穩(wěn)態(tài)解，y∞(0+)為 y∞(t)在t=0+時(shí)的值，y(0+)為y(t)的初始值，τ為時(shí)間常數(shù)。

當(dāng)外施激勵(lì)為直流時(shí)，y∞(t)=y∞不隨時(shí)間變化，式(1)通式模型則為

我們需要注意的是零狀態(tài)響應(yīng)通式模型y(t)=y(∞)(1－e-t/τ)，而且，零輸入響應(yīng)通式模型y(t)=y(0+)e-t/τ是有條件使用的。首先盡管零狀態(tài)響應(yīng)來(lái)自于三要素法的通式模型，但零狀態(tài)響應(yīng)通式模型只能求解直流作用下的電容電壓或電感電流，電路其他電壓電流量的零狀態(tài)響應(yīng)則要酌情求解。其次，如所求響應(yīng)穩(wěn)態(tài)值不為零，則不能使用零輸入響應(yīng)通式模型。例如，在圖3(a)中若電容電壓初始值不都為零或不相等，或在圖3(b)中若電感電流初始值不都為零或不相等，二個(gè)電路都是零輸入響應(yīng)，但各電容電壓或電感電流不能單純的套用零輸入通式模型，但若用三要素法的通式模型就不受這些條件限制。所以一階電路不管什么響應(yīng)，可直接用三要素法的通式模型求響應(yīng)。

圖3 有關(guān)通式舉例用圖

3.2 時(shí)域的表示

任何求得的響應(yīng)表達(dá)式，都應(yīng)賦予時(shí)域條件。

對(duì)于換路發(fā)生在t=0時(shí)的響應(yīng)，有

我們要注意t≥0或t＞0的區(qū)別，如果y(0+)=y(0－)，則用t≥0，一般用于不跳變的電容電壓或電感電流等的響應(yīng);如果y(0+)≠y(0－)，就用t＞0。

時(shí)域表達(dá)式還可以用單位階躍函數(shù)ε(t)來(lái)表示，對(duì)于階躍響應(yīng)、沖激響應(yīng)都有ε(t)伴隨。對(duì)于式(4)其等價(jià)表示為

這種時(shí)域表示方式不僅只用一個(gè)數(shù)學(xué)表達(dá)式就能反映出各時(shí)段的狀態(tài)，還可以在其運(yùn)算中捕捉到換路時(shí)刻的瞬間狀態(tài)。例如電感電流的全時(shí)間域響應(yīng)為

則電感電壓為

式中，δ(t)為單位沖激函數(shù)。

由此例可以看出這種方法不僅能得出t＞0響應(yīng)描述，還可以捕捉到t=0瞬間狀態(tài)，如iL(0+)=iL(0－)，就沒有沖激分量。它與時(shí)域分段分析吻合，分析既嚴(yán)謹(jǐn)又方便。不過要注意的是解答一定要是全時(shí)域上的表達(dá)式，如式(5)中的iL(0－)ε(-t)項(xiàng)不能漏掉，否則結(jié)果就不正確[4]。

3.3 應(yīng)對(duì)方法

對(duì)于一階電路的分析，要注意理解三要素法通式模型的“有條件”和“無(wú)條件”，包括伴隨的狀態(tài)和時(shí)域等細(xì)節(jié)。細(xì)節(jié)決定成敗，歸根到底還是概念的問題，不注意細(xì)節(jié)，三要素法這個(gè)重點(diǎn)的掌握就只在表面上。

4 階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)求解的局限

4.1 階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)的問題

階躍響應(yīng)是在單一階躍函數(shù)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)，實(shí)際就是在單一直流作用下的零狀態(tài)響應(yīng)。單位階躍響應(yīng)設(shè)為S(t)。

沖激響應(yīng)是在單一沖激函數(shù)激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)，實(shí)際上是由沖激函數(shù)改變零狀態(tài)的零輸入響應(yīng)。單位沖激響應(yīng)設(shè)為h(t)。

求解階躍響應(yīng)和沖激響應(yīng)常用的方法有二種[5]:①直接法，其中求沖激響應(yīng)的直接法多采用二步法，即先求電壓或電流跳變量，再轉(zhuǎn)化求零輸入響應(yīng);②通過兩者之間的關(guān)系來(lái)求，它們之間的關(guān)系可表達(dá)為

這二種方法對(duì)大部分電路都可以通用，但對(duì)于有些電路是有局限性的。例如:在圖4(a)和圖4(b)電路中，若用階躍響應(yīng)來(lái)求沖激響應(yīng)就難行得通。又如，在圖4(c)電路中，直接求沖激響應(yīng)也比較困難。

圖4 有關(guān)求響應(yīng)局限舉例用圖

按前面的電路階數(shù)判定方法，圖4(a)和圖4(b)電路是一階電路;求階躍響應(yīng)穩(wěn)態(tài)解時(shí)，由于在直流電路中電容開路，電感短路，圖4(a)電路中電流源出現(xiàn)開路，圖4(b)電路中電壓源出現(xiàn)短路情況，因此電路理論上是不能工作的，所以其沖激響應(yīng)不能借助于階躍響應(yīng)來(lái)求。

這二個(gè)電路直接求沖激響應(yīng)用二步法不難，也無(wú)需列寫微分方程，例如在求圖4(a)電路的沖激響應(yīng)時(shí)(設(shè)各電容電壓方向上正下負(fù))，第一步求沖激電源所建立的電路的初始條件，在t=0(0+～0－)等效電路中電容零狀態(tài)可視為短路，C1的電流為沖激電流δ(t)，則其電壓跳變量為uC1(0+)=1/C1，C2無(wú)沖激電流，其電壓uC2(0+)=uC2(0－)=0;第二步求初始狀態(tài)引起的零輸入響應(yīng)，t＞0后沖激電源為零視為開路，其分析與圖3(a)電路相同。

圖4(c)電路也是一階電路，若用二步法直接求沖激響應(yīng)，第一步求沖激電源所建立的電路的初始條件。因電容零狀態(tài)視為短路，電壓源就面臨短路問題，此時(shí)電路實(shí)際是不能工作的，所以其階躍響應(yīng)不能借助于沖激響應(yīng)來(lái)求。這個(gè)電路用三要素法求階躍響應(yīng)時(shí)，涉及到電荷守恒原理求跳變值和穩(wěn)態(tài)值，其三個(gè)要素求解為(設(shè)各電容電壓上正下負(fù))。

(1)求初始值:在換路時(shí)刻，C1有電阻串聯(lián)，這時(shí)其電壓不會(huì)跳變，C2和C3會(huì)發(fā)生跳變，于是根據(jù)-C2uC2(0+)+C3uC3(0+)=0及uC2(0+)+uC3(0+)=1兩個(gè)式子求解便可得C2和C3的電壓初始值;

(2)求穩(wěn)態(tài)值:穩(wěn)態(tài)時(shí)電容視為開路，則根據(jù)-C1uC1(∞)－C2uC2(∞)+C3uC3(∞)=0和 uC2(∞)+uC3(∞)=1及uC1(∞)=uC2(∞)三個(gè)式子求解便可得C1、C2和C3的電壓穩(wěn)態(tài)值;

(3)求時(shí)間常數(shù):根據(jù)前述的電源置零方法，電壓源視為短路后，電容的等效關(guān)系顯而易見為C1串聯(lián)于C2和C3并聯(lián)，則時(shí)間常數(shù)τ=RC即可求之。

4.2 應(yīng)對(duì)方法

處理階躍響應(yīng)或沖激響應(yīng)就是依據(jù)電壓源是否短路、電流源是否開路來(lái)選擇可行的方法。當(dāng)然階躍響應(yīng)或沖激響應(yīng)電路的數(shù)學(xué)描述可以借助于對(duì)應(yīng)的求導(dǎo)或積分得出。

5 結(jié)語(yǔ)

本文所討論的內(nèi)容為教學(xué)中常見的知識(shí)點(diǎn)，并非偏僻內(nèi)容。合理用好這些知識(shí)點(diǎn)，有助于巧妙地解決教學(xué)難點(diǎn)。探索對(duì)應(yīng)的教學(xué)方法對(duì)提高教學(xué)質(zhì)量無(wú)疑是很有意義的。

[1]汪建.電路原理[M].北京:清華大學(xué)出版社，2008

[2]顏秋容，譚丹.電路理論[M].北京:電子工業(yè)出版社，2009

[3]邱關(guān)源，羅先覺.電路(第五版)[M].北京:高等教育出版社，2006

[4]田社平，陳洪亮.動(dòng)態(tài)電路全時(shí)域響應(yīng)的求解[J].南京:電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào)，2009(1):19－21

[5]汪建.用時(shí)域分析法求解沖激響應(yīng)的方法[J].南京:電氣電子教學(xué)學(xué)報(bào)，2011(6):103－105